勾股定理知识重点汇总

1、勾股定理 知识重点汇总（精华）定义：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，也就是说在Rt ABC中，设/ C= 90。，/ C、/ A、/ B 所对的边分别为 c、 a、b,则 c、a、b 满足关系 a2 + b2 = c2。在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做 勾，长的 直角边叫做股，斜边叫做弦。提醒：由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一 定要抓住直角三角形最长边（即斜边）的平方等于两短边（两直角 边）的平方和，避免出现这样的错误：在 AABC中，/ B= 90°， 则 a2 + b2 = c2。2、勾股定理的

2、证明：勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式 的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明一一对图形 进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来证明，这是最常见的 一种方法。验证如下：现有四块直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形纸板， 请从中取出若干块拼图，证明勾股定理标准解题1:/ S大正方形=4S三角形+ S小正方形1二 c2 = 4 X- ab+ (b - a)2 c2 = a2 + b2标准解题2: T S梯形=2S小三角形+ S大三角形1 /、21 1 2(a+ b)2 = 2 Xab+，c2 a2 + b2 = c2标准解题3:'T S大正方形=4S三角形

3、+ S小正方形 (a + b)2 = 4 x2 ab + c2 a2 + b2 = c23、勾股定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系,其作用有:(1) 已知直角三角形的任两边，求第三边问题 ；(2) 证明三角形中的某些线段的平方关系；(3) 作长为无理数的线段.提醒：若已知直角三角形的两边求第三边时，先确定是直角边还是斜边。若求直角边，则利用勾股定理的变形式a2 = c2 -b2 = (c+ b)(c - b)或b2 = c2 - a2 = (c + a)(c - a);若求斜边，则利用c2 = a2 + b2 ;若不能确定则分以上两种情况讨论。4、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边

4、长a、b、c满足a2 + b2 = c2 ,那么这个 三角形是直角三角形。根据勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的方法：(1) 确定最大边；(2) 算出最大边的平方，另两边的平方和；(3) 比较最大边的平方与另两边的平方和，如果相等则此三角 形是直角三角形。不要盲目比较其中任意一边平方与另两边的平 方和的关系。5、勾股数:满足a2 + b2 = c2的三个正整数称为勾股数。探索神秘的勾股数组：若a、b、c是一组勾股数，则ka、kb、 kc(k为正整数)也是勾股数，下列各组数都是常见勾股数：3k,4k，5k、5k，12k，13k、8k，15k，17k、7k，24k，25k、9k，40k

5、, 41k等以下几个公式都可以产生勾股数： 设 n 为正整数，且 n> 1，令a = 2n，b = n2 - 1， c = n2 + 1， 则有 a2 + b2 = c2 ; 设 n 为正整数，令a = 2n + 1， b = 2n2 + 2n，c = 2n2 + 2n + 1,则有 a2 + b2 = c2 ; 设m n为正整数，且 m>n,令a = m2 - n2 , b = 2mn , c m2 + n2，则有 a2 + b2 = c2 ; 设 mn、k 为正整数，且 m>n,令a = k(m2 - n2), b = 2kmn , c k(m2 + n2 ),则有a2 + b2 = c2 .6互逆命题：如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论与题设， 那么这两个命题互为逆命题，其中一个命题叫做原命题，那么另 一个命题就叫做它的逆命题。7、互逆定理：如果一个定