江苏省常州市武进区2013届高三数学上学期期中考试试题理苏教版

1、武进区教育学会20122013 学年度第一学期期中高三理科数学试题一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知全集 U1,2,3,4,5,6,7， A2,4,5 ，则 CU A.2 已 知 向 量 a(cos35 ,sin 35 ),b(cos 65 ,sin 65 ) ， 则 向 量 a 与 b 的 夹 角 为3公比为 2 的等比数列 an 的各项都是正数，且a4a1016 ，则 a104不等式x1x22x30 的解集是5函数 yxcos xsin x ， x(0,2) 单调增区间是6若实数 x 满足 log 2 xcos2 ，则 x8

2、x2 =7已知向量 a, b 满足 | a |5,| b |13，cosa, b65. 若 kab 与 a3b 垂直， 则65k8已知函数y= x2 1 的图象与函数y=kx2 的图象没有交点，则实数k 的取值范围是x19等差数列an 中，已知 a27 ， a69 ，则 a10 的取值范围是10已知A、B、C是直线l上 的三点 ， 向 量 OA,OB,OC 满 足O A fx 2，则函数 yf ( x) 的表达式为.' f( 1 ) x O B l n x O C11 已知f ( x)log3 (x3)，若实数m, n 满足f ( m)f (3 n)2,则 mn 的最小值为.12已知函

3、数x22ax, x1,x2 ，使得 f ( x1 )f ( x2 ) 成立，则实f ( x)1, x若 x1 ,x2 R, x1ax1,数 a 的取值范围是.用心爱心专心113给出以下命题：（1）在 ABC中， sin Asin B 是 AB 的必要不充分条件；（2）在 ABC中，若 tan Atan BtanC0 ，则 ABC一定为锐角三角形；（3）函数 yx11x 与函数 ysinx, x1 是同一个函数；（4）函数 yf (2 x1) 的图象可以由函数yf (2 x) 的图象按向量a(1,0) 平移得到 .则其中正确命题的序号是（把所有正确的命题序号都填上）14数列 an 满足 an 1

4、(1)n ann ，则 a n 的前 40 项和为二、解答题：（本大题共6 道题，计90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14 分）设函数 f ( x)sin(2x)( 0) . yf ( x) 图像的一条对称轴是直线x（1）求函数 f (x) 的解析式；8（2）若 f ( )3(0,) ，试求5)的值.,f (25816（本题满分14 分）如图，点P在ABC内， AB CP 2, BC 3,，记BPB （ 1）试用表示 AP 的长；A（ 2）求四边形 ABCP的面积的最大值，并写出此时的值PCB（第 16 题图）用心爱心专心217（本题满分14 分）已知 fxa

5、xln x, x0,e ，其中 e 是自然常数，aR.(1) 当 a 1 时，求 f ( x) 的单调性和极值；(2) 若 f ( x) 3 恒成立，求 a 的取值范围 .18（本题满分16 分）an2各项均为正数的数列1an 中，前 n 项和 Sn.2(1) 求数列 an 的通项公式；（2）若111k 恒成立，求 k 的取值范围；a1a2a2a3anan 1(3) 对任意 mN * ，将数列 an中落入区间 (2 m , 22 m ) 内的项的个数记为bm ，求数列 bm的前 m 项和 Sm .用心爱心专心319（本题满分16 分）定义在实数集上的函数f ( x) 满足下列条件： f ( x

6、) 是偶函数；对任意非负实数x 、 y ，都有 f ( x y)2 f (x) f ( y) ；当 x0 时，恒有 f (x)12（1）求 f 0的值；（2）证明：f (x) 在 0，上是单调增函数；（3）若 f 32 ，解关于 a 的不等式 fa22a 9 8 20（本题满分16 分）设函数 f (x) ax3bx2cxd 是奇函数，且当x3 时， f ( x) 取得极小值2 3.（1）求函数 f (x) 的解析式；39（2）求使得方程1 f( x)nx 4n10仅有整数根的所有正实数n 的值；33（3）设 g( x) |f ( x) (3t1) x | ，（ x 1,1），求 g(x) 的

7、最大值 F (t) 用心爱心专心4武进区 2012 2013 学年度第一学期期中调研测试高三理科数学试题评分标准一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分）1 1,3,6,72 303324 x x3或 x15(,2)6 10719 84,19 11,10 f x2x1ln x311 23412,12,13（ 2）、（ 3）14 420二、解答题：（本大题共6 道题，计90 分）15（本小题满分14 分）解：（ 1） x8是函数 yf (x) 的图象的对称轴， sin(28)1，4k, kZ ，2 分20 ，3 4 分，34故 f ( x) 6 分sin(2 x)3 ,4（2）

8、因为 f ( )(0,) ，253334所以 sin()， cos(4)4558 分故 sinsin(3)3 sin(3 )cos 3cos(3) sin 34444442 (43)2 11 分25510而 f (5sin2(5)3sin(2)cos2)8842 12sin 212(2) 224.10255)24 14 分所以， f (.825用心爱心专心516（本题满分14 分）解：（ 1） ABC 与 APC 中，由余弦定理得，AC 22232223cos， 2分AC 2AP 2222AP2cos， 4分由得 AP 24 AP cos12cos90，0，解得 AP34cos； 7 分（2）

9、 S S ABCS APC123sin12AP sin,0， 1022分由（ 1）得 S4sincos2sin2，0， 12 分所以当4时， Smax2 14分17（本题满分 14 分）解： (1)fxxln xf '( x) 11x12 分1 时， f ' xxx当 0x0，此时 fx为单调递减；当 1xe 时， f 'x0，此时 fx为单调递增 . 4 分当 f ( x) 的极小值为 f11， f ( x) 无极大值6 分（2）法一： f xaxln x,x0,e ， axln x3 在 x0,e上恒成立，即 a3ln x0, e 上恒成立，8 分x在 xx令 g(

10、 x)3ln x0,e ，x， xx g ' ( x)31ln x2 ln x 10 分x2x2x 2令 g ' ( x)0 ，则 x12，e当 0x1时， f'x0 ，此时 f x为单调递增，e2当 1xe 时， f 'x0 ，此时 fx为单调递减， 12 分e2用心爱心专心61222g (x)maxg( e2 )3e2ee， ae2 . 14 分法二：由条件：axln x30在 x0,e 上恒成立令 g( x)axln x3 ， x0,e， g ' ( x) a1ax 1， 8 分xx1a1 时， g' ( x)0 恒成立， g ( x) 在

11、 0,e上递减，e g( x)ming(e)ae4 ；由条件知 ae40 a4与 a1矛盾 . 10ee分2a1时，令 g ' ( x)0 ， x1ea当 0x1时， f 'x0 ，此时 fx为单调递增，a当 1xe 时， f 'x0，此时 fx为单调递减，ag (x)maxg(1ln a2 ，)a ln a 20, 12 分即 ae2 . 14 分18（本题满分16 分）an 12an-12解： (1)Sn，Sn -112，22, nan12an -112两式相减得 a, n2， 2 分n22整理得 anan -1anan-120，数列 an的各项均为正数，anan-

12、12, n 2 ，an是公差为2 的等差数列， 4 分a112又 S1得 a11，an2n1. 5 分2（2）由题意得 k111，a1 a2a2a3an an1 max用心爱心专心711111，an an 12n 1 2n 1 2 2n 1 2n 11111111111a1a2a2a3anan 1233 52n 1 2n 111111 8 分22n2k1 10 分211(3)对任意 mN ， 2m2n122 m ，则 2m 1n22 m 1，22而 nN * ，由题意可知 bm22 m 12m 1， 12 分于是 Sm b1b2bm212322m 1(2 0212m 1)2 22 m 11 2

13、m22m 122m122m 13 2m 1 ，1221233即 Sm22 m 13 2m1 16 分3.19（本题满分16 分）解：（ 1）解：令 x0， y1，则 f12 f (0)f (1)，f11 ，f (0)1 . 4 分22（2）当 x0 时，恒有 f ( x)1 ，又 f (x) 是偶函数，2当 x0 时，f ( x)fx1 ，2又12 ， fx0恒成立 . 6 分f (0)设 0 x1x2 ，则 x2x10 ， fx2x11，2fx22 fx1fx2x1fx1， 9 分f ( x) 在 0，上是单调增函数 . 10 分（3）令 xy3，则 f62 f 238 ， 12 分用心爱心

14、专心8f a22a 9f a22a 9f 6 ，由 f ( x) 在 0，上是单调增函数，得 a22a96， 14 分即 a22a96 ，解得a或a 3，1a22a963a53a1或 3a 5 . 16 分20（本题满分16 分）解：（ 1）f (x) 为奇函数，又由 f (3 )0 及 f (3 )33f ( x)x3x ；当 x30 ，当时， f ( x)3b d0 ， 2 分231,c1，9，得 a 4 分33时 f (x)0 ，3x3f (x) 在 x3时取得极小值，f ( x)x3x 为所求 5 分131（2）方程f(x)nx 4n0 化简得： x2nx 4n0 ，33因为方程仅有整

15、数解，故n 为整数，又由 x2n( x4) 及 n0 知， x40. 7 分x2(x4)168，故 x4 为 16 的正约数， 9 分又 n4( x 4)x所以 x 4 1,2,4,8,16，进而得到 n16,18,25 . 10 分（3）因为 g( x)| x33tx |, x 1,1是偶函数，所以只要求出g ( x) 在 0,1 上的最大值即可. 记 h( x) x33tx ，h (x)3x23t3(x2t ) ，（1） t0 时， h ( x)0 ， h( x) 在 0,1上单调增且h( x) h(0) 0 . g (x)h( x) ，故 F (t)h(1)13t ； 12 分（2） t0 时，由 h (x)0 得， xt , 和 xt，当 t1即 t1时， h(x) 在 0 ， 1 上单调减， h( x