新人教高中数学必修5教案全集

1、新人教高中数学必修5教案全集数学必修5模块的教学研究一. 教学实录鬲中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教冇数学课程的茶础上，进一步提高作为 未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需耍。貝体冃标如卜。1. 获得必婆的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了 解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学 习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。2. 提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等某本能力。3. 提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能丿J,数学表达和交

2、 流的能力，发展独立获取数学知识的能力。4. 发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界屮蕴涵的一些数学模式进行思考和 作出判断。5. 提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲ifU不舍的钻研耕神和科学态度。6. JI仃-定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判 性的思维习惯，祟尚数学的理性椿神，体会数学的美学意义，从而进一步树龙辩证唯物主义和历史唯物主义妣界观。本册教科书包括“解三角形”、“数列”、 具体课时分配如下：第一章解三角形第二章数列第三章不等式“不等式”等三章内容。全书约石36课时,约8课时约12课时约16课时三角恒等变换在数学中仃-定的应用，同时仃

3、利发展学生的推理能力和运算能力。在 本模块中，学生将运用向起的方法推导基木的三角恒等变换公式，由此出发导出梵他的三角 恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。数列作为-种特殊的函数，是反映口然规律的基本的数学模型。在本模块屮，学生将通 过对口常生活屮人届实际问题的分析，建芷等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并学 握它们的一些某木数届关系，感受这两种数列模熨的广泛应用，并利用它们解决一些实际问 题。不等关系与和等关系都是客观事物的丛本数磺关系，是数学研究的巫耍内容。建立不等 观念、处理不等关系与处理等吊问题是同样重耍的。在木模块屮，学生将通过具体情境，感 受在现实世界和II常生活中

4、存在着大竜的不等关系，理解不等式（组）对刻画不等关系的 意义和价值；掌握求解一元：次不等式的基本方法，并能解决一些实杯问题；能用二元一次 不等式组衣示平面区域，并尝试解决一些简单的二冗线性规划问题：认识墓本不等式及其简 单应用：体会不等式、方程及函数之间的联系。高中新课程已实施了一年。这不得让我们感到机遇与挑战同在，问题与肆慧共生。在高 中新课程的课堂上，我们欣喜地看到，丰富务彩的课堂正在出现，在民主宽松的课堂环境卜, 学生的思想获得了解放，敢J：放吉陈述门己的观点，思维方式也得到了人人的拓展，各方面 的能力都冇提高，教师经常会冇惊喜地发现。在这样的课堂里，老师也经常受到学生的启发, 真正体现

5、了新课程使师生共同成长。但一个模块的教学时间为36学时,远远不够。原因何在?是教材本身的问题,还是课 程标准的耍求仃问题，或者是教师在使用教材方而的问题？实施新课程以后，学生门己支配 的时间多了，有些学生不知道如何科学地利用时间。从前都有老师跟着，老师都为他们安排 好了，学什么？做什么?但现在，若老师不在身边,有些学生就躁动不安,不懂得如何自主 地学习了。新课程的实施必然帯來许多新问题，作为教师，耍经希反思，及时找到新的对策。 二模块试卷的命制目的及试卷分析。模块试卷样本h海口市一中2004-2005学年度第二学期数学模块5考试试题(解三角形、数列)一.选择题1. 在ZXABC中，角A、B、C

6、成等差数列，则角B为()(A) 30°(B) 60°(C) 90°(D) 120°2. 由勺二1, d = 3确定的等差数列。“,当an =298时，序号n等于()(A) 99(B) 100(C) 96(D) 1013. 在等比数列。“，偽=2, 6=32，则q=()(A) 2(B) -2(C) ±2(D) 44. 在aabc 中，若c? = / + b，+ ab,则zc=()(A) 60°(B) 90°(C) 150°(D) 120°5. 在等差数列c/”中，若a? +(仃+ a。+= 450 ,则a2

7、 + a3的等丁()(A) 180(B) 75(C) 45(D) 306. 在等差数列%中，已知耳+。2=15，6+6=35,则a5-a6=()(A) 65(B) 55(C) 45(D) 257. 在厶ABC M',若sin A cos B = cos A sin B » 则 ABC 为()(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等腰苴角三角形(D)等腰三角形或肖角三角形8. 在等比数列前三项分别为第二项加上2后构成等差数列，则g二 ()(A) 3(B) -1(C) 3 或一1 (D) 29. 在各项均为正数的等比数列/?“中，卄乞也二3,则logs h + log3 b2 +

8、 + log3 h4 等于()(A) 5(B) 6(0 7(D)8第二卷一、选择题题号123I56789101112答案二、填空题10. 在zabc 中,a=3i, b=2>/3, cosC=-,则S, AfiC =11. 在等比数列%中，勺二2, a3=8,则S&二1 1 1 + + 1 X 22 x 33 x4三、解答题13. （10 分）己知等差数列1弓,9扣*,的齢项和为工,求使得S”最人的序号第3页共63页新人教高中数学必修5教案全集第#页共63页新人教高中数学必修5教案全集n的值，并求S”的值。14. （10分）已知I数列an的前n项和为S”，S”二2（%厂1）（*n

9、）（1）求 0,禺；（2）求证：数列心是等比数列.15. （8分）如图，某海轮以60 n mile/h的速度航行,在A点测得海面上油井P在南偏东60° ,向匕航行40 min后到达B点，测得油井P在南偏东30",海轮改为北偏东60"的航向再行驶80 min到达C点.求P、C间的距离。模块考试情况分析:样木容量为57 （个普通班学生）选择题各小题得分率如卜:题号123456789得分率0.720.330.700.600.610.370.510.670.82第4页共63页新人教高中数学必修5教案全集填空题、解答题满分率如卜:题号101112131415得分率0.590

10、.400.580.440.570.29综介以上对考试的试卷分析，对本模块及以后的教学仃着以卜儿点启示：1、耍亟视皋础。数学教学必须面向全体学生，立足甚础，教学过程中耍落实某本概念 知识、基本技能和某本数学思想方法的耍求，特别要关心数学学习闲难的学生，通过学习兴 趣培养和学习方法指导，使他们达到学习的基本耍求，努力提高合格率。2、培养学生的数学衣述能力，提高学生的讣算能力。学生在答题屮，由于书写表达的 不规范或是衷述能力的欠缺，也是造成失分的原因。表述是-种重耍的数学交流能力，因此, 教学>!>$£视训练，培养学生良好的数学表述能力。同时也耍加强考前指导，学习屮考说明 中尙

11、关答题的要求，尽鼠减少由丁表述不清造成的失分。3、强化思维过程，努力提高理性思维能力。数沖基础知识的学习耍充分巫视知识的形 成过程，解数学题耍希匝研究解题的思维过程，弄清基本数学方法和基木数学思想在解题中 的意义和作用，研究运用不同的思维方法解决同一个数学问题的多条途径，注意增减直觉猜 想，归纳抽象,逻辑推理,演绎证明,运算求解等理性思维能力。如果这方面做得好的话。4、個导主动学习，营造门主探索和介作交流的环境。学校和教师耍为学生营造门主探索和 介作交流的空间，善J：从教材实际和社会生活中提出问题，开设研究性课程，让学生自主学 习、讨论、交流，在解决问题的过程中，激发兴趣，树工信心，培养钻研精

12、神，同时提高数 学表达能力和数学交流能力。三模块教学反思.（1）数学必修5的内容共有三章，分别是：解三角形，数列，不等式；内容较多，在 课改Z前应该是高二上学期的内容，并且每周至少是6课时；现在实行课改后5周就上完课 本的三分Z二，每周是5课时：由课时紧，任务人，我感觉学生学得不够好，人多数学生 反映“消化不良”。数学必修5结束一半时进行了一次期末考试，结果也与我们预期的有较 大的出入;课本上原题（含例题、课后练习、习题A组习题的A组）占了整个试题的 55%,结果仃超过一半的学生不及格，原因在哪里呢？我想这应该是我在卜一个学段急碍解 决的主耍问题：在上课时我也是-n是按新课程的理念贯穿整个教学

13、的始终，也是处处体现 为了每一个学生的发展的理念，可为什么最后的结果会冇如此大的反差呢？针対这样的情 况，我该怎么办，这也是我在今后所要解决的一个突出的问题。另我感到欣慰的是：有相当一部分学生懂得如何去学习,如何去钻研、如何彷着质疑的 态度左仔细斟酌：正是有了这种勤学好问的精神,所以学生自己发现了书本的好几处错误: 如：教材61页最上面的、教材135页例题3解答中也有一处、教材140页A组第三题、教 材146页B组第二题等等。我想这主要应该是学生的学习方式发生了巨人的变化才仃这样的结來，在课堂上学生不 再是听课的机器，而是积极参与到课堂教学为中，成了课堂真正的主人。在课堂上我让学生 自己发现问

14、题，提出问题，然后解决问题。自己解决不了问题在学习小组之内讨论解决，在 小组还解决不了的问题在全班共同讨论解决，苴至问题得到完满的解决。这样学生在无形Z 中就变成了学习的主人，成了学习的主角：因为是自己发现的问题，自己來尝试解决，因而 学生的积极性也就很高，学习热情就很饱满。然在学生最盂耍帮助的时候，我便与学生一 起探讨，关键的时候给予必要的指点和表扬，以保持学生学习热请的持续性.我的教学方式：在教数学必修5的内容时我慕本上是让学生口己先预习后提出问题，其 他同学一起帮助解决问题，仅仅是在课堂上控制一下课堂节奏；引导学生如何倾听他人的 观点：在学生感到非常困难是加以分析、引导：指导他们如何进行

15、合作学习：思、考如何让学 生都“动”起來等等。（2） “内容多，课时少”是学生反映最强烈的问题.调資发现，78%的学生认为老师讲课 速度快，学习跟不上，没佇时间理解和消化所学习的内容.因而令必耍适当调整部分教学内 容，如在高一第一学期开设的数学课程不宜过多，可以考虑只开一个模块，让学生对高中的 数学学习有一个适应的过程，以实现初高中的平稳过渡.同时，対现仃的部分内容，该充实 的还是耍允实，让教材内容更具体，学牛学习起来更方便.例如，关信息技术的应用，学 生普遍耍求教材能对人体操作步骤更细致些，老师不仅对有关软件作演示，还应教会学生操 作的方法，正所谓“授Z以鱼不如授Z以渔”.又如，某些公式、定

16、理的证明、推导，虽然 课程标准中不要求学生节握，但教材中还是可以以某种恰半的形式给出（如小字的形式，以 某个问题启发学生思考，介绍某些参考书或某些网站让学生自己去査阅等）.学牛:对某知识 了解其來龙去脉，理解、记忆会更深刻，从而对数学学习产生更人的兴趣.数学5第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的屮心内容是如何解三角形，止眩定理和余弦泄理是解三角形的EH,故后落实 在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以卜学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决 一些简单的三角形度量问题。（2）能够熟练运用止弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测

17、灵和儿何计算有关 的生活实际问题。（二）编写意图与特色1. 数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是屮学数学教学屮的帀:要组成部分，仃利学生加深数学知识的理 解和学握。本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策 略等方而对学生进行具体示范、引导。木章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它 们都是关三角形的边角关系的结论。在初屮，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识, 就是''在任意三角形中仃人边对人角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及 其所夹的角相等，那么这两个三角形全”等。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已冇的几何知

18、识出发，提出探究性问题：“在 任意三角形中仃人边对人角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准 确駅化的表示呢？”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及 其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是人小、形状完全确定的三角形.我们 仍然从届化的角度來研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角 形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都足为了加强数学思想方法的教学。2. 注意加强前后知识的联系加强与前厉各章教学内容的联系，注意复习和用用已学内容，并为后续章节教学内容做 好准备，能使整套教科书成为一个仃机幣体，提高教学效益，并仃

19、利J学生対嗷学知识的 学习和巩固。本章内容处理三角形中的边角关系，勺初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三 角形的边和角相等判定三角形全等的知讲冇着密切联系。教科书在引入正眩定理内容时，让 学生从已冇的几何知识出发，提出探究性问题''在任意三角形屮冇人边对人角，小边对小角 的边用关系.我们足否能紂到这个边、角的关系准确灵化的表示呢？”，在引入余眩定理内容 时，提出探究性问题“如呆已知三角形的两条边及英历夹的角，根据三角形全等的判定方法, 这个三角形是人小、形状完全确定的三角形.我们仍然从鼠化的角度來研究这个问题，也就 是研究如何从己知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和

20、两个角的问题这样，从 联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识右了新的认识，同时使新知 识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。课程标准和教科书把"解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置 相对孩后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平而向駅、ri线和圆的方程等与本章知 识联系密切的内容，这使这部分内容的处理仃了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简 洁。比如对余弦定理的证明，常用的方法是借助j：三角的方法，需耍対j：三角形进行讨论, 方法不够简洁，教科书则用了向帚的方法，发挥了向駅方法在解决问题中的威力。在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余

21、眩定理与勾股定理的比较中，提出了一个 思考问题“勾股定理扌旨出了n角三角形屮三边平方z间的关系，余眩定理则指出了 -般三角 形屮三边平方之_间的关系，如何看这两个定理z间的关系？ ”，并进而扌旨出，“从余弦定理以 及余眩函数的性质可知，如来一个三角形两边的平方和等第三边的平方，那么第三边所对 的角是直角：如果小j第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如呆人第三边的平方, 那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余眩定理是勾股定理的推广.”3. 重视加强意识和数学实践能力学数学的最终口的足应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不 强，创造能力钱费。学生往往不能把实际问題抽彖成数学

22、问题，不能把所学的数学知识应用 到实际问题中去，对所学数学知识的实际背尿了解不多，虽然学生机械地模仿些常见数学 问题解法的能力较强，但当而临种新的问题时却办法不多，对诸如观察、分析、川纳、 类比、抽彖、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情 况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，垠后把数学知识应用r实际问题。（三）教学内容及课时安排建议1. 1正弦定理和余弦定理（约3课时）12应用举例（约4课时）1.3实习作业（约1课时）（四）评价建议1. 耍在木章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对 J：正弦定理和余弦定理的证明的探究过程屮，应该

23、因势利导，根据貝体教学过程中学生思考 问题的方向来启发学生得到自己対定理的证明。如对正弦定理，可以启发得到冇应用向 吊方法的证明対J：余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决冇关的解三角形和测届问题的过程中，一个问题也常常冇多种不同的解决方案，应该鼓励学 生提出门己的解决办法，并対J：不同的方法进行必要的分析和比较。对J一些常见的测就问 题反至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。2. 适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知讲，提厲学生分析问题 的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语吉表达实习过程和实习结果能力，增 强学生应用

24、数学的意识和数学实践能力。教师耍注恿对r学生实习作业的指导，包括对r实 际测吊问题的选择，及时纠正实际操作中的错谋，解决测砒中出现的些问题。1. 1. 1正弦定理<->教学目标1. 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正眩泄理的内容及其证明方 法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。2. 过程与方法:让学生从已仃的儿何知识出发，共同探究在任意三角形屮，边与其对角的关 系，引导学生通过观察，推导，比较，宙特殊到一般川纳出正眩定理，并进行定理廉本应用 的实践操作。3. 情态与价值：培养学生在方程思想拆导卜处理解三角形问题的运算能力：培养学主介情

25、推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形换数、正眩定理、向鼠的数起积等知识间 的联系來体现駆物之间的普遍联系与辩证统一。（二教学重.难点車点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：C知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。（三）学法与教学用具学法：引导学生苻先从玄角三角形中揭示边角关系：£ = 具=亠，接着就-般斜sinA sinn sine三角形进行探索，发现也佇这一关系；分别利用传统证法和向最证法对正弦定理进行推导, 让学生发现向鼠知识的简捷，新颖。教学用几：口尺、投影仪、计算器（四）教学设想 创设情景A如图1. 1-b固定AABC的边CB及ZB.使边AC绕着顶点C转

26、动。 思考：ZC的人小与它的対边AB的长度之间有怎样的数屋关系？ 显然，边AB的长度随着其对角ZC的人小的増人而堆人。能否 用一个等式把这种关系粘确地表示出來？C探索研究（图1. 1-1）在初中，我们已学过如何解苴角三角形，卜面就首先來探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图11-2,在RtAABC中，设BC=a, AC=b, AB=c,根据锐角三角函数中疋弦函数的定义，有 = sinA 9 = sinB 又 sinC = 1 = , CCC则 a = b = Csin J sin 万 sinC从而在宜角三角形ABC中，-? = -L = -£C aBsinA sinn sine（图

27、 1. 1-2）思考：那么对任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）町分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1. 1-3,当厶ABC是锐角三角形时，役边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义.有 CD=asin5 = Z>sin贝U=sin J sin 方同理可得sinCbsin方从而备岛V（图 1. 1-3）思考：是否可以用其它方法证明这-等式？由涉及边长问题，从而可以考世用向吊來研究 这个问题。（证法二）：过点A作丁丄花，宙向M的加法可得AB = ACCB则J-AB = J-（AC + CB）:.jAB = JAC + J-CB北词 cos（ 90。一 A ）

28、=0+同冏 |cos（ 90。一 C）“sinAwsmC,即巫亍晅同理，过点C作j丄貳，可得b _ csin 3 smCsin" sin5 sinC类似町推出，AABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成芷。（由学生课后自己推导） 从上而的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形屮，各边和它所対角的正弦的比相等，即3_ b _ CsinA sinB sinC理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正眩成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k= ksinA b = AsinB > c = AsinC:第10页共63页新人教高中数学必修5教案全集第11页共63页新

29、人教高中数学必修5教案全集(2)=等价 J：= -A_, _=_sin J sinB sinCsin J sinB sinC sinB sinA sinC从而知正眩定理的基木作用为： 已知三角形的任意两角及其一边町以求其他边，如8=竺啤；sin万 己知三角形的任恿两边与其中-边的对角可以求其他角的正弦值，如sinJ = sin5ob一般地，已知三角形的某些边和角.求其他的边和角的过程叫竹解三角形。例题分析例 1.在 SABC 中,已知 4=32.0°, 5=81.8°, a=42.9 cm,解三角形. 解：根据三角形内角和定理，C-180°-(A+B)=180&#

30、176;-(32.0°+81.8°)=66.2°；根据正眩定理.b_asmB_429sin818°一 sinA 一 sin320°根据正眩定理,asmC _ 42.9sin66.2° sin A sin32.0°a 74.1(d).评述：对解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2在SABC中，已知d=20cm, b=28cm, X=40° ,解三角形(角度精确到1°,边 长箱确到lcm)o解：根据正弦定理. Q bsinA 28sin40° n coooa20因为0° < B &l

31、t; 180° ,所以 B«64°,或 Bel 16°.(1)当 Bq64° 时，0180° - (A+B)780° - (40° + 64°)=76°,«smC_20sin76°sin Asin40°a30(m)当3716°时,C=180° - (A+B)780° - (40° + 116°)=24°,flsmC_20sin24°sin A sm40°a 13(d).评述：应注意已知两

32、边和此中-边的对角解三角形时，可能冇两解的情形。 随堂练习第5页练习第1 (1). 2 (1)题。第12页共63页新人教高中数学必修5教案全集第13页共63页新人教高中数学必修5教案全集例 3.已知 ABC 中,ZA=60°,日 + b + csin + sin5 + sinC分析：可通过设一参数k(k>0)使一 sinA sinn sine证明出不h真矿册a + b + csin J + sin + sin T解:8 _ bsinA sinB第#页共63页新人教高中数学必修5教案全集则右 $ = £sin/l » b = ksinB > c = ks

33、inCn rdTDTu£sinS + &sin尸+ RsinC <从 iflj= ksinA + sinB + sinC sinA + sinB + sinCa + bc又_?= 迟c = 2 = k、所以旦二=2sin J sin60sinA + sinB + sinC评述： 在 ABC 屮，等式 $="=°= : "a；。_=斤(& >0)sin J sin sine sinA + sinn + sinc恒成立。补充练习已知 ABC 中,sin J: sinB: sinC = 1:2:3 » 求 abc (答案：

34、1： 2： 3)课堂小结(由学生归纳总结)(1) 定理的表示形式:a _ b _ csin J sin 万 sinC日 + Z> + csinA + sinB + sinC= k(k>Q)；tSLa = ksinA , b = ksinB , c = ksinC (k >0)(2) 正弦定理的应用范围: 己知两角和任一边，求其它两边及一角； 已知两边和其屮边对角，求另一边的对角。(五) 评价设计 课后思考题：(见例3)在AABC中，- = k(k>o) >这个k与AABC有sm J sinn sine什么关系？ 课时作业：第10页习题1. 1A组第1 (1)、2

35、(1)题。1.1. 2余弦定理<->教学目标1. 知识与技储:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦上理的向量方法,并会运用余弦定 理無决两类基本的解三角形问题。2. 过程与方法:利用向駅的数杲积推出余弦定理及直推论，并通过实践演算学握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3. 情态与价值：培托学生在方程思想指导卜处理解二角形问题的运算能力：通过三角函数、 余眩定理、向帚的数届积等知识间的关系，來理解爭物之间的普遍联系与辩证统一。(二教学重、难点星点：余弦定理的发现和证明过程及其基本W用；难点：勾股泄理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。(三学法与教学用具学法：首先研究把C知两边及

36、其夹角判定三角形全等的方法进行彊化，也就是研究如何从C 知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向就的数帚枳比较容易地证明了余弦定理。从而利用余眩定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学用典：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想（图 1. 1-4）创设情景如图 1. 1-4,在4 ABC 中,设 BC二a,AC二b, AB二c, 已知 b和ZC,求边C探索研究ba联系已经学过的知识和方法，可用什么途径來解决这个问题？ 用正眩定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边6 由涉及边氏问题，从而可以考虑用向吊來研究这个问题。如图1.1一5设CB = a、CA = b9

37、 AB = c 9 那么c = a-b » 则= cc =（£_Zj（$_=8 a + b b_2a b 2 2=a + b 一 2a b从而c2 = a2 +- labcosC（图 1. 1-5）同理可证£ = b + c_ 2bccosAb2 =+c2 - lac cos B丁是得到以下定理余弦定理:三角形中任何一边的平方等其他两边的半方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的枳的两倍。即sr = hr + c2 - 26c cos JZr = a +c2 -2accosB+ b 2abcosC思考：这个式子中仃儿个最？从方程的角度看C知其屮三个凤 町以求出第四个比

38、 能否山三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以卜推论： b2+c2-a2COS4 加D a2+c2-b2COSD=laccosC=2ba理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为： U.知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 己知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾般定理指出了n角三角形中三边平方之间的关系，余眩定理则指出了一般三角形中三边平方Z间的关系.如何看这两个定理Z间的关系？（由学生总结）若 ABC中,090°,则cosC=0,这时c2=a2+b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余眩定理的特例。例题分析例 1.在 ABC 屮，己知 a=

39、2d，c=>/6+V2 , B=60°,求 b 及 A解：V b2=a2+c2-2accosB二（2Q+W+J-22>/J（辰迈）cos 45° = 12+(+V2)2-4>/3(>/3 + l)=8:b=2匹求A可以利用余眩定理，也可以利用正弦定理:解法一:_/+/_/_ (27?尸+(逅+V?尸一(2>/?)： _ 1 C°S25c2x2>/2x(>/6+V2)T:.A=6Q°.ZsinA=ysmB=b 141sin45°.又 T V6 + V2 >2.4+1.4=3.8.2j?V 2x1.8

40、=36 :.a<c9 即 0° < A < 90°, A=60°.评述：解法二应注意确定A的取值范围。例 2.在 ABC 中，已知a=l34.6cm b=37.3cm , c=161.7c/w ,解三角形(见课本第8页例4,可由学生通过阅读进行理解)解：由余弦定理的推论得：.b2+c2-a2COS 后 2bc_87.82+161.72-134.622x87.8x161.7_".5543,辰 56°2(X：c2+a2-b2COS D=2ca_134.62+161.72 -87.8:=-2x134.6x161.7_0.839&am

41、p;B32°53:C=180°-（A+B）«180°-（56°2（X+32°5丁）=90°47.随堂练习第8页练习第1 （1）、2 （1）题。补充练习庄AABC中,若/ = / + / + %,求角A （答案:A=120° ）课堂小结（1）余弦定理是任何三角形边角存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范用：.已知三边求三角；.已知两边及它们的夹角，求第三边。（五）评价设计 课后阅读：课本第9页探究与发现 课时作业：第11页习题1. 1A组第3 （1）, 4 （1）题。1. 1. 3解三角形的

42、进一步讨论（一）教学目标1. 知识与技能:掌握在已知三角形的两边及比屮一边的对角解三角形时，占两解或一解或无 解等情形；三角形各种类型的判定方法：三角形面枳定理的应用。2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例了，使学生学会综介运用正、余眩定理, 三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。3. 情态与价值：通过正、余眩定理，在解三角形问题时沟通r三角形的右关性质和三角函数 的关系，反映了事物z间的必然联系及一定条件卜相互转化的町能，从而从本质上反映了事 物之间的内在联系。（二）教学重、难点帀:点：在已知三角形的两边及n中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等悄形； 三角形各种类型

43、的判定方法；三角形面积定理的应用。难点：正、余弦定理与三角形的冇关性质的综介运用。（三）学法与教学用具学法：通过一些典型的实例来拓展关解三角形的各种题型及其解决方法。教学用只：教学多媒体设备（四）教学设想创设情景思考：在AABC中，己知8 = 22皿，b = 2&m, A = 133°,解三角形。（由学生阅读课木第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及比中一边的对角解三角形时，在某些条 件卜会出现无解的情形。卜面进一步來研究这种情形卜解三角形的问题。探索研究例1.在A ABC中，己知ZU,讨论三角形解的情况分析：先由sin方=色沁可进一步求出B；a则 r =

44、 180°-U + 5）从而“竺学1肖A为钝角或直角时，必须a>b才能令H只有一解：否则无解。2. 当A为锐角时，如果ab,那么只有一解：如果a<b，那么可以分卜面三种情况來讨论：(1) 若a>bsinAt則有两解;(2) 若a = 6sinJ,则只有一解:(3) 若a<bsinA,则无解。(以上解答过程详见课本第9 10页)评述：注意在已知三角形的两边及其中 边的对角解三角形时，只有当A为锐角且 bsinA<a<b时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。随堂练习1(1) 在已知8 = 80, 6 = 100,= 45°,试判断此三角形的

45、解的情况。(2) 在厶ABC中，若a = l, c = | , Zr = 40°,则符介题意的b的值有个。乙(3) 在AABC中，a = xcm, b = 2cm、Z万= 45°,如果利用正眩定理解三角形有两解，求 x的取值范围。(答案：(1)有两解；(2) 0； (3) 2<x<2yf2 )例2在AABC中，已知m = 7, 6 = 5, c = 3,判断4ABC的类型。分析：由余弦定理可知+ co £是I工角o AABC是直角三角形 + / o眉是钝角o AABC是钝角三角形 + / o月是锐角込AABC是锐角三角形(注意：月是锐角込AABC是锐角

46、三角形)v72>52 + 32 ,即AABC是钝角三角形。随堂练习2(1) 在 AABC 中,已知 sin:sin 万：sinC = l:2:3,判断 AABC 的类型。(2) 已知 ABC满足条件acosA = bcosB ,判断AABC的类型。(答案：(1) AABC是钝角三角形；(2) ABC是等腰或直角三角形)例3在 ABC中，月= 60°, b = ,面积为哲，求的值2 sinJ + sin + smc分析：可利用三角形面积定理S = |aZ>sinC = lacsin = lsinJ以及正弦定理 乙乙乙a _ b _ c _ a+b+csinA sinB si

47、nC sinA + sinB + sinC解：由 S = 1 bcsin/=得 c = 2 ,2 2则 a' =+c2 2bccosA =3» HP a = >/3 ,从而-/+bvsinA + smo + sinc随堂练习3=° -2 sin J(1)在AABC中，若a = 55, 6 = 16,且此三角形的而积S = 220>/3 求角C(2) 在AABC，K其三边分别畑、b、C，且三角形的而积-斗匚求角C(答案：(1) 60° 或 120°： (2) 45° )课堂小结(1) 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形

48、时，有两解或一解或无解等情形:(2) 三角形各种类型的判定方法：(3) 三角形面枳定理的应用。(五) 评价设计(课时作业)(1) 在厶ABC中，已知6 = 4, c = 10, 5 = 30°,试判断此三角形的解的情况。(2) 设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范|乐(3) 在厶 ABC 中，£ = 60°, a = l, & + c = 2,判断 AABC 的形状。(4) 三角形的两边分别为3cm, 5cm,它们所夹的角的余弦为方程5宀76 = 0的根,求这个三角形的而积。解三角形应用举例第一课时(1) 教学目标(a) 知识与技能：

49、能够运用正眩定理、余眩定理等知讲和方法解决一些有关测量距离的实际 问题，了解常用的测量相关术语(b) 过程与方法:首先通过巧妙的设疑,顺利地引导新课,为以后的几节课做良好铺垫。其 次结介学生的实际情况，采用''捉出问题一引发思占一探索猜想一总结规律一反馈 训练”的教学过程,根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系,铺开例题,设计变式,同 时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对例 2这样的开放性题LI耍鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进彳亍适当的指点 和矫正(c) 情感与价值：激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；同时培养

50、学生运用图形、 数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力(2) 教学重点.难点教学重点：由实际问题中抽彖出个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的 解教学难点：根据题意建工数学模型，画出示意图(3) 学法与教学用具让学生回忆正弦定理、余眩定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识 纲H图。生活中错综复杂的问题木源仍然是我们学过的定理，因此系统学握前一节内容是学好本节课的基础。解令关三角形的应用题令固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质 和规律，从-般规律到生活的几体运用，这方面需要多琢磨和多体会。直角板、投影仪（多媒体教室）（4）教学设想1，复习旧知复习捉问

51、什么是正眩定理、余眩泄理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请学生【叫答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥 不可及的丿亮离我们地球究竞有女远呢？ ”在占代，大文学家没有先进的仪器就已经佔算出 了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对J：未知的距离、高度 等，存在希许多可供选择的测吊方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借 助解宜角三角形等等不同的方法，但由于在实际测帚呵题的真实背景匚某些方法会不能实 施。如因为没有足够的空间,不能用全等三角形的方法来测鼠，所以,有些方法会有局限性。 J；是上而介绍的问题足用以前的方法

52、所不能解决的。今人我们开始学习正眩定理、余弦定理 在科学实践屮的重耍应用，首先研究如何测炭距离。3、新课讲授（1）解决实际测彊问题的过程-般耍允分认典理解题意，正确做出图形，把实际问题里的 条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型來求解（2）例1、如图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在 所在的河斥边选定一点C,测出AC的距离是55mZ BAC= 51°, ZACB二75。求A、B商点 的距离（梢确到0. Im）图 1.2-1第21页共63页新人教高中数学必修5教案全集第#页共63页新人教高中数学必修5教案全集启发提问1： A A

53、BC根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？清学生回答。分析：这是一道关J：测岚从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条 件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算 出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得sinZABCACsiaZACBsinZABC55sinZ4CBsinZA/JC第#页共63页新人教高中数学必修5教案全集-55sin75°sin(180P-51o-75o)二 55sin75°sin54° 65. 7 (m)答:A、B两

54、点间的距离为65.7米 变式练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等J： a km灯塔A在观察站C的北偏东30',灯塔B在观察站C南偏东60,则A、B之间的距离为多少?老师指导学生画图,建立数学模型。解略：2 a km例2、（动画演示辅助点和辅助线）如图,A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测 最A、B两点间距离的方法。分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点Z间的距离测鼠问题。首先需耍构造 三角形，所以需要确定C、D两点。根据止弦左理屮已知三角形的任意两个内角与一边既川 求出另两边的方法，分别求出AC和BC,再利用余眩定理可以计算出AB的距离。图 1.2-2新人教高

55、中数学必修5教案全集新人教高中数学必修5教案全集解：测彊者可以在河岸边选定两点C、D,测紂CD二a，并II在C、D两点分别测得ZBCA二Z ACD= p , ZCDB二y, ZBDA =J ,在ADC和4BDC中，应用正弦定理得BC =nsin(/ +J)sin(/? + y+J)asin/sin(a+0+7)asin(/ + 5)sinRagB + y+G«sin/sinl 80° (a+0+?)计算出AC和BC后,再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB = y/AC 2 + BC 2 - 2 AC x BC cos a分纽讨论：还没有其它的方法呢？师牛一

56、起対不同方法进行对比、分析。变式训练:若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得ZBCA=60 ZACD=30*, ZCDB=45#,ZBDA =60略解：将题屮各已知量代入例2推出的公式,得AB二20拆第17页共63页新人教高中数学必修5教案全集评注：可见,在研究角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些 过程较繁复，如何找到垠优的方法，瑕主耍的还是分析两个泄理的特点，结介题H条件來选 择最佳的计算方式。4、学生阅读课本4页,了解测童中基钱的播念,并找到生活中的相应例子.5、课堂练习课本第14页练习笫1、2题6、归纳总结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建 立一个解斜三角形的数学模熨（3）求解：利用正弦定理或余弦定理冇序地解出三角形，求得数学模熨的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解（5）评价设计1、课本第2