平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)

1、平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理如下图，如果 l 1 l2 l3 ，则 BCEF，ABDE，ABAC .ACDFACDFDEDFADl 1BEl 2CFl 32.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ，则 ADAEDEABACBCAEDDEABCBC3. 平行的判定定理： 如上图，如果有 ADAEDE ，那么 DE BC。ABACBC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例 1】如图， DE BC ，且 DBAE , 若 AB5，AC10 ，求 AE 的长。ADEBC【例 2】如图，已知 AB / /

2、 EF / /CD ，若 ABa ， CDb ， EFc ，求证： 111 .cab精选文库CAEBFD【巩固】 如图， ABBD，CDBD ，垂足分别为 B、D，AC和BD 相交于点 E ， EFBD ，垂足为 F .证明： 111 .ABCDEFCAEBFD【巩固】 如图，找出 S ABD 、 S BED 、 S BCD 之间的关系，并证明你的结论.CAEBFD【例 3】如图，在梯形 ABCD 中， AB CD ， AB12 ，CD9 ，过对角线交点 O 作EF CD 交 AD，BC于E，F ，求 EF 的长。DCEFOAB【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形 ABCD 中， AD B

3、C ， ADa ，BCb ，E ，F 分别是 AD，BC的中点， AF交BE于P，CE 交DF于Q，求 PQ的长。2精选文库EADPQBCF专题二、定理及推论与中点有关的问题【例 4】（ 2012 年北师大附中期末试题）（1）如图（ 1），在 ABC 中， M 是 AC 的中点， E 是 AB 上一点，且 AE1 AB，4连接 EM 并延长，交 BC 的延长线于 D ，则 BC_.CD2:1 ，AD与CE 相交于 F ，则 EFAF（2）如图（ 2），已知 ABC 中， AE : EB 1:3 ， BD : DCFCFD的值为（）5B.1C.3D.2A.22AAEEMFBCDBDC(2)(1)

4、【例 5】（ 2011 年河北省中考试题）如图，在ABC 中， D 为 BC 边的中点， E 为AC 边上的任意一点， BE 交 AD 于点 O .A（1）当 AE1 时，求 AO 的值；A C2ADE（2）当AE1 1AO时，求的值；OA C、AD3 4（3）试猜想 AE1时 AO 的值，并证明你的猜想 .A Cn 1ADBDC【例 6】（ 2013 年湖北恩施中考题）如图，AD 是 ABC 的中线，点 E 在 AD 上， F是 BE 延长线与 AC 的交点 .（1）如果 E 是 AD 的中点，求证： AF1 ；FC2（2）由（1）知，当 E 是 AD 中点时， AF1AE 成立，若 E 是

5、 AD上任意一点（ E 与 A、DFC2ED3精选文库不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.AFEBDC【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上的一点，且BEAC，延长 BE交AC于F 。求证： AFEF。AFEBDC【例 7】（宁德市中考题）如图， ABC 中， D 为 BC 边的中点，延长 AD 至 E ，延长 AB 交 CE 的延长线于 P 。若 AD 2DE ，求证 : AP 3AB 。ABDPEC【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图，ABC 中， BCa ，若 D1 ，E1 分别是 AB ，

6、AC 的中点，则 D1 E11a ；2若 D2、 E2 分别是 D1 B、 E1C 的中点，则若 D3、 E3 分别是 D2 B、E2 C 的中点，则D2 E21aa3 a ；224D3 E313 a a7 a ；248A4D1E若 Dn、 En 分别是 Dn-1 B、En-1 C 的中点，则 Dn En_.专题三、利用平行线转化比例【例 8】如图，在四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ，直线 l 平行于 BD ，且与AB、DC 、BC、AD及 AC的延长线分别相交于点 M 、 N、R、S和P.求证： PMPNPR PSABOCMNP精选文库DlRS【巩固】 已知，如图，四边

7、形 ABCD ，两组对边延长后交于E、 F ，对角线 BDEF，AC 的延长线交 EF 于 G 求证： EG GF ABDCEFG5精选文库【例 9】已知： P 为 ABC 的中位线 MN上任意一点， BP 、 CP 的延长线分别交对边 AC 、 AB于 D、E，求证： ADAE1DCEBAEDMNPBC【例 10】 在 ABC 中，底边 BC 上的两点 E 、 F 把 BC 三等分， BM 是 AC 上的中线， AE、 AF 分别交 BM 于G 、 H 两点，求证： BG :GH : HM 5:3: 2AMGHBEFC【例 11】 如图， M 、 N 为 ABC 边 BC 上的两点，且满足

8、BM MN NC ，一条平行于 AC 的直线分别交 AB 、 AM 和 AN 的延长线于点 D 、 E 和 F .求证： EF3DE .ADEBMNCF【例 12】已知：如图，在梯形ABCD 中， AB / /CD ， M 是 AB 的中点，分别连接AC 、BD、MD、MC，且 AC 与MD交于点 E，DB与MC交于 F.（1）求证： EF / /CD（2）若 AB a , CD b ，求 EF 的长 .AMBEFDC6精选文库【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中， AD BC ，AD3 ，BC9 ，AB6 , CD4 ，若 EF BC ，且梯形 AEFD 与梯形 EBCF

9、 的周长相等，求 EF 的长。ADEFBC【例 13】 （山东省竞赛题）如图， Y ABCD 的对角线相交于点O，在 AB的延长线上任取一点 E ，连接 OE 交 BC 于点 F ，若 AB a ，AD c ，BEb ,求 BF 的值。DCOFABE【例 14】已知等腰直角ABC 中， E 、 D 分别为直角边 BC 、 AC 上的点，且 CECD ，过 E、D 分别作 AE 的垂线，交斜边 AB 于 L ， K 求证： BLLK CEDBLKA7精选文库过手练习【习题 1】如已知 DE AB ， OA2OC OE ，求证： ADBC .CDEOAB【习题 2】 在 ABC 中， BDCE ，

10、DE 的延长线交 BC 的延长线于 P ， 求证： AD BPAE CP.ADEBCP【习题 3】 如图，在ABC 的边 AB 上取一点 D ，在 AC 取一点 E ，使 ADAE ，直线 DE 和 BC 的延长线相交于 P ，求证： BPBDCPCEADEBCP专题讲解1选择题（ 1）如图 5-27 ， ABC 中， D 在 AB 上， E 在 AC 上，下列条件中，能判定DE BC 的是（）图 5-27A ADACAE ABB ADAEEC DB8精选文库C ADABAE ACD BDACAE AB（ 2）如图 5-28， l1 / l2 / l3 ， l4 与 l 5 交于点 P，PA

11、a，AB b， BC c，PD d，DE e， EF f，则bf（）图 5-28A abB bdC aeD ce（ 3）如图 5-29 ， ABC 中， ADAE1 ，则 OE OB（）ABAC2图 5-29A 1B 1C 1D 12345（ 4）如图 5-30 ，已知 BN AM ，ND MC ，那么有（）图 5-30A PDPNB PAPCDANMPBPDC PANDD以上答案都不对PBMC（ 5）如图 5-31，H 为 ABCD 中 AD 边上一点， 且 AH 1DH，AC 和 BH 交于点 K ，则 AK KC 等于（）29精选文库图 5-31A12B11C 13D232填空题（ 1）

12、如图 5-32，梯形 ABCD 中， AD BC，延长两腰交于点E，若 AD 2，BC 6，AB 4，则 ED EC_， DE _；DC图 5-32（ 2）如图 5-33，梯形 ABCD 中， DC AB， DC 4，AB 7，且 MN PQ AB ，DM MP PA，则MN _， PQ_ ；图 5-33（ 3）如图 5-34 ，梯形 ABCD 中， AB CD ， M 为 AB 中点，分别连结AC、BD 、 MD 、MC ，且 AC 与MD 交于 E， BD 与 MC 交于 F ，则 EF 与 AB 的位置关系是 _；10精选文库3如图 5-35， ABC 中， M 为 AC 的中点， E

13、为 AB 上一点，且AE1 AB ，连结 EM 并延长，交4BC 的延长线于D ，求证： BC 2CD 4如图 5-36，在 ABC 中， EFCD ， DE BC，求证：AFAD FDDB5如图 5-37， ABC 中， AF FD 1 5， BD DC，求： AE EC11精选文库6如图 5-38，M 为 ABCD 的边 BC 的中点， F 为 DC 边上的点， BF 交 AM 于 N，交 AC 于 E，且 AN 3MN ，求 FC AB 的值7如图 5-39，已知 D 是 ABC 中 AB 边上一点， DE BC 交 AC 于 E，连结 CD ，过 E 作 EF CD 交 AB 于 F，求证： AD 是 AF 和 AB 的比例中项8如图 5-40，已知 ABC 中， ABAC， AD BC 于 D， F 为 BC 中点，过 F 作 BC 垂线交 AB 于 E， BD 6cm， DC 4cm， AB 8cm，求 AE、 BE 的长12精选文库9如图 5-41，已知 ABC 中， ACB 90°， S BFC S AFC 1 3，BC 12cm，FE BC