广东省肇庆市2018-2019学年高一下期末数学试卷含答案解析

1、2018-2019 学年广东省肇庆市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1与 60°相等的弧度数是（）A 60 B 6 C D2已知向量 =（ 2， 1）， =（ 3， 4），则的结果是（）A （ 7， 2）B（ 1， 2）C（ 1， 3）D（ 7，2）3在 ABC 中，角 A ，B，C 所对的边分别是a，b，c，若 B=30 °，b=2 ，则的值是（）A 2B 3C 4D 64已知等比数列 an 满足a1+a2=3， a2+a3=6，则 a7=（）A64B 81C 128

2、D2435在 ABC 中，三顶点分别为A（ 2，4），B（ 1，2），C（ 1，0），点 P（ x，y）在 ABC内部及其边界上运动，则m=y x 的取值范围为（）A 1 3B3 1 C1 3D31， ， ， ，6在 ABC 中，已知 | =|=4 且?=8，则该三角形是（）A 等边三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D不能判断形状7我们把1，3，6，10，15，这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图）则第七个三角形数是（）A27B28C29D308化简，得到的结果是（）A sinB cos C tanD90 ，sin）=，则cos）若 ，（ 的值是（A BCD第1页（

3、共 17页）10函数 f（ x）=Asin （ x+? ）（ A 0，0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（ 2）+f（11）的值是（）A2 2B22C0D1+11设=（ 1，2），=（ a， 1），=（ b， 0）（ a 0， b 0， O 为坐标原点），若A、B、C 三点共线，则的最小值是（）A 4BC 8D 912对实数 a 与 b，定义新运算 “?”：设函数 f（ x）=（ x2 2）?（ xx2）， xR若函数 y=f （ x） c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）A BCD 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.）13函数 f （ x

4、） =cos（x）的最小正周期是14九章算术是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一 ”的算法与现代数学的算法一致如某一问题：现有扇形田，下周长（弧长）20 步，径长（两段半径的和） 24 步，则该扇形田的面积为平方步15如图，四边形ABCD 中， ABC= C=120°， AB=4 ， BC=CD=2 ，则该四边形的面积是16设 x，m，n，y 成等差数列， x，p，q，y 成等比数列， 则的取值范围是三、解答题（本大题共6 小题，共70 分，解答应写出证明过程或演算步骤.）17（）在等差数列 an 中， a6 =10， S5=5，求该数列的第8 项 a8；（）在等比

5、数列 bn 中， b1+b3=10 ， b4+b6=，求该数列的前5 项和 S5第2页（共 17页）18已知 是第三象限角，且sin=（）求tan与 tan（）的值；（）求cos2的值19已知函数f （ x） =sin2x +cos2x+1（）求f （ x）的递减区间；（）当x ， 时，求 f（ x）的最值，并指出取得最值时相应的x 的值20设数列 an 的前 n 项和为 Sn=n 2， bn 为等比数列，且a1=b1， b2（ a2 a1） =b1（ 1）求数列 an ， bn 的通项公式（ 2）设 cn=an?bn，求数列 cn 的前 n 项和 Tn21某通讯公司需要在三角形地带OAC 区

6、域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内分界线OB 固定，且 OB=（1+）百米，边界线AC 始终过点B，边界线OA 、 OC 满足 AOC=75 °， AOB=30 °， BOC=45 °设 OA=x （ 3 x 6）百米， OC=y 百米（1）试将 y 表示成 x 的函数，并求出函数y 的解析式；（2）当 x 取何值时？整个中转站的占地面积SOAC 最小，并求出其面积的最小值22已知数列 an 满足，nN*， （1）求证：数列为等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数m， s， t，使 m， s，t 成等差数

7、列，且 am 1， as 1， at1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m， s， t；如果不存在，请说明理由第3页（共 17页）2018-2019 学年广东省肇庆市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .）1与 60°相等的弧度数是（）A 60 B 6C D【考点】 弧度与角度的互化【分析】 根据 弧度等于180°，求得 60°化为弧度角的值【解答】 解：与 60°相等的弧度数是?=，故选： D2已知向量=（ 2， 1）， =（

8、 3， 4），则的结果是（）A （ 7， 2）B（ 1， 2）C（ 1， 3）D（ 7，2）【考点】 平面向量的坐标运算【分析】 向量的坐标的加减运算法则计算即可【解答】 解：=（ 2，1）， =（ 3，4）， =2（21）（34 =4 23 4）=4324）=72， ）（ ， ）（，（+，（ ，），故选： A3在 ABC 中，角 A ，B，C 所对的边分别是a，b，c，若 B=30 °，b=2 ，则的值是（）A2B3C4D6【考点】 正弦定理【分析】 由已知利用正弦定理即可计算得解【解答】 解： B=30 °， b=2 ，由正弦定理可得：=4，故选： C4已知等比数列 a

9、n 满足 a1+a2=3， a2+a3=6，则 a7=（）A 64B 81C 128D 243【考点】 等比数列【分析】 由 a1+a2=3， a2+a3=6 的关系求得q，进而求得a1，再由等比数列通项公式求解【解答】 解：由 a2+a3=q（ a1+a2） =3q=6， q=2 ， a1（ 1+q）=3 ， a1=1 ， a7=2 6=64 故选 A第4页（共 17页）5在 ABC 中，三顶点分别为A（ 2，4），B（ 1，2），C（ 1，0），点 P（ x，y）在 ABC内部及其边界上运动，则m=y x 的取值范围为（）A 1，3B 3， 1 C 1，3 D 3， 1【考点】 简单线性规

10、划【分析】 根据 m 的几何意义，平移直线y=x +m，利用数形结合即可求出m 的取值范围【解答】 解：由 m=y x 得 y=x +m，平移直线y=xmy=x mB（12）时，+，由图象可知当直线+ 经过点，直线 y=x +m的截距最大，此时 m 最大，此时 mmax=2 （1） =3直线y=x m经过点C（10+， ）时，直线 y=x +m 的截距最小，此时m 最小， mmin =0 1= 1即 1 m 3，即 m 1，3 故选： C6在 ABC 中，已知 | =|=4 且?=8，则该三角形是（）A 等边三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D不能判断形状【考点】 平面向量数量积的运算【分析】

11、 运用向量的数量积的定义可得?=|?cosA，解方程可得A=，即| | |可判断三角形的形状【解答】 解：由 | =|=4 且?=8 ，可得 ?=| ?| ?cosA=4 ?4?cosA=8 ，即 cosA=，由 0 A ，可得 A=，则 ABC 为等边三角形故选： A第5页（共 17页）7我们把1，3，6，10，15，这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图）则第七个三角形数是（）A27 B28 C29 D30【考点】 数列的应用【分析】 原来三角形数是从l开始的连续自然数的和l 是第一个三角形数，3 是第二个三角形数， 6 是第三个三角形数，10 是第四个三角形数，

12、15 是第五个三角形数 那么，第七个三角形数就是：l 234 567=28+【解答】 解：原来三角形数是从l 开始的连续自然数的和l 是第一个三角形数，3 是第二个三角形数，6 是第三个三角形数，10 是第四个三角形数，15 是第五个三角形数，那么，第七个三角形数就是： l +2+3+4+5+6+7=28故选 B8化简，得到的结果是（）A sinB cos C tanD【考点】 三角函数的化简求值【分析】原式利用诱导公式化简，约分并利用同角三角函数间的基本关系化简即可得到结果【解答】 解：=，故选： C90 ，sin（）=，则cos若 ，的值是（）ABCD第6页（共 17页）【考点】 两角和与

13、差的余弦函数【分析】 利用同角三角函数的基本关系求得cos（ ），再利用两角差的余弦公式求得cos=cos （ ） + 的值【解答】 解： 0，sin）=，则cos）= ，（ （ = ，cos=cos）+=cos ）?cossin ）sin = ? （ （ （ =，故选： B10函数 f（ x）=Asin （ x+? ）（ A 0，0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（ 2）+f（11）的值是（）A2 2B22C0D1 +【考点】 由 y=Asin （ x+）的部分图象确定其解析式【分析】 依题意，可求得f（x）=2sinx，其周期 T=8 ，分别求得 f（ 1）、f（2）、f（ 3）、f

14、（ 8）的值，即可求得f（1） +f（ 2） +f（ 11）的值【解答】 解：由图知， A=2 ， T=2 （ 6 2）=8 ，=，又× 0+=2k（ k Z），=2k（ kZ ），f （x） =2sinx，f （1） =， f（ 2） =2， f（ 3） =， f （ 4） =0， f（ 5） =， f（6） = 2， f（7） =， f（ 8） =0， f （1） +f （ 2） +f （ 8） =0， T=8 ，f1f 2 f 11 =f1f2 f3）=2 2（）+（）+ +（ ）（） +（ ） +（+故选： A第7页（共 17页）11设=（ 1， 2），=（ a， 1），=（

15、 b， 0）（ a 0， b 0， O 为坐标原点），若A、B、C 三点 共线，则的最小值是（）A 4BC8D 9【考点】 平面向量的坐标运算；基本不等式；平行向量与共线向量【分析】 由题意可得=K ?，即=K（），K 为常数，化简可得 2a+b=1根据=4 +1+ + ，利用基本不等式求得它的最小值【解答】 解：由题意可得=K ?，即=K （）， K 为常数即（ a 1，1） =K ?（ b1， 2）， a 1= bK K， 1=2K 解得 K=， 2a+b=1 再由 a 0，b 0，=+=4 +1+ 5+2=9，当且仅当=时，取等号，即的最小值是9，故选 D12对实数 a 与 b，定义新运

16、算 “?”：设函数 f（ x）=（ x2 2）?（ xx2）， xR若函数 y=f （ x） c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）A BCD 【考点】 函数与方程的综合运用【分析】 根据定义的运算法则化简函数f x= x22xx2）的解析式，并求出f x）（） （ ）?（的取值范围，函数y=f （ x） c 的图象与 x 轴恰有两个公共点转化为y=f （ x）， y=c 图象的交点问题，结合图象求得实数c 的取值范围【解答】 解：，函数 f（ x）=（ x2 2）?（ x x2） =，由图可知，当c第8页（共 17页）函数 f（ x） 与 y=c 的图象有两个公共点，

17、c 的取值范围是，故选 B二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.）13fx =cosx）的最小正周期是2函数（ ）（ 【考点】 三角函数的周期性及其求法【分析】 根据余弦函数的最小正周期的求法，将w=代入即可得到答案【解答】 解： f （ x） =cos（ x）， T=2故答案为： 214九章算术是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致如某一问题：现有扇形田，下周长（弧长）20 步，径长（两段半径的和） 24 步，则该扇形田的面积为120平方步【考点】 扇形面积公式【分析】 利用扇形面积计算公式即可得出【解答】 解：由题意可得：弧长

18、l=20 ，半径 r=12 ，扇形面积S=lr=120 （平方步），故答案为： 12015如图，四边形ABCD 中， ABC= C=120°，AB=4 ，BC=CD=2 ，则该四边形的面积是第9页（共 17页）【考点】 正弦定理【分析】 由已知利用余弦定理可求BD ，进而利用三角形面积公式可求SABD 和 SBCD ，从而求得四边形的面积【解答】 解： ABC= C=120°， AB=4 ， BC=CD=2 ，在 BCD 中， BD=2 ，SABD =AB ?BD ?sin=4 ，SBCD =，四边形的面积 S=SABD +SBCD =4=5故答案为：16设 x， m，n，

19、y 成等差数列， x，p，q，y 成等比数列，则的取值范围是（， 0 4， +）【考点】 等比数列的通项公式【分析】 由已知得m+n=x+y，pq=xy ，从而=，由此能求出的取值范围【解答】 解：设x， m， n， y 成等差数列，x， p，q， y 成等比数列，m+n=x +y， pq=xy ，=，当xy0时，=2 2=4， +当xy0时，=2 2=0+第 10 页（共 17 页）的取值范围是（04），+故答案为：（ ， 0 4， +）三、解答题（本大题共6 小题，共70 分，解答应写出证明过程或演算步骤.）17（）在等差数列 an 中， a6 =10， S5=5，求该数列的第8 项 a8

20、；（）在等比数列 bn 中， b1+b3=10 ， b4+b6=，求该数列的前5 项和 S5【考点】 等比数列的前n 项和；等差数列的通项公式【分析】（）由等差数列通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出该数列的第8 项 a8（）法一：由等比数列通项公式列出方程组，求出首项与公比，由此能求出该数列的前5项和 S5；法二：由，得，从而求出公比，进而得b1，由此能求出该数列的前5 项和 S5 【解答】（本小题满分10 分）解：（）设数列 an 的公差为d，由已知a6=10 ， S5=5，得，解得，所以 a8=a1+7d= 5+7× 3=16（或者 a8=a6+2d=10+2

21、5; 3=16）（）解法一：设数列 bn 的公比为q，由已知，得，解得，所以=解法二：设数列 bn 的公比为 q第 11 页（共 17 页）由，得，从而得又因为，从而得 b1=8所以=18已知 是第三象限角，且sin=（）求tan与 tan（）的值；（）求cos2的值【考点】 两角和与差的正切函数；二倍角的余弦【分析】（）利用同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式，求得 tan与 tan（ ）的值（）由条件利用二倍角公式，求得cos2的值【解答】 解：（）因为是第三象限角，sin=， cos 0又因为 sin22=+cos =1 ，所以故=，=（）由（）知，所以， cos2=cos2 sin

22、2=19已知函数f （ x） =sin2x +cos2x+1（）求f （ x）的递减区间；（）当x ， 时，求 f（ x）的最值，并指出取得最值时相应的x 的值【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（ I ）利用和差公式、倍角公式可得f （x） =，再利用正弦函数的单调性即可得出；（II ）利用正弦函数的单调性即可得出第 12 页（共 17 页）【解答】 解：（）=，要使 f（ x）递减，则要满足：，即，所以函数 f （ x）的递减区间是（）因为，所以，所以，所以，所以故当时，函数 f（ x）的最小值是0，此时，得；函数 f（ x）的最大值是，此时，得20设数列 an 的前

23、 n 项和为 Sn=n 2， bn 为等比数列，且a1=b1， b2（ a2 a1） =b1（1）求数列 an ， bn 的通项公式（2）设 cn=an?bn，求数列 cn 的前 n 项和 Tn【考点】 数列的求和；数列递推式【分析】（ 1）由已知利用递推公式 an=可得 an，代入分别可求数列 bn的首项 b1，公比 q，从而可求bn；n 1（2）由（ 1）可得 cn=（ 2n 1）?4，利用乘 “公比 ”错位相减求和当 n 2 时， an=Sn Sn 1=n2（ n1） 2=2n 1，故 an 的通项公式为an=2n 1，即 an 是 a1=1，公差 d=2 的等差数列设 bn 的公比为

24、q，则 b1qd=b1， d=2，q= 故 bn=b1qn 1=1×，即 bn 的通项公式为bn=（） n 1；（2） cn=an?bn=（ 2n 1） ?（ ） n1，第 13 页（共 17 页）c cTn=c 1+ 2+ n即 Tn=1+3× +5× +（2n 1）?（ ） n 1，T n=1×+3× +5× +（ 2n 3） ?（ ） n1+（ 2n 1）?（ ） n，两式相减得，Tn=1+2（+ + +（ ） n1）（ 2n 1） ?（） n=3（2n1n ）?（） T n=621某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内分界线OB 固定，且 OB=（1+）百米，边界线AC 始终过点B，边界线OA 、 OC 满足 AOC=75 °， AOB=30 °， BOC=45 °设 OA=x （ 3 x 6）百米， OC=y 百米（1）试将 y 表示成 x 的函数，并求出函数y 的解析式；（2）当 x 取何值时？整个中转站的占地面积SOAC 最小，并求出其面积的最小值【考点】 函数解析式的求解及常用方法【分析】（ 1）由图形知， SBOC+SAOB =SAOC，代入面积公式，