数学建模习题——线性规划

1、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税此外还有以下限制：1) 政府及代办机构的证券总共至少要购进 400 万元；2) 所购证券的平均信用等级不超过 1.4( 信用等级数字越小，信用程度越高 ) ；3) 所购证券的平均到期年限不超过 5 年证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益 (%)A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5表四问：（1）若该经理有 1000 万元资金，应如何投资？（ 2）如果能够以 2.75%的利率借

2、到不超过 100 万元资金，该经理应如何操作？（ 3）在 1000 万元资金情况下，若证券 A的税前收益增加为 4.5%，投资应否改变？若证券 C的税前收益减少为 4.8%，投资应否改变？解：设利润函数为 M(x), 投资 A、B、C、D、E 五种类型的证券资金分别为 x1, x2, x3, x4, x5 万元，则由题设条件可知精选文库M ( x)0.043x10.027 x20.025x30.022 x40.045x5x1x2x3x4x51000x2x3x44002x12x2x3x4 5x51.4( x1x2x3x4x5 )9x115x24x33x42x5 5( x1x2x3x4x5 )x1

3、 , x2 , x3 , x4 , x50利用 MATLAB求解最优解，代码如下：c=-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045;A=1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2-3;b=1000;-400;0;0;Aeq=;beq=;vlb=0;0;0;0;0;vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)运行结果如下：-2精选文库即 x1218.1818,x20, x3 736.3636,x40, x5 45.4545因此，应投资 A证券 218.1818 万元

4、，B证券 0万元，C证券 736.3636万元， D证券 45.4545 万元，最大利润为29.8364 万元。（ 2）设借到资金 y 万元，则由题设条件可知：M (x)0.043x10.027 x20.025x30.022x40.045 x5 0.0275yx1x2x3x4x51000yx2x3x44002x12x2x3x45x51.4( x1x2x3x4x5 )9x115x24x33x42x55( x1x2x3x4x5 )x1, x2 , x3 , x4 , x500y100利用 MATLAB求最优解，代码如下 c=-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045 0.

5、0275;A=1 1 1 1 1 -1;0 -1 -1 -1 0 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6 0;4 10-1-2-30;000001;b=1000;-400;0;0;100;Aeq=;beq=;vlb=0;0;0;0;0;0;vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)运行结果如下：-3精选文库即x1240, x20, x3810, x40, x550, y100所以经理应借出100 万元用于投资，应投资A 证券 240 万元， B证券 0 万元，C证券 810 万元，D证券 50 万元，最大利润为30.07 万元。（ 3）在 1000 万元资金的条件下：（）若证券 A 的税前收益增加为4.5%，根据 MATLAB运行结果( 运行结果与第（ 1）问的运行结果相同 ) 可知所投资的各种证券值不变，所以投资