探讨定积分不等式的证明方法之欧阳科创编

1、探讨定积分不等式的证明方法摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等 式的有效证明方法。关键词：定积分 不等式 证法不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等 式的证明却一直是一个难点。要证明定积分不等式，首先要看被积 函数，其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调 性、可导性等分别给出几种证法。1运用定积分中值定理证明定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的 函数值与该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等 式。例1 ：设/(兀)在0,1上连续且单调不增，证明Vt/ E 0,1有证明:由原不等式变形得加厶 訣(Jo/(x)Jx + Jo

2、/(x)Jx)f 即是要证:(1-训丁必即必,对左式，/G)在0,1上连续，欧阳科创编2021.02.05故由定积分中值定理知：3 e 0, a使 (1 - )打兀=巩1 -G)同理对右式：北2丘训使必二。(1-仍($2),显然，& 又f(X)在0,1上单调不增，* / ( 1) 2)故原不等式f(x)dxaf(x)dx成立定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于 掌握。2运用辅助函数证明构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的 积分上限(下限)换成x,移项使不等式的一边为零，另一边的表 达式即是辅助函数。然后再求F(x),并运用单调性及区间端点值特 性

3、证明不等式。例2 :设兀兀)在a, b上连续，且/(兀)>0.试证："(x)dx缶dxl(b_a)2证明:构造辅助函数F。)二"血:沽d("(将b换 成x),则 F (x) = f(x)X-dt +/力 一 2(x - a)J空+竺一2/L /(O)a欧阳科创编2021.02.05欧阳科创编2021.02.05 /(X)> 0,又y /. F(x) >0 f即 F(x)单调不减，又 F(a) = 0 , /. F(b) > F(a) = 0,故“(血吐计孑心少一疔该题构造出积分上限函数，其目的是用单调性来证明不等式。这种方法开门见山、直截了

4、当。3运用定积分的性质和几何意义证明与定积分的概念相联系“以直代曲”的“近似代替”的思想，力口上 积分的几何直观使得不等式的证明变得更加简捷。例3 :证明不等式册严'丘-证明：因为1SV的时盘=<*77,两端积分得：例4 :设a,b>时，证明不等式ab<ea +bnb .fbd_l证明：= l Inxdx + Z? 1 ea = J。exdx-1根据定积分的几何意义知:.b|"一 1«(d -l)b < In xdx + £ exdx = blnb + ea b ,即 ab < ea +/?ln/?.本题关键在于深刻领悟定积分

5、概念的由来，即求曲边梯形的面积问题推导的四个步骤：分割、取点、作和与求极限，这里充分运欧阳科创编2021.02.05欧阳科创编2021.02.05用了“近似代替”的几何直观来加以证明。4运用拉格朗日中值定理证明利用拉格朗日中值定理证明不等式，首先要构造满足中值定理 条件的函数和区间，然后进行不等式放缩，再用定积分比较定理、 估值定理或函数的绝对值不等式等。例5：设蚀在讪上可导，且f 心 M, f(a) = 0 ,试证：/0皿< 可证明：由题设匕丘“0, /'(X)在a, b上都满足拉氏中值定 理的条件，于是有：/W = f(X)- / =广(恥a),歹 w ,兀),.广(x) &

6、lt; M ,两边在a, b上定积分得：fbfbA/7J f(x)dx < J M(b d)dx = (/? 一 a)此题运用拉格朗日中值定理简直如行云流水，如果采用其他办 法显然比较繁琐。5运用Taylor公式证明当已知被积函数f(x)二阶或二阶以上可导且又知最高阶导数的 符号时，通常采用泰勒展开式来证明。首先要写出f(x)的泰勒展开 式，然后根据题意写出某些点的泰勒展开式，再进行适当的放缩以 变成不等式，最后用定积分的性质进行处理。例6：设/*(兀)在上上单调增加，且rw >o,证明欧阳科创编2021.02.052021.02.05欧阳科创编(b-a)f(a) <fMdx

7、 < (b_a)丿；MJa 2证明：先证左不等号：(b-0”< 1/(,/兀wd,b, x > a t /(兀)单调增加，所以于> f(a)故了Zx > (b a)f(a)(1)再证右不等号：£?(兀皿< (b-a)f(U)f(bPt e d，b, /(0在点x处的Taylor展式为：/(r) = fM + f'M(t-x) +-x)2中纟在 t 与 x 之间，因厂忆)>0,所以 /(0 >+,将t = b,t = a分别代入上式并相加得：/ + /(Z?) > 2f(x) + (a + b)f(x) - 2xf(x),将

8、此式在"上 积分得：/ + f(b)b-a) > 2 fx)dx + (a+ b) C fx)dx - 2 Cxf(x)dx t有2f(a) + f(b)(b-a) > 4j/(x)Jxf 故 £< (b_a)/3)；/9). (2) 综合(1)、(2),原不等式得证.Taylor公式的应用在大学数学的学习中是一个绝对的难点，往 往很难掌握。一个题目在你用其他方式很难解决时，Taylor公式常 会给你意想不到的突破。欧阳科创编2021.02.05欧阳科创编2021.02.056运用柯西一斯瓦兹不等式证明柯西一斯瓦兹不等式:例7 :设在0,1上有一阶连续导数

9、且/(I) -/(0) = 1,试证订:广(M加'1.证明：/一/(°)=广x,又/(0) = 1,所以7Wx = l,因在0,1上可导，所以/(x)在0,1上连续，由柯西一斯瓦兹不等式得订仏©广汕刘；广却=1, 即是仃广曲心1.柯西一斯瓦兹不等式是大学数学中的又一难点，虽然记忆起来 并不困难，但应用是灵活多变的。7运用重积分证明重积分要化为定积分来计算，这是众所周知的事实，但反之定 积分的乘积往往又可以化为重积分，将定积分不等式的证明化为重 积分不等式来证明，也是一种常见的方法。例8:设/©)是在0, 1上单调增加的连续函数，xfx)dx fx)cix试

10、证"oxfx)dx 打2(x)L证明：设 / = J； xf' (x)力f2 (x)dx - f f3 (x)dxJ； xf2 (x)dx欧阳科创编2021.02.052021.02.05欧阳科创编=JJ V3 (-)/2 (ydxdy - jj /3(X)/2 (y) ydxdy I)DD同样/ = Jj/2(x)/y)(y -X)dxdy.D(1)十(2)可得2/二JJ(x-y)/2(QT'(y)(/(x) /(y)Mxdy,D由于在0 ,1上单调增加，故(-y)(/W-/(y)>o,./ > 0 ,从而Xf - (a)Jx£ f2 (x)dx