数列求和的七种基本方法

1、.数列求和的七种基本方法甘志国部分内容( 已发表于数理天地 ( 高中 ) ， 2014(11) ：14-15)数列求和是数列问题中的基本题型， 但具有复杂多变、综合性强、 解法灵活等特点，本文将通过例题 ( 这些例题涵盖了 2014 年高考卷中的数列求和大题 ) 简单介绍数列求和的七种基本方法 .1 运用公式法很多数列的前n 项和 Sn 的求法，就是套等差、等比数列Sn 的公式，因此以下常用公式应当熟记：123Ln1 n( n1)2135L(2 n1)n21222L2n 12n1111L11222232n12n还要记住一些正整数的幂和公式：122232n21 n(n 1)( 2n 1)6132

2、333n31 n2 (n 1) 24例 1已知数列 an 的前 n 项和 Sn32nn 2 ，求数列 an 的前 n 项和 Tn .解由 Sn32n n 2, 可得 an332n ,an0n 16 ，所以：(1) 当 n16 时 , Tn = Sn32nn2.(2) 当 n 17 时，Tna1a2an(a1a2a16 )(a17a18an )S16( SnS16 )2S16Snn232n512所以Tn32nn2(n1,2,L ,16)n232n512( n17, 且 nN )例 2求 Sn1 n 2 (n 1) 3 (n 2)n 1.解设 akk(n 1k )k( n1) k 2 ，本题即求数

3、列 ak 的前 n 项和 .'.Sn (123n)( n1)(122232n 2 )11)(n1n( n1)(2n1)n( n1)261 n( n1)(n2)6高考题 1(2014年高考浙江卷文科第19题( 部分 ) 求数列2n 1 的前 n 项和 Sn .答案： Snn2 .高考题 2 (2014年高考四川卷理科第19 题 ( 部分 ) 求数列2n4 的前 n 项和 Sn .答案： Snn23n .高考题 3(2014 年高考福建卷文科第17 题 ) 在等比数列 an 中， a23,a581.(1) 求 an ；(2) 设 bnlog3 an ，求数列 bn 的前 n项和 Sn .答

4、案： (1)an 3n 1 ； (2) Snn2n .2高考题 4(2014 年高考重庆卷文科第16 题 ) 已知 an是首项为1，公差为2 的等差数列， Sn 表示 an 的前 n 项和 .(1) 求 an 及 Sn ；(2) 设 bn是首项为2 的等比数列，公比q 满足 q2(a41)q S4 0 ，求 bn的通项公式及其前n 项和 Tn .答案： (1)an 2n1, Sn n2 ； (2) bn22n 1 ,Tn2 (4 n1).32倒序相加法事实上，等差数列的前n 项和 Sn 的公式推导方法就是倒序相加法.例 3求正整数 m 与 n(mn) 之间的分母为 3的所有既约分数的和 S .

5、解显然，这些既约分数为：m 1 ,m2 , m4 , , n4 ,n2 , n1333333'.有也有S (m124(n421) (m) (m) (n) ( n)333333S (n124( m421) (n) ( n) (m) (m)333333所以2S (mn)2(nm) 2(n 2m2 ), Sn2m 2例 44x，求和 f1f2f3Lf2001 .设 f ( x)4x22002200220022002解可先证得 f ( x)f (1x)1，由此结论用倒序相加法可求得答案为2001 .23 裂项相消法例 5若 an 是各项均不为111n0 的等差数列， 求证：a2 a3anan

6、1.a1 a2a1 an 1证明设等差数列 an 的公差为 d ：若 d0 ，要证结论显然成立；若 d0 ，得1111an an 1()d anan 1111a1 a2a2 a3an an 111111)(11)()(anand a1a2a2a311111ndnd a1an 1d a1 an 1a1 an 1例 8证明 111L12(nN 且 n2).122232n2证明1111122 232n 2111L11 2( n1) n2 311111L111223n1n11121n高考题 5(2014 年高考全国大纲卷理科第18 题) 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知a110 ， a为

7、整数，且 Sn S4 .2(1) 求 an 的通项公式；'.(2) 设 bn1，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .an an1答案： (1)an 133n ；(2) Snn.10(103n)高考题 6(2014年高考广东卷文科第19 题 ) 设各项均为正数的数列an 的前 n 项和为Sn ，且 Sn 满足 Sn2n2n 3 Sn 3 n2n 0, n N .(1) 求 a1 的值；(2) 求数列 an 的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1111a1 (a11) a2 (a2 1)an (an 1).3答案： (1)a12；(2)an2n ； (3) 当 n1 时 ， 可

8、得 欲 证 成 立 . 当 n2 时 ，111111，再用裂项相消法可得欲an (an1) 2n(2 n1) (2 n1)(2 n 1)22n1 2n1证.高考题 7(2014年高考山东卷理科第19 题 ) 已知等差数列 a 的公差为 2，前n项和n为 Sn ，且 S1 ， S2 ， S4 成等比数列 .(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 令 bn = (1) n 14n, 求数列 bn 的前 n 项和 Tn .an an12n2为奇数答案： (1) an 2n1 ， Tn2n1n.2n为偶数2n1n4 分组求和法例 9 求 Sn1 1111L1112141Ln 1.2242解 设 an

9、11L12114n 1 ，得 ann 1 .222'.所以本题即求数列21的前 n 项和：n12Sn2n 111L12n an2n 2124n 12n 122例 10设数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Snan1，又 bn( 1) n Sn ，求数列 bn 2的前 n 项和 Tn .an2解 在 Sn11可求得 a11 .2中，令 n还可得4Sn(an 1)2 , 4Sn 1( an 1 1)2相减，得4an 1an 1 2an 22an 12an(an 1an )(an 1an2) 0an1an2所以 an 是首项为1 公差为2 的等差数列，得an2n1an12所以Snn2 ,

10、bn( 1)n n22当 n 为偶数时，Tn( 1222 )(3242 )(n1) 2n2 3711(2n 1)n(n1)当 n 为奇数时，2TnTn 1bnn(n 1)n2 (用以上结论 )n(n1)n(n1)22总之， Tn(1) n.2高考题8 (2014 年高考北京卷文科第15题 ) 已知 an是等差数列，满足a13 ，a412 ，数列 bn满足 b14， b420，且 bnan是等比数列 .(1) 求数列 an 和 bn 的通项公式；(2) 求数列 bn 的前 n 项和 .'.答案： (1)an =3n, bn =3n 2n 1 ；(2)3n(n 1) 2n 1 .2高考题

11、9(2014 年高考山东卷文科第19 题 ) 在等差数列 an 中，已知公差 d2 ， a2是 a1 与 a4 的等比中项 .(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设 ban( n 1)，记 Tnb1b2 b3b4 ( 1)n bn ，求 T.nn2( n1)2n为奇数an 2n ， Tn2答案： (1).1)n( nn为偶数2高考题 10(2014 年高考浙江卷理科第19 题 ( 部分 ) 求数列 2n1的前 n 项n(n1)和 S .n答案： 2n 1n2 .n 15 错位相减法高考题 11(2014年高考江西卷理科第 17题) 已知首项都是1 的两个数列an , bn (bn0, n

12、N*) 满足 anbn 1 an 1bn 2bn 1bn0 .(1) 令 cnan，求数列 cn的通项公式；bn(2) 若 b3n1，求数列 a的前 n 项和 S .nnn解 (1) cn 2n 1.(2) 得 an bncn(2n1) 3n1. 先写出Sn 的表达式：Sn 1 1 3 315 327 33(2n1) 3n 1把此式两边都乘以公比3，得3Sn1 313 325 33(2n 3) 3n 1(2n 1) 3n- ，得2Sn1 2312 322 332 3n 1(2n 1) 3n2Sn (2 302 312 322 332 3n 1) (2n 1) 3n1'.由等比数列的前n

13、 项和公式，得2Sn3n1(2n1) 3n12Sn3n1(2n1) 3n1(2n2) 3n2Sn(n1) 3n1因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：(1) 等式右边前n 项的符号都是“+”，但最后一项是“” ；(2) 当等式右边的前n 项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变成等比数列 ( 即等式 ) ，这增加了难度； (3) 等式中最后一步的变形( 即合并 ) 有难度 . 但这种方法 ( 即错位相减法 ) 又是基本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就不足为怪了. 考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到满分.这里笔者再给出一个小技巧检验：算得了 Sn 的表

14、达式后，一定要抽出万忙的时间检验一下S1, S2 是否正确，若它们均正确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查( 重点是检查容易出错的三点)或重算 .对于本题，已经算出了Sn( n1) 3n1 ，所以 S11, S210 . 而由通项公式可知S11 11, S2S13 3110 ，所以求出的答案正确.高考题12(2014年高考课标全国卷I文科第17 题 ) 已知an 是递增的等差数列，a2 ,a4 是方程 x25x60 的根 .(1)求 an 的通项公式；(2) 求数列an的前 n 项和 .2n答案： (1)an1 n1.2n 4 .(2) 用错位相减法可求得答案为 22n 1高

15、考 题13(2014年高考安徽卷文科第18 题)数 列 an 满 足a1 1, nan 1(n1)ann(n1),nN*.(1) 证明：数列 an 是等差数列；n(2) 设 bn3nan ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn .答案： (1) 略 .'.(2)由 (1)可 求 得 an n2 ， 所 以 bn3n n ， 再 用 错 位 相 减 法 可 求 得( 2n 1)3n 13Sn4.高考题 14(2014年高考四川卷文科第 19题 ) 设等差数列 a 的公差为d，点 (a, b )nnn在函数 f (x)2x 的图象上 (n N*).(1)证明：数列 bn 为等比数列；(2)

16、若 a11，函数 f ( x) 的图象在点 (a2 , b2 ) 处的切线在 x 轴上的截距为 21，求数ln 2列 anbn2 的前 n 项和 Sn .答案： (1)略 .(2)可 求 得 ann,bn2n， 所 以 anbn2n 4n ， 再 用 错 位 相 减 法 可 求 得(3n 1)4n14.Sn9高考题 15(2014年高考四川卷理科第19题 ) 设等差数列 a 的公差为d，点 (an, b )nn在函数 f (x)2x的图象上 (nN*).(1) 若 a12 ，点 (a8 ,4b7 ) 在函数 f ( x) 的图象上，求数列 an 的前 n 项和 Sn ；(2) 若 a1，函数f

17、 ( x)的图象在点 (a , b ) 处的切线在 x 轴上的截距为21，求数122ln 2列 an的前 n 项和 Tn .bn答案： (1)Sn =n23n .(2)可 求 得nannann bn2， 所 以，再用错位相减法可求得答案为,2nbnTn 2n 2.2n6 待定系数法例 11 数列 ( 2n1)3n 的前 n 项和 Sn.解 设等差数列 am 的公差为 d ，等比数列 bm 的公比为 q(q1) ，得'.ambm a1(m1)d b1qm 1 (m 1,2,L, n)先用错位相减法求数列 ambm 的前n 项和 Sn ：Snb1 a1(a1d )q (a12d ) q2L

18、 a1(n 1)d q n 1qSnb1a1q(a1d)q2L a1( n 2)d qn 1 a1 (n 1)dqn (1 q) Snb1 a1dq dq 2 Ldqn 1 a1(n 1)d qn b1( ddqdq2Ldqn 1 ) a1(n1)d qna1d b1d dq n a1(n 1)dqna1d1qq 1 Sndn a1ddq na1ddb1q1q 1所以有下面的结论成立：若 am, bm 分别是等差数列、 等比数列 ( 其公比 q1) ，且 a1, b1 均是与 n 无关的常数，则数列 am bm 的前n项和 S(anb)q nb，其中 a,b 是与n无关的常数 .n由此结论就可

19、以用待定系数法快速求解本题：可设n(anb3ba, bSn(其中是常数 ).)可得 S13, S23 273(ab)b3a330，所以b)b30， 解 得， 所 以9(2ab3Sn (n1) 3n 13 .例 12求和 Sn1 2n +2 2n 1 +3 2n 2 + L +(n 1) 22 +n 2 .解 得 Sn0+2 1121 1+3 1+L +n 12n2222n 1.用待定系数法可求出该等式的右边为n2n242n1 ，所以 Sn22n 4 .七、求导法、积分法例 13 (1) 求证： 1 xx2x3xnxn 11 (x1) ；x1(2) 求证： 1 2x2n 1( x 1) n 1 xn1(x 1) ；3xnx(x 1)2(3) 求数列 (2n1) 3n的前 n 项和 Sn ( 此即例 6).'.解(1)当 x 0 时，显然成立 . 当 x0 时，由等比数列的前n 项和公式知，欲证结论也成立 .(2)视 (1) 的结论为两个函数相等，两边求导后即得欲证成立.(3)(2 n1) 3n