数学归纳法经典例题详解

1、.例 1 用数学归纳法证明：1111n1335572n 1 2n 1 2n 1请读者分析下面的证法：证明： n=1 时，左边111113，右边21，左边 =右边，等式成立33假设 n=k 时，等式成立，即：1111k1335572k12k12k1那么当 n=k+1 时，有：111111335572k12k12k1 2k3111111111112335572k12k12k12k311112k222k322k3k1k12k32 k11这就是说，当n=k+1 时，等式亦成立由、可知，对一切自然数n 等式成立评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一

2、步，当n=k+1 时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求正确方法是：当n=k+1 时111111335572k12k12k1 2k3k12k12k12k 32k 23k12k1k12k12k32k12k3'.k1k12k32 k11这就说明，当n=k+1 时，等式亦成立，例 2 是否存在一个等差数列 an ，使得对任何自然数n，等式：a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并证明你的结论分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3 时找出来 an ，然后再证明一般性解：将 n=1，2，3 分别代入等式得方程组a16a12a22

3、4，a12a23a360解得 a1=6， a2=9， a3=12，则 d=3故存在一个等差数列an=3n+3，当 n=1， 2，3 时，已知等式成立下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an =3n+3，对大于 3 的自然数，等式a1+2a2+3a3 + +nan=n(n+1)(n+2)都成立因为起始值已证，可证第二步骤假设 n=k 时，等式成立，即a1+2a2+3a3 + +kak=k(k+1)(k+2)那么当 n=k+1 时，a1+2a2+3a3 + +kak +(k+1) ak+1= k(k+1)(k+2)+ (k+1)3( k+1)+3 =(k+1)( k2+2k+3k+6)=(k+1)

4、( k+2)(k+3)=(k+1)( k+1)+1( k+1)+2这就是说，当n=k+1 时，也存在一个等差数列an=3n+3 使 a1+2a2 +3a3 + +nan=n(n+1)(n+2) 成立综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式 a1+2a2+3a3+ +nan=n(n+1)(n+2)都成立111n (nN) 例 3 证明不等式 1322n证明：当n=1 时，左边 =1，右边 =2'.左边 <右边，不等式成立假设 n=k 时，不等式成立，即111k 1322k那么当 n=k+1 时，111113kk122k12 kk11k1k1kk112 k1

5、2k 1k1k1这就是说，当n=k+1 时，不等式成立由、可知，原不等式对任意自然数n 都成立说明：这里要注意，当n=k+1 时，要证的目标是111113k2 k 1 ，当代入归纳假设后，就是要证明：2k 12 k12 k1 k1认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标例 4 已知数列 an 满足 a1 =0，a2 =1，当 n N 时， an+2=an+1+an求证：数列 an 的第 4m+1 项 (mN) 能被 3 整除分析：本题由 an+1=an+1+an 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法当 m=1 时， a4m+1=a5 =a4+a3 =

6、(a3+a2 )+(a2 +a1)=a2 +a1+a2 +a2+a1=3，能被 3 整除当 m=k 时， a4k+1 能被 3 整除，那么当n=k+1 时，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1由假设 a4k+1 能被 3 整除，又3a4k+2 能被 3 整除，故 3a4k+2+2a4k+1 能被 3 整除因此，当 m=k+1 时， a4(k+1)+1 也能被 3 整除由、可知，对一切自然数m N，数列 an 中的第 4m+1 项都能被 3 整

7、除'.例 5 n 个半圆的圆心在同一条直线l 上，这 n 个半圆每两个都相交，且都在直线l 的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证当 n=2 时，由图 (1)两个半圆交于一点，则分成4 段圆弧，故 f (2)=4=2 2当 n=3 时，由图 (2)三个半径交于三点，则分成9 段圆弧，故 f (3)=9=3 2由 n=4 时，由图 (3)三个半圆交于 6 点，则分成16 段圆弧，故 f (4)=16=4 2由此猜想满足条件的n 个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2用数学归纳法证明如下：当 n=2 时，上面已证设 n=k 时， f (k)=k2，那么当 n=k+1 时，第 k+1 个半圆与原k 个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1 个半圆把原k 个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出 k 条圆弧；另外原k 个半圆把第k+1 个半圆分成k+1 段，这样又多出了k+1 段圆弧 f ( k+1)=k2+k+(k+1)=k2 +2k+1=( k+1)2 满足条件的 k+1 个半圆被所有的交点最多分成 (k+1) 2 段圆弧由、可知，满足条件的n 个半