勾股定理典型题型

1、一、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例1 .在ABC中，已知AC已知ABa2 b2 c2新人教版八年级下册勾股定理典型例习题C 90 6 , BC 8 求AB的长17 , AC 15，求BC的长分析：直接应用勾股定理解：ABAC BC 10 BC . AB2 AC28题型二：利用勾股定理测量长度例题1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的 “知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后, 已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理!根据勾股定理 AC+BC=AB即AC+92=15；所以AC=1

2、44,所以AC=12.例题2如图（8），水池中离岸边 D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到 D点，并求水池的深度AC.tlBO.s"X/n -l-n fi-1解析：同例题1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2.由题意可知 ACD中,/ ACD=90 ,在Rt ACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图2，根据勾股定理， aC+cDuAE2设水深 AC= x 米，那么 AD=AB=AC+CB=0.52 2 2x+1.5 = ( x+0.5 )解之得x

3、=2.故水深为2米.题型三：勾股定理和逆定理并用图3例题3 如图3,正方形ABCD中, E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB 1 AB4那么 DEF是直角三角形吗？为什么?解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没1有任何条件，我们也可以开创条件，由FB -AB可以设AB=4a,那么BE=CE=2a,AF=3 a,4BF= a,那么在 Rt AFD、Rt BEF和Rt CDE中,分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断厶DEF是否是直角三角形。详细解题步骤如下:解：设正方形 ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a

4、,AF=3 a,BF= a 在 Rt CDE中，DE=cD+cE=（4a）2+（2 a）2=20 a2同理 EF"=5a2, DF 2=25a2在厶 DEF 中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF DEF是直角三角形，且/ DEF=90 .注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型四：利用勾股定理求线段长度一一例题4如图4,已知长方形 ABCD中 AB=8cm,BC=10cm在边CD 上取一点 丘，将厶ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE 的长解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。U34注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠

5、部分的面积。题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例题5如图5，王师傅想要检测桌子的表面 AD边是否垂直与 AB边和CD边，他测得AD=80cm, AB=60cm BD=100cm AD边与AB边垂直吗？怎样去验证 AD边与CD边是否垂直？解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4,矩形ABCD表示桌面形状，在 AB上截取AM=12cm在AD上截取AN=9cm想想 为什么要设为这两个长度？），连结MN测量MN的长度。2 2 2 如果MN=15则AM+AN=MN,所以AD边与AB边垂直； 如果 MNW 15,则 92+122=81 + 144=225,

6、a2工 225,即 92+122工 a2,所以/ A不是直角。利用勾股定理解决实际问题一一例题6有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至 5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走L 睐到离门多远的地方灯刚好打开?解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯 5米，可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图 6所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BC/ MN,BCL AN当头（B点）距离 A有5米时，求BC的长度。已知 AN=4.5米，所以AC=3米，由勾股定理，可计算 BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。题型六

7、：旋转问题：例1、如图， ABC是直角三角形，BC是斜边，将厶ABP绕点A逆时针旋转后，能与 ACP'重合, 若AP=3,求PP'的长。变式1:如图，P是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB=2.3 ,PC=4,求厶ABC的边长.分析：利用旋转变换，将 BPA绕点B逆时针选择60°,将三条线段集中到同一个三角形中， 根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由变式2、如图， ABC为等腰直角三角形，/ BAC=90 , E、F是BC上的点，且/ EAF=45 ,题型七：关于翻折问题例1、如图，矩形纸片 ABC

8、D的边AB=10cm, BC=6cm, E为BC上一点，将矩形纸片沿 AE折 叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是厶ABC的中线，/ ADC=45°，把 ADC沿直线AD翻折，点C落在点C'BC=4求BC'的长.的位置，题型八：关于勾股定理在实际中的应用 ：例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时， 周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知 拖拉机的速度是18千米/小时，那么学

9、校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题例5、如右图1 19,壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从 背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问 壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（n取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为 9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面 A点沿表面爬行至右侧面的 B点,最少要花几秒钟

10、?三、课后训练:一、填空题1如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需米.B2.出3.占八、于种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为 2.5 cm,高为12 cm,吸管放进杯里，杯口外面至少要露 4.6 cm,问吸管要做cm。已知：如图， ABC中，/ C = 90，点O ABC的三条角平分线的交点，D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm , CA = 6cm，则点cmOD 丄 BC, OE 丄 AC , OF 丄 AB ,O到三边 AB , AC和BC的距离分别等4 在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树直接跃到 A处，距离以直线计算，如

11、果两只猴子所经过的距离相等， 米。个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20dm 3dmA点有一只蚂蚁，想到 BB点最短路程是20米处的池塘的 则这棵树高A处。另一只爬到树顶 D后5.如图是2dm, A和B是这个台阶两个相对的端点， 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 二、选择题已知一个 Rt的两边长分别为 3和4, A、252.3.4.5.则第三边长的平方是（D、7或Rt一直角边的长为11,另两边为自然数，则Rt的周长为（A、121B、120C、132D、不能确定如果Rt两直角边的比为 5 : 12,则斜边上的高与斜边的比为（A、60 : 13 B、5 : 12C、12 : 13D、6

12、0 :已知 Rt ABC中，/ C=90°,若 a+b=14cm, c=10cm，则 Rt ABC的面积是（2A、 24cm等腰三角形底边上的高为8,周长为32，则三角形的面积为（B、48B、14)25B、120C、132B、 36cm2C、 48cm2)169D、60cm2)A、56某市在旧城改造中， 计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境, 售价a元，则购买这种草皮至少需要（C、40D、326.450a 元B、 225a 元)C、150a 元D、 300a 元姫150°咖第6题图7.已知, 的面积为如图长方形 ABCD中, AB=3cm（ ）26cmAD=9cm将此长方形折叠，使点B、8cm2