正方形的判定和性质——教案

1、个性化教案特殊平行四边形之正方形适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域全国课时时长（分钟）60分钟知识点平行四边形和正方形的性质、判定。教学目标1、认识图形的旋转及性质，会根据要求画旋转图形。2、认识中心对称图形及其性质，会设计一些中心对称图案。3、理解并掌握中心对称图形（平行四边形）的性质、判定及其应用。教学重点理解并掌握中心对称图形（平行四边形及正方形）的性质、判定及其应用。教学难点理解并掌握中心对称图形（平行四边形及正方形）的性质、判定及其应用。教学过程一、复习预习1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自

2、己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补，对角相等 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半3菱形的判定判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定：四边相等的四边形是菱形二、知识讲解1、图形旋转的性质：旋转前后的图形 ，对应点到 ，每一对对应点与 。2、中心对称图形：把一个平面图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相 ，那么这个图形叫做中心对称图形。3、

3、平行四边形的性质：（1）平行四边形的 ；（2）平行四边形的 ；（3）平行四边形的 。、平行四边形的判定：（1）两组对边分别 的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别 的四边形是平行四边形。（3）一组对边 的四边形是平行四边形；（4）两条 的四边形是平行四边形；4、正方形的性质：一般性质_;特殊性质_。、正方形的判定：从四边形角度_;从平行四边形角度_；从矩形角度_;从菱形角度_.考点/易错点1正方形的特殊性质和判定的理解和记忆。考点/易错点2正方形和平行四边形性质判定的综合题型，注意区分。三、例题精析【例题1】【题干】如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，

4、BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N下列结论：APEAME；PM+PN=AC；PE2+PF2=PO2；POFBNF；当PMNAMP时，点P是AB的中点其中正确的结论有（）A5个B4个C3个D2个【答案】解答：解：四边形ABCD是正方形，BAC=DAC=45°在APE和AME中，APEAME，故正确；PE=EM=PM，同理，FP=FN=NP正方形ABCD中ACBD，又PEAC，PFBD，PEO=EOF=PFO=90°，且APE中AE=PE四边形PEOF是矩形PF=OE，PE+PF=OA，又PE=EM=PM，FP=FN

5、=NP，OA=AC，PM+PN=AC，故正确；四边形PEOF是矩形，PE=OF，在直角OPF中，OF2+PF2=PO2，PE2+PF2=PO2，故正确BNF是等腰直角三角形，而POF不一定是，故错误；AMP是等腰直角三角形，当PMNAMP时，PMN是等腰直角三角形PM=PN，又AMP和BPN都是等腰直角三角形，AP=BP，即P时AB的中点故正确故选B【解析】考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质分析：依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断APM和BPN以及APE、BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断点评：本题是正方形的

6、性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识APM和BPN以及APE、BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键【例题2】O48816t(s)S()（A）O48816t(s)S()（B）【题干】如图，正方形ABCD中，AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC,CD运动，到点C,D时停止运动，设运动时间为t(s),OE的面积为s()，则s()与t(s)的函数关系可用图像表示为O48816t(s)S()（C）O48816t(s)S()（D）【答案】B 【解析】解析：经过t秒后，BECFt，CEDF8t，所以，是以（4,8）为顶点，

7、开口向上的抛物线，故选B。【例题3】【题干】如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AEBF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】：B.【解析】解析：在正方形ABCD中，因为CE=DF，所以AF=DE，又因为AB=AD，所以，所以AE=BF，因为，所以，即，所以AEBF，因为S四边形DEOF，所以 S四边形DEOF，故（1），（2），（4）正确.【例题4】【题干】如图，菱形ABCD中，B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A

8、14B15C16D17【答案】：解答：解：四边形ABCD是菱形，AB=BC，B=60°，ABC是等边三角形，AC=AB=4，正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16，故选C【解析】考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质分析：根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可点评：本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC的长【例题5】【题干】如图，点E在正方形ABCD内，满足AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）

9、A48B60C76D80【答案】：解答：解：AEB=90°，AE=6，BE=8，在RtABE中，AB2=AE2+BE2=100，S阴影部分=S正方形ABCDSABE=AB2×AE×BE=100×6×8=76故选C【解析】考点：勾股定理；正方形的性质分析：由已知得ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCDSABE求面积点评：本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质关键是判断ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解【例题6】【题干】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AEF是等边三角形，连接

10、AC交EF于G，下列结论：BE=DF，DAF=15°，AC垂直平分EF，BE+DF=EF，SCEF=2SABE其中正确结论有（）个A2B3C4D5【答案】：解答：解：四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD，B=BCD=D=BAD=90°AEF等边三角形，AE=EF=AF，EAF=60°BAE+DAF=30°在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BE=DF，正确BAE=DAF，DAF+DAF=30°，即DAF=15°正确，BC=CD，BCBE=CDDF，及CE=CF，AE=AF，AC垂直平分EF正确设EC=x

11、，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=x，AC=，AB=，BE=x=，BE+DF=xxx，错误，SCEF=，SABE=，2SABE=SCEF，正确综上所述，正确的有4个，故选C【解析】考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析：通过条件可以得出ABEADF而得出BAE=DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出SCEF和2SABE再通过比较大小就可以得出结论点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾

12、股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键【例题7】【题干】如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A16B17C18D19【答案】：解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，AC=2CD，CD=2，EC2=22+22，即EC=；S2的面积为EC2=8；S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，S1+S2=8+9=17故选B【解析】考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质专题：计算题分析：由图可得，S1的边长为3，由AC

13、=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力【例题8】【题干】如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）ABCD【答案】：解答：解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，小鸟在花圃上的概率为=故选C【解析】考点：相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD

14、的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积【例题9】【题干】如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，且B、E两点不重合，并连接BG根据图中标示的角判断下列1、2、3、4的大小关系何者正确？（）A12B12C34D34【答案】：解答：解：四边形ABCD、AEFG均为正方形，BAD=EAG=90°，BAD=1+DAE=90°，EAG=2+DAE=90°，1=2，在RtABE中，AEAB，四边形AEFG是正方形，AE=AG，AGAB，34故选D

15、【解析】考点：正方形的性质分析：根据正方形的每一个角都是直角求出BAD=EAG=90°，然后根据同角的余角相等可得1=2，根据直角三角形斜边大于直角边可得AEAB，从而得到AGAB，再根据三角形中长边所对的角大于短边所对的角求出34点评：本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，要注意在同一个三角形中，较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用【例题10】【题干】附图为正三角形ABC与正方形DEFG的重迭情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为何？（）A2B3C124D66【答案】：解答：解：

16、如图，过点B作BHAC于H，交GF于K，ABC是等边三角形，A=ABC=60°，BD=BE，BDE是等边三角形，BDE=60°，A=BDE，ACDE，四边形DEFG是正方形，GF=6，DEGF，ACDEGF，KH=18×6×6=936=66，F点到AC的距离为66故选D【解析】考点：正方形的性质；等边三角形的性质分析：过点B作BHAC于H，交GF于K，根据等边三角形的性质求出A=ABC=60°，然后判定BDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出BDE=60°，然后根据同位角相等，两直线平行求出ACDE，再根据正方形的对边平行得到D

17、EGF，从而求出ACDEGF，再根据等边三角形的边的与高的关系表示出KH，然后根据平行线间的距离相等即可得解点评：本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的高线等于边长的倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键四、课堂运用【基础】1.已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程： 。答案本题答案不唯一，如(x+1)2=25； 分析解析：把缺口补回去，得到一个面积25的正方形，边长为x1。 2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上点Q在对角

18、线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P则点P的坐标为 答案解答：解：四边形OABC是边长为2的正方形，OA=OC=2，OB=2，QO=OC，BQ=OBOQ=22，正方形OABC的边ABOC，BPQOCQ，=，即=，解得BP=22，AP=ABBP=2（22）=42，点P的坐标为（2，42）故答案为：（2，42） 分析考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质3718684分析：根据正方形的对角线等于边长的倍求出OB，再求出BQ，然后求出BPQ和OCQ相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP的长，再求出AP，即可得到点P的坐标点评：本题考查了相似三角形的判定与

19、性质，正方形的对角线等于边长的倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP的长是解题的关键 【巩固】1. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当小球P第一次碰到点E时，小球P与正方形的边碰撞的次数为6，小球P所经过的路程为6答案解答：解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得第二次碰撞点为G，在DA上，且DG=DA，第三次碰撞点为H，在DC上，且

20、DH=DC，第四次碰撞点为M，在CB上，且CM=BC，第五次碰撞点为N，在DA上，且AN=AD，第六次回到E点，AE=AB由勾股定理可以得出EF=，FG=，GH=，HM=，MN=，NE=，故小球经过的路程为：+=6，故答案为：6，6分析考点：正方形的性质；轴对称的性质分析：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数再由勾股定理就可以求出小球经过的路径的总长度点评：本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，由勾股定理来确定小球经过的路程，是一道学科综合试题，属于难题2.

21、 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是10答案解答：解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小四边形ABCD是正方形，B、D关于AC对称，PB=PD，PB+PE=PD+PE=DEBE=2，AE=3BE，AE=6，AB=8，DE=10，故PB+PE的最小值是10故答案为：10分析考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质3718684分析：由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可点评：本题考查了轴对称

22、最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出3. 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将ABE绕点B顺时针旋转90°到CBE的位置若AE=1，BE=2，CE=3，则BEC=度答案解答：解：连接EE，将ABE绕点B顺时针旋转90°到CBE的位置，AE=1，BE=2，CE=3，EBE=90°，BE=BE=2，AE=EC=1，EE=2，BEE=45°，EE2+EC2=8+1=9，EC2=9，EE2+EC2=EC2，EEC是直角三角形，EEC=90°，BEC=135°故答案为：135分析考点：

23、勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质3718684分析：首先根据旋转的性质得出EBE=90°，BE=BE=2，AE=EC=1，进而根据勾股定理的逆定理求出EEC是直角三角形，进而得出答案点评：此题主要考查了勾股定理以及逆定理，根据已知得出EEC是直角三角形是解题关键4.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：CE=CF；AEB=75°；BE+DF=EF；S正方形ABCD=2+其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）答案解答：解：四边形ABCD是正方形，AB=AD，AEF是等边三角形，AE=AF，在RtABE和RtA

24、DF中，RtABERtADF（HL），BE=DF，BC=DC，BCBE=CDDF，CE=CF，说法正确；CE=CF，ECF是等腰直角三角形，CEF=45°，AEF=60°，AEB=75°，说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，ACEF，且AC平分EF，CADDAF，DFFG，BE+DFEF，说法错误；EF=2，CE=CF=，设正方形的边长为a，在RtADF中，a2+（a）2=4，解得a=，则a2=2+，S正方形ABCD=2+，说法正确，故答案为分析考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析：根据三角形的全等的知识可以判断的正误；根据角角之间

25、的数量关系，以及三角形内角和为180°判断的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断的正确，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断的正误点评：本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦【拔高】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为答案解答：解：设正方形EFGB的边长为a，则CE=4a，AG=4+a，阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+SCEFSAGF=+a2+a（4a）a（4+a）=4+a2+2

26、aa22aa2=4故答案为：4分析考点：正方形的性质；整式的混合运算分析：设正方形EFGB的边长为a，表示出CE、AG，然后根据阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+SCEFSAGF，列式计算即可得解点评：本题考查了正方形的性质，整式的混合运算，扇形的面积计算，引入小正方形的边长这一中间量是解题的关键课程小结1、认识图形的旋转及性质，会根据要求画旋转图形。2、认识中心对称图形及其性质，会设计一些中心对称图案。3、理解并掌握中心对称图形（平行四边形）的性质、判定及其应用。课后作业【基础】1.如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AEAC,AE=1，连接BE，则tanE=_.答案：解析

27、：2. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 答案：解析：【巩固】1. 对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”。若GOM的面积为1，则“飞机”的面积为 14 。解析连接AC，四边形ABCD是正方形，ACBD，E、F分别BC、CD的中点，EF/BD，ACEF，CF=CE，EFC是等腰直角三角形，直线AC是EFC底边上的高所在直线，

28、根据等腰三角形“三线合一”，AC必过EF的中点G，点A、O、G和C在同一条直线上，OC=OB=OD，OCOB，FG是DCO的中位线，OG=CG= OC, M、N分别是OB、OD的中点，OM=BM= OB，ON=DN= OD，OG=OM=BM=ON=DN= BD，等腰直角三角形GOM的面积为1，OMOG=OM2=1，OM=,BD=4 OM=4,2AD2= BD2=32,AD=4,图2中飞机面积图1中多边形ABEFD的面积，飞机面积=正方形ABCD面积-三角形CEF面积=16-2=14。2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分 ÐABC，P是BD上一点，过点P作PMAD

29、，PNCD，垂ABCDNMP 足分别为M、N。 (1) 求证：ÐADB=ÐCDB； (2) 若ÐADC=90°，求证：四边形MPND是正方形。解析： 证明：(1) BD平分ÐABC，ÐABD=ÐCBD。又BA=BC，BD=BD， ABD CBD。ÐADB=ÐCDB。 (4分) (2) PMAD，PNCD，ÐPMD=ÐPND=90°。 又ÐADC=90°，四边形MPND是矩形。 ÐADB=ÐCDB，PMAD，PNCD，PM=PN。 四边形

30、MPND是正方形。 (8分)3. 如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点（1）求证：ADEABF（2）求AEF的面积考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质3718684分析：（1）由四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，B=D=90°，DC=CB，由E、F分别为DC、BC中点，得出DE=BF，进而证明出两三角形全等；（2）首先求出DE和CE的长度，再根据SAEF=S正方形ABCDSADESABFSCEF得出结果解答：（1）证明：四边形ABCD为正方形，AB=AD，=90°，DC=CB，E、F为DC、BC中点，DE=DC，BF=BC，DE=BF，在AD

31、E和ABF中，ADEABF（SAS）；（2）解：由题知ABF、ADE、CEF均为直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF=×4=2，CE=CF=×4=2，SAEF=S正方形ABCDSADESABFSCEF=4×4×4×2×4×2×2×2=6点评：本题主要考查正方形的性质和全等三角形的证明，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理，此题难度不大4. 四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF（1）求证：ADEABF；（2）填空：ABF

32、可以由ADE绕旋转中心A 点，按顺时针方向旋转90 度得到；（3）若BC=8，DE=6，求AEF的面积考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质专题：证明题分析：（1）根据正方形的性质得AD=AB，D=ABC=90°，然后利用“SAS”易证得ADEABF；（2）由于ADEABF得BAF=DAE，则BAF+EBF=90°，即FAE=90°，根据旋转的定义可得到ABF可以由ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；（3）先利用勾股定理可计算出AE=10，在根据ABF可以由ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到AE=AF，EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可解答：（1）证明：四边形ABCD是正方形，AD=AB，D=ABC=90°，而F是DCB的延长线上的点，ABF=90°，在ADE和ABF中，ADEABF（SAS）；（2）解：ADEABF，BAF=DAE，而DAE+EBF=90°，BAF+EBF=90°，即FAE=90°，ABF可以由ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；故答案为A、90；（3）解：BC=8，AD=8，在RtADE中，DE=6，AD=8，AE=10，ABF可以由ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋