绝对值三角不等式

1、第二节绝对值不等式第1课时绝对值三角不等式【课标要求】1理解定理1及其几何说明，理解定理2.2会用定理1、定理2解决比较简单的问题【核心扫描】1含绝对值不等式的两个性质定理的灵活运用(重点)2含绝对值不等式的恒成立问题或最值问题(难点)1绝对值的几何意义如图(1)，|a|表示数轴上 到原点的距离如图(2)，|ab|的几何意义是 的距离自学导引坐标为a的点A数轴上A，B两点之间2定理1：如果a，b是实数，则|ab| ，当且仅当 时，等号成立|a|b|ab0试一试：证明：若a，b为实数，则|ab|a|b|.提示|ab|a|b|ab|2(|a|b|)2(ab)2|a|22|a|b|b|2a22abb

2、2a22|a|b|b2ab|ab|.由ab|ab|知ab0，原不等式成立当且仅当ab0时等号成立3定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当 时，等号成立想一想：定理2的几何解释是什么？提示在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|ac|ab|bc|；当点B不在点A，C之间时，|ac|ab|bc|.(ab)(bc)01若两实数x，y满足xy0，那么总有()A|xy|xy| B|xy|xy|C|xy|x|y| D|xy|y|x|解析当xy0时，|xy|x|y|，|xy|x|y|，因为|x|y|x|y|，所以|xy|xy|.答案A基础自测2对于

3、|a|b|ab|a|b|，下列结论正确的是()A当a，b异号时，左边等号成立B当a，b同号时，右边等号成立C当ab0时，两边等号均成立D当ab0时，右边等号成立；当ab0时，左边等 号成立答案B3若|xa|h，|ya|k，则下列不等式一定成立的是()A|xy|2h B|xy|2kC|xy|hk D|xy|hk|答案C4已知h0，a，bR，命题甲：|ab|2h；命题乙：|a1|h且|b1|h，则甲是乙的_条件答案必要不充分【变式1】 证明：|xa|xb|ab|.证明|xa|xb|xa|bx|xabx|ba|ab|.|xa|xb|ab|.【变式2】 设f(x)x2-xc，|x-a|1求证：|f(x

4、)-f(a)|a对于对于xR均成立，则均成立，则a的取值范围为的取值范围为_解析|x4|x5|4x|x5|4xx5|9.当aa对于对于xR均成立，则均成立，则a的取值的取值范围为范围为_课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动4.2013|5|3|xxxaa变式 （重庆）如果关于 的不等式的解集是 ，求 的取值范围本题若解集不是空集，a的范围是多少？8a 课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动215. 2014|21|2|22xxaaxa变式（重庆）若不等式对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围。课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动含绝对值不等式的恒成立问题【例】

5、 已知不等式|x2|x3|m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为 .分别求出m的范围思维启迪 解答本题可以先根据绝对值|xa|的意义或绝对值不等式的性质求出|x2|x3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动解法一因|x2|x3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(2)，B(3)距离的差即|x2|x3|PA|PB|.由图象知(|PA|PB|)max1，(|PA|PB|)min1.即1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，m只要比|x2|x3|的最大值小即可，即m1；课前探究学习课前探究学习课堂讲练互

6、动课堂讲练互动(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x2|x3|的最小值还小，即m1；(3)若不等式的解集为 ，m只要不小于|x2|x3|的最大值即可，即m1.法二由|x2|x3|(x2)(x3)|1，|x3|x2|(x3)(x2)|1，可得1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，即m1.(2)若不等式解集为R，即m1.(3)若不等式解集为 ，即m1.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动变式2.(2011江西高考)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_解析|x2y1|(x1)2(y1)| |x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y

7、1|的最大值为5.答案5课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动答案(1)A(2)A规律方法 |ab|a|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件解析|f(x)g(x)|f(x)|g(x)|，若x0M，|f(x0)|g(x0)|a，故|f(x0)g(x0)|a，所以x0N.答案C方法技巧含绝对值的代数式的最值问题【示例】 求函数f(x)|x3|x1|的最小值，并求出取最小值时x的范围思路分析 恰当变形，利用定理2转化为定值解根据定

8、理2，f(x)|x3|x1|(x3)(x1)|2，当且仅当(x3)(x1)0，即x3或x1.所以当x3或x1时，f(x)|x3|x1|最小值为2.方法点评 (1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a|b|的最大值比较困难，可采用|ab|，|ab|的最值，及ab0时，|a|b|ab|，ab0时，|a|b|ab|的定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已(2)求y|xm|xn|和y|xm|xn|的最值，其主要方法有：借助绝对值的定义，即零点分段；利用绝对值几何意义；利用绝对值不等式性质定理. 课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动规律方法 通过添一项、减一项的恒等变形，然后再进行组合，构造成能利用绝对值的三角不等式的形式是证明的关键课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动 思维启迪 利用绝对值三角不等式进行证明课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动规律方法 对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法