江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳(数学应试笔记)

1、江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳（数学应试笔记）第I卷 160分部分一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分， 尽可能减少失误， 这是取得好成绩的基石 !A、 14 题，基础送分题，做到不失一题！A1. 集合性质与运算1、性质：任何一个集合是它本身的子集，记为； 空集是任何集合的子集，记为；空集是任何非空集合的真子集； 如果，同时，那么 A=B如果，那么【注意】：Z= 整数 （）Z = 全体整数 （×）已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集（×） 空集的补集是全集若集合 A= 集合 B，则，（CAB）= D（ 注 ：）2、若，则的子集有 2

2、n 个，真子集有个，非空真子集有个. 3、（） （） （）（） （）（）；（）（） ,（）（）4、 De Morgan 公式；【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具 . 在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况， 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。A2.命题的否定与否命题*1. 命题的否定与它的否命题的区别：命题的否定是否命题是命题 “p或 q”的否定是且且 q”的否定是或常考模式：全称命题 p：；全称命题 p 的否定：特称命题 p：；特称命题 p 的否定：复数运算*1.运算律：?；?；?【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2. 模的

3、性质：?；? |*3.重要结论：?222z1|z1|nn； ?z2|z2|2222)；， ；122i.x；?；? i 性质： T=4； i32【拓展】：1 或幂函数的的性质及图像变化规律：(1)所有的幂函数在都有定义，并且图像都过点(1,1)；(2)a时，幂函数的图像通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图像下凸；当时，幂函数的图像上凸；时，幂函数的图像在区间上是减函数在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当趋于时，图像在轴上方无限地逼近轴正半轴【说明】：对于幂函数我们只要求掌握的这 5 类，它们的图像都经过一个定点 (0,0)和(0,1)，

4、 23并且时图像都经过 (1,1)，把握好幂函数在第一象限组距所有小长方形面积的和=各组频率和 =1.【提醒】：直方图的纵轴 (小矩形的高 )一般是频率除以组距的商 (而不是频率 )，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率 .? 茎叶图当数据是两位有效数字时， 用中间的数字表示十位数， 即第一个有效数字， 两边的数字表示个位数， 即第二个有效数字， 它的中间部分像植物的茎， 两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；11n样本平均数：14.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差 ).(1)一组数据样本方差；样本标准

5、差(2)两组数据与其中则它们的方差为 Sy标准差为若的平均数为 x，方差为 s，则的平均数为，方差为 as.样本数据做如此变换：，则，B、(59，中档题，易丢分，防漏 /多解 )B1.线性规划1、二元一次不等式表示的平面区域：（ 1）当时，若表示直线 l 的右边，若则表示直线 l 的左边 .（2）当时，若表示直线 l 的上方，若0 则表示直线 l 的下方 .2、设曲线（），则 222222222或所表示的平面区域：两直线和所成的对顶角区域（上下或左右两部分） .3、点 P0(x0,y0)与曲线 f(x,y) 的位置关系：若曲线 f(x,y) 为封闭曲线（圆、椭圆、曲线等），则，称点在曲线外部；

6、若 f(x,y) 为开放曲线（抛物线、 双曲线等），则，称点亦在曲线 “外部 ”.4、已知直线，目标函数当时，将直线l 向上平移，则 z 的值越来越大；直线 l 向下平移，则 z的值越来越小； 当时，将直线 l向上平移，则 z 的值越来越小；直线 l向下平移，则 z 的值越来越大；5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：（ 1），若，直线在 y 轴上的截距越大， z 越大，若，直线在y 轴上的截距越大，z 越小 .（ 2）表示过两点的直线的斜率，特别22yx 表示过原点和的直线的斜率 . （3）表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题.表示到点的距离 .（5）；

7、 （4）（ 6）（7）； ；x+y=1 上的点【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆及余弦定理进行转化达到解题目的。B 2.三角变换：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础三角代换是以三角函数的值域为根据， 进行恰如其分的代换， 使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决三角变换是指角 ( “配 ”与 “凑 ”)、函数名 (切割化弦 )、次数 (降与升 ) 、系数 (常值 “1”) 和 运算结构 (和与积 )的变换，其核心是 “角的变换

8、 ”.角的变换主要有： 已知角与特殊角的变换、 已知角与目标角的变换、 角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换 .变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1的”变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等.具体地：（ 1）角的 “配”与“凑”：掌握角的 “和 ”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：，；2，；22；，；等. 42数学应试笔记第 2 页（ 2） “降幂 ”与 “升幂 ”（次的变化）利用二倍角公式 和二倍角公式的等价变形，可以进行 “升”与 “降 ”的变换，即 “二次 ”与“一次 ”的互化 .（ 3）切割化弦（名的变化）利用同角三角函数的基本关系，

9、 将不同名的三角函数化成同名的三角函数， 以便于解题 .经常用的手段是 “切化弦 ”和“弦化切 ”.（ 4）常值变换可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值“1”可作如下代2 换：等 .常值 42（ 5）引入辅助角一般的，)，期中特别的，3等. 6（ 6）特殊结构的构造构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简 .举例：，可以通过（ 7）整体代换举例：，可求出整体值，作为代换之用 .B 3.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外， 还要注意三角形自身的特点(1)角的变换因为在中，（三内角和定理），所以任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐

10、角三角形：三内角都是锐角；三内角的余弦值为正值；任两角和都是钝角；任意两边的平方和大于第三边的平方.即，；两式和，作进一步化简 . 2sinA；(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理11 面积公式：ABBCCA 其中 r 为三角形内切圆半径， p 为周长之半222222(3)对任意在非直角(4)在，；中，中，熟记并会证明：成等差数列的充分必要条件是是正三角形的充分必要条件是成等差数列且a,b,c,成等比数列*3. 三边*4. 三边(5)锐角a,b,c 成等差数列a,b,c,成等比数列中；，；【思考】：钝角中的类比结论(6)两第 4 页转化为等可能事件的概率 (常常采用排列组合

11、的知识 )；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率， 转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率， 但要注意公式的使用条件 . 事件互斥是事件独立的必要非充分条件， 反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件 .【说明】：条件概率：称为在事件 A 发生的条件下，事件B 发生的概率。P(A)注意：； P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A) 。B6. 排列、组合（ 1）解决有限制条件的 (有序排列，无序组合 )问题方法是：位置分析法元素分析法用加法原理（分类）直接法：插入法（不相邻问题）用乘法原理（分步）捆绑法（相邻问题）间接法：即排

12、除不符合要求的情形一般先从特殊元素和特殊位置入手.（ 2）解排列组合问题的方法有：特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置） 。间接法（对有限制条件的问题， 先从总体考虑， 再把不符合条件的所有情况去掉） )。相邻问题捆绑法 （把相邻的若干个特殊元素 “捆绑 ”为一个大元素， 然后再与其余 “普通元素 ”全排列，最后再 “松绑 ”，将特殊元素在这些位置上全排列） 。不相邻 (相间 )问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素， 然后再把有限制

13、条件的元素按要求插入排好的元素之间） 。多排问题单排法。多元问题分类法。有序问题组合法。选取问题先选后排法。至多至少问题间接法。相同元素分组可采用隔板法。? 涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.（ 3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成忘除以 n!.B7.最值定理n 组问题别由定值 )，则当时和y 有最小值由定值 )，则当是积 xy 有最大值【推广】：已知，则有（ 1）若积 xy 是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小 .（ 2）若和是定值，则当最大时， |xy|最小；当已知，若最小时， |xy|最大 .1，则有：1xyxyB8.求函数值域的常用方法：配方法：转化为二次函

14、数问题，利用二次函数的特征来求解；【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 m,n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系 . 逆求法：通过反解，用 y 来表示 x，再由 x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围，型如，若则有：的函数值域；换元法：化繁为间，构造中间函数， 把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型， 通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；三角有界法： 直接求函数的值域困难时， 可以利用已学过函数的有界

15、性， 如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；不等式法：利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技x巧；单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解；数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；分离常数法： 对于分子、 分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域 判别式法：对于形如 （ a1,a2不同时为 0）的函数常采用此法【说明

16、】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解， 不必拘泥在判别式法上， 也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： b 型，可直接用不等式性质；型，先化简，再用均值不等式；型，通常用判别式法；型，可用判别式法或均值不等式法；? 导数法：一般适用于高次多项式函数求值域 ., B9.函数值域的题型(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段 .常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数 .(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.解题步骤： (1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；(3)画

17、图像，定区间，截段。(三) 分式函数求值域：四种题型：则且：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x 的范围解不等式求y的范围：，则且且求的值域，当时，用判别式法求值域。，值域数学应试笔记第 6 页(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像， 定区间，截段 .判断单调性的方法： 选择填空题首选复合函数法， 其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解 .(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域 .(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母

18、取值或范围.B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧 ”：? 凑系数（乘、除变量系数） .例 1.当时，求函的数51，求函数的最大值? 调整分子：例 3.求函数的值域；? 变用公式：基本不等最大值 .式有几个常用变形：ab， 222前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；例 4.求函数，222的最大值；22162? 连用公式：例 5.已知1lny? 对数变换：例 6.已知（加、减常数项）：例 2.已知? 三角变换：例 7.已知，求，且的最小值；，求的最大值；2?凑项2，且，求的最大值；? 常数代换（逆用条件）：例 8.已知B11. “单调性 ”补了 “基本不等式 ”的漏洞：? 平方

19、和为定值的最小值 . ab，其中，且，求在上是增函数，在 444上是减函数；44113571357在上 是 增 函 数 ， 在上是减 244444444若（a 为定值，），可设函数；令，其中由，得，从而 12 在上是减函数)t? 和为定值若（b 为定值，），则在上是增函数，在上是减函数；2b2b2当bb 是增函数；当时 ， 在时，在上是减函数，在上是减函数， 在上上是增函数 .22bb2222在上是减函数，在上是增函数；22? 积为定值若c（c 为定值，），则当0时，在上是减函数，在上是增x函数；当时，在上是增函数；上,是 减函数，在当时，在 ,0)xyxycx上是增函数；当时，在 (上是减函

20、数；c2c22c 在上是减函数，在上是 xx222增函数 .? 倒数和为定值c1112111，则成等差数列且均不为零， 可设公差为 z，其中，）xydxdyxddd1111则得2d1111当时，在上是减函数，在上是增函1111数；当时，在上是增函数，在上减函数； dddd1111d2.当时，在上是减函数，在上是增函1111数；当时，在上是减函数，在上是增函数；dddd，其中 t 1且令，从而若2d2t2d2在 1,2)上是增函数，在上是减函数B12.理解几组概念*1. 广义判别式设 f(x) 是关于实数 x 的一个解析式，a,b,c 都是与 x 有关或无关的实数且，则是方程有实根的必要条件，称

21、为广义判别式 .*2. 解决数学问题的两类方法：一是从具体条件入手 ,运用有关性质 ,数据 ,进行计算推导 ,从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构 ,找出某些本质属性 ,进行恰当的核算 ,从而使问题容易解决 ,这一方法称为定性核算法 . *3. 二元函数设有两个独立的变量x 与 y 在其给定的变域中D 中，任取一组数值时，第三个变量 Z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量Z 称为变量 x与 y 的二元函数 .记作：其中 x 与 y 称数学应试笔记第8页 22为自变量，函数Z 也叫做因变量，自变量x 与 y 的变域 D 称为函数的定义域 .把自变量 x、y 及因变量

22、Z 当作空间点的直角坐标， 先在 xoy 平面当 M 点在D 中变动时，对应的P 点的轨迹就是函数的几何图形 .它通常是一张曲面，其定义域 D 就是此曲面在 xoy 平面上的投影 .*4. 格点在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点） .在数论中，有所谓格点估计问题 .在直角坐标系中， 如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形 .特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个基本概念 .*5. 间断点我们通常把间断点分成两类：如果 x0 是函数 f(x) 的间断点，且其左、右极限都存在，我们把 x0 称为函数 f(x) 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间

23、断点，称为第二类间断点 .*6. 拐点连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.如果在区间 (a,b)内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定的拐点 .(1)求；(2)令，解出此方程在区间 (a,b)内实根；(3)对于 (2)中解出的每一个实根x0，检查在x0左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点*7. 驻点.曲线 f(x) 在它的极值点x0 处的切线都平行于x 轴，即这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点 (又称稳定点、临界点 )；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点 .*8. 凹凸性1 则称是 f(x) 上， 22的凸函数 . 定义在，则称

24、任意的都有D 上的函数如果满足：对任意的f(x) 是 D 上 22 定义在 D 上的函数都有f(x) ，如果满足：对的凹函数 .【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的 （上面不等式中的等号成立） . 若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方， 则称这段弧是凹的； 若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的 .连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点 .B13. 了解几个定理*1.拉格朗日中值定理 :如果函数在闭区间 a,b 上连续，在开区间 (a,b)内可导，那末在 (a,b)内至少有一点 c，使成立 .这个定理的特殊情形，即：的情形 .描述如下：若在闭区间 a,b上连续，

25、在开区间 (a,b)内可导，且，那么在 (a,b)内至少有一点 c，使成立 .*2.零点定理：设函数 f（x）在闭区间 a,b上连续，且0那么在开区间 (a,b)内至少有函数 f(x) 的一个零点，即至少有一点（ab）使*3.介值定理：设 函数f(x) 在 闭 区间 a,b 上连 续， 且在 这 区 间的 端 点取 不 同 函数 值，那么对于A,B 之间任意的一个数 C，在开区间 (a,b)内至少有一点，使得（a b）*4. 夹逼定理：设当0 时，有 g(x) f(x)h(x)，且，则必有【注】：表示以 x0为的极限，则就无限趋近于零（为最小整数）C、 1012，思维拓展题，稍有难度，要在方法

26、切入上着力C1.线段的定比分点公式（或 2 设 P11P2 的分点，是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P11），则）推广1：当（时，得线段P1P2 的中点公式：PBOA推广则（对应终点向量）三角形重心坐标公，重心坐标注意：在 ABC 中，若式：ABC：0 为重心，则的顶点，这是充要条件【公式理解】：*1. 是关键12P1P2PPP1P2( >0(外分 ) <0 ( <-1)(外分 ) <0 (-1< <0)若 P 与 P1 重合， =0 P 与 P2 重合， 不存在P 离 P

27、2 P1 无穷远，中点公式是定比分点公式的特例； *3. 始点终点很重要，如若 P 分 P1P2的定比知三求一；*5.利用有界性可求一些分式函数取值范围；*6.则是三点 P、 A 、B 共线的充要条件 .C 2. 抽象函数抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式， 只给出了其它一些条件 （如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题 .求解抽象函数问题的常用方法是：(1)借助模型函数探究抽象函数：正比例函数型：指数函数型：xx1，则 P 分 P2P1 的定比 =2； 2f(x)f(y)对数函数型：y幂函数型：xf(x)f(y)y.三角函数型：sinx.第10页数学应试笔记（ 2）

28、利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：（ 3）利用一些方法（如赋值法（令 x 0 或 1，求出 f(0) 或 f(1) 、令 或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。C 3.函数图像的对称性(1)一个函数图像自身的对称性 性质 1：对于函数，若存在常数a,b,使得函数定义域【注】 ：亦然 . 【特例】，当时，的图像关于直线对称 .【注】：亦然. 性质 2：对于函数，若存在常数a,b,使得函数定义域内的任意x ，都有的,0)对称 .2的图像关于点 (a,0)对称 .【特例】：当时，图像关于点 (【注】：亦然 .事实上，上述结论是广义奇 (偶 )函数的性质 .性质 3：

29、设函数， 如 果 对 于 定 义 域 内 任 意 的 x ， 都 有且，则的图像关于直线对称 .(这实际上是偶函数的一般情形 )广义偶函数 .性质 4：设函数， 如 果 对 于 定 义 域 内 任 意 的 x ， 都 有且，则的图像关于点 (,0)对称 .(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数 .【注】：f ”放在的两边，则 “f前”的正负号也相异 .因为对称性关乎翻转(2)两个函数图像之间的对称性1.函数与的图像关于直线对称 . 2. 函数与的图像关于直线对称 . 3.函数与的图像关于原点称 .4.函数与它的反函数的图像关于直线对称 . 5.函数与的图像关于直线特别地，函数与的图像关于直线.

30、(0,0)对C4.几个函数方程的周期 (约定对称 .对称 .2(2) 若， 或， 或， 或，(1)若，或，则 f(x) 的周期；a2a或或，或，或，为奇函数为偶函数，或为偶函数，则 f(x) 的周期；(3)若若，则 f(x) 的周期；，或，或，或为偶函数为奇函数，或，或且，则f(x) 的周期；(5)若，则f(x) 的周期；(6)若【说明】函数y，则 f(x) 的周期满足对定义域第12 页1、定义在 R 上的函数 f(x), 若同时关于直线和对称 ,即对于任意的实数 x,函数 f(x) 同时满足，则函数f(x) 是以为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在 R 上的函数 f(x), 若同时关于直

31、线和点 (2a,0)对称 ,即对于任意的实数 x,函数 f(x) 同时满足，则函数 f(x) 是以为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在 R 上的函数 f(x), 若同时关于点 (a,0)和直线对称 ,即对于任意的实数 x,函数 f(x) 同时满足，则函数 f(x) 是以为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在 R 上的函数f(x), 若同时关于点 (a,0)和点 (2a,0)对称 ,即对于任意的实数x,函数 f(x) 同时满足，则函数 f(x) 是以为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数f(x) 关于直线对称，即对于任意的实数，则 f(x) 是以为周期的周期函数 .x, 函数f(x)

32、满足6 、 若偶函数f(x) 关 于 点 (a,0) 对称 ，即 对于 任意 的实数x, 函 数f(x) 满足，则 f(x) 是以为周期的周期函数 .7、若奇函数f(x) 关于直线对称，即对于任意的实数x, 函数f(x) 满足，则 f(x) 是以为周期的周期函数 .8 、 若奇函数f(x) 关 于 点 (a,0) 对称 ，即 对于 任意 的实数x, 函 数f(x) 满足，则 f(x) 是以为周期的周期函数 .【拓展】：1、若函数为偶函数，则函数的图像关于直线对称 .2、若函数为奇函数，则函数的图像关于点 (a,0)对称 .3、定义在 R 上的函数 f(x) 满足，且方程恰有 2n 个实根，则这

33、 2n 个实根的和为 2na.4、定义在 R 上的函数满足为常数 )，则函数的图像关于点c,)对称 .22 如果奇函数在区间上是递增的 ,那么函数在区间上也是递增的 ; 如果偶函数在区间上是递增的 ,那么函数在区间上是递减的 ; C8.关于奇偶性与单调性的关系.【思考】：结论推导C 9.几何体中数量运算导出结论数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质.1.在长方体 (a,b,c)中：体对角线长为，外接球直径棱长总和为；全 (表 )面积为，体积；体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为，则有则有2222.在正三棱锥中：侧棱

34、长相等(侧棱与底面所成角相等 )顶点在底上射影为底面外心；侧棱两两垂直 (两对对棱垂直 顶点在底上射影为底面垂心； 斜高长相等 (侧面与底面所成角相等 )且顶点在底上在底面【补充】 ： 一、四面体1对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的第14页AOD h = 4r二、空间正余弦定理空间正弦定理： sin ABD/sin A-BC-D=sin ABC/sin A-BD-C=sin CBD/sin C-BA-D空间余弦定理： cos ABD=cos ABCcos CBD+sin ABCsin CBDcos A-BC-D6.直角四面体的性质：在直角四面体中,OA,OB,OC 两两垂直 ,令则? 底面三角形 ABC 为锐角三角形；? 直角顶点 O 在底面的射影 H 为三角形 ABC 的垂心；?；?；? 1OH22222；? 外接球半径球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长(2)球与正方体的组合体 :正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的径是正方体的面对角线长 , 正方体的外接球的直径是正角线长(3)球与正四面体的组合体:棱长为 a的