江东区初中数学首届教师基本功比赛之一

1、解题比赛试题前言亲爱的老师：你好！今天，我们相聚在这里，举行首届解题比赛相信你有了充分的准备在以下的试题中，你将会碰到许多教材中的问题，也将会体验到我们解决数学问题中常见的数学思想和方法，我们举办解题比赛不是为了决出大家能力的高低，而是希望通过这种方式引起教师对教材的关注，对数学思想方法的重视，并逐步形成问题意识和反思问题的能力卷一数学教师的基本功一、基础知识和基本技能1.数学是一门很有趣的学科你看，在“113355”这个六位数的中间画一条线得到“113 355”，这个数就被分成了两个三位数，即113，355，把这条竖线横过来，就得到了祖冲之计算的密率355现在，请你在“ 4950625”这个

2、数的适当地方1132 个数，使这2 个数都是完全平主画一条线，也把它分成视方数这种分法是（写图出所有可能的划分） 2. 近似数 a 260000，则 a 的范围是；近似数 b 26 万，则 b 的范围是俯3. 如图是一个由若干个小正方体搭成的几何体的三视图，视则组成这个几何体的小正方体的个数是 图（写出所有可能的个数）4.以下是按规列排律的一列数81， 8， 1， 1 ， 1 ，则这列数第625二、常用的数学解题方法（第 3题）7 个数是 _ 左视图我们初中数学教师要求学生掌握一些常用的数学方法，如代数学习中的配方法、待定系数法、降次法、换元法、从反面考虑法等，几何学习中的补形法、构造法、面积

3、法等亲爱的老师，请你尝试运用上述方法，解决下面问题5. 已知直线 AB 上两点 A、B 的坐标分别是 A（ 1，3）、B（0，5），有四点 C（ 3，-1）、D（ -1，7）、E（ -2， 8）、 F（ 7， -9），其中不在直线AB 上的是6.若 a 2b3c12, a2b2c2abbcca, 则a b2c3_.7.若方程 x22x2a 30 和 x22xa50 至少有一个方程有实数解，则实数 a 的取值范围是8.已知 x27x5 0 ，则代数式 x36x22x4 的值是9.11111111111111232009232010232010232009的值等于10.已知 x 为实数，那么代数式

4、4x29(12x)2 的最小值是FECADBC（第 12 题）AB（第 11 题）（第 13 题）11.如图，六边形 ABCDEF中， A= B= C=D= E= F，且AB+BC=11 ， FA-CD=3 ，则 BC+DE 的值是12. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（ 8，0），直线 BC 经过点 B（ -8，6）和 C（0， 6），将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 度得到四边形 OA B，C此时直线 OA、直线 BC分别与直线 BC 相交于 P、Q在四边形 OA BC 旋转过程中， 当 4590且 BP= 1 BQ 时线段 PQ 的长是2三、常用

5、的数学思想数学思想是引领我们发现、掌握解题方法的指导思想，常见的数学思想有分类思想、整体思想、转化思想、数形结合思想等你是否具有这些思想呢？请解决下列问题13. 如图，在等腰 ABC 中， AC=BC ， ACB=80 °，则它的一条内角平分线与一条边上的高相交所成的锐角是 _14. 如图，在圆 O 中，弦 AD 、BC 相交于点 M ，已知 A= B ，求证： AD=BC （用三种方法）（方法 1）（方法 2）（方法 3）OOOAMBAMBAMBCDCDCD四、关注数学文化每个民族都有自己的文化，也就一定有属于这个文化的数学中国传统数学有着辉煌的成就、优秀的传统数学文化已经走进中小

6、学课堂，渗入实际数学教学，使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动下面是中外传统数学体现数学文化的两个经典问题15.13 世纪意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（ Leonardo Fibonacci）在他所著的算盘全集中提出一个有趣的兔子问题他说：有一对小兔，若第二个月它们成年，第三个月开始每一个月都生下一对小兔，而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月开始也每个月生下一对小兔（这里假定每个月所生下的一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡），试问一年后共有小兔几对？这个问题可以用如下表格体现数量关系，请你补充表格内空缺的数据。月数

7、12345678910兔子112358对数16. 古今中外，许多人致力于的研究与计算古人计算，一般是用 “割圆法 ”刘徽用正 3072 边形 得 到 3.1410<<3.1427 又 过 了 大 约200 年祖冲之（公元430 年 501年）发现了3.1415926< <3.1415927 ，并且得到了有理数近似值利用下面圆内接正六边形和外切正六边形，说明为什么3<<3.5O卷二数学教师的教材解读能力作为一名教师，熟悉教材、理解教材、专研教材是必备的基本能力 不做教书匠的作者管建刚说“画家不一定能成为优秀的美术老师，作家不一定能成为优秀的语文教师，数学家不一

8、定能成为优秀的数学老师，原因就在于他们不具备教材的解读能力它是教师区别于其他工作者的重要的能力标志”亲爱的老师，你一定具有教材解读能力，下面几个问题都是以现行教材作为背景改编而成的，请你从容一试 （以下每题的解答不能运用该题所在的知识点以后的知识）17.教材八年级上册第159 页例 3要从甲、乙两仓库向A ， B 两工地运送水泥已知甲仓库可运出100 吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥； A 工地需 70 吨水泥， B 工地需 110 吨水泥两仓库到A ，B 两工地的路程和每吨每千米的运费如下表：路程（千米）运费（元 /吨 ?千米）甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A 地20151.21.2B 地25201

9、0.8（ 1）设甲仓库运往 A 地水泥 x 吨，求总运费 y 关于 x 的函数解析式，并画出图象；（ 2）当甲、乙两仓库各运往 A ， B 两工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？课堂教学时，教师都会采用表格形式来分析运量和运费的数量关系请你画出相应的表格，并填写表中的有关内容18.以下提供的是八年级下册第97 页课本上的例题：已知六边形ABCDEF 中， AB/DE ， BC/EF ， CD/AF ，求 A+ C+ E 的度数如图是课本上采用的方法在课堂教学中，你一定启发学生多渠道地解决问题请你展示一种学生的解法EDEDFCFCABAB（课本原图）（备用图）19. 三角形中位线定

10、理的证明教材中是这样的：已知：如图所示， DE 是 ABC 的一条中位线，求证：1BC DE =2证明：延长 DE 到 F，使 EF=DE ，连结 CF，由 ADE CFE 可得AD =FC 再由 BD=ADBC ，又因 DE=1DF1BC 得BD=FC，所以四边形 DBCF 是平行四边形， DF =2，所以 DE =2问题：请你用另一种方法证明三角形中位线定理（课本原图）（备用图）20. 求证： 3 是无理数21. 勾股定理的证明教材中勾股定理是利用弦图加以证明的其实勾股定理还有以下的证明方法：方法 1：如图 1， ABC 中， ACB=90 °， AB=c ，BC=a ，AC=b

11、 ，以三角形的每条边为边向外作三个正方形大的正方形记作P，中的记作Q，小的记作R如图 2，将正方形Q 划分成四个形状与大小都一样的四边形，划分的方法就是取两条互相垂直于正方形中心的线段如图3，剪切之后，所分得的四块和正方形R 一起可以不重叠无缝隙地拼到正方形P 中问题： EF=， EN=（结果用a、 b 的代数式表示）（图 1）（图 2）（图 3）（2）著名的总统证法曾用如图4 的两个全等的直角三角形ABC 和 DEF 拼成如图5 的直角梯形，来证明勾股定理如果我们将这两个三角形拼成如图6，即 E、C、A 三点共线， B 在 CD 上，也能证明勾股定理请你写出证明过程ADDDBBBC EFCA

12、FECA（图 4）（图 5）（图 6）卷三数学教师的研究能力22.将一个半径为r 的圆面积四等分，方法非常多， 如作两条互相垂直的直径种方法将一个半径为r 的圆面积四等分，并说明分割线是如何画的下面请你再用另外4分出的 四个分出的四个图形分出的四个图形不分出的四个图形不图形全等不都全等但整个都全等整个图形也都全等整个图形也不成轴对称（ 1）不成轴对称（ 2）图形成轴对称23. 教材八年级下册第 100 页例 2，用边长相等的正方形和正八边形镶嵌成如图的平面效果图实际生活中， 是用画有图案的同样正方形地砖铺成的 （地砖与地砖拼接线忽略不计） 请你回答下列问题（ 1）请你用两种方法在上面每个正方形中画出这种地砖的图案（不要雷同哦）（ 2）如果量得地面图案中的正八边形边长为40，求你设计的地砖边长24. 波利亚所著怎样解题在“归缪法”中提到一个有趣的问题：在0，1， 9这 10个数字中，每个都要用一次且只允许用一次，写出几个数使得其和数恰为l00 。波利亚在书中指出，解题