理论力学--空间力系3

1、 F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k1. 空间力的投影和分解空间力的投影和分解OxyFzF = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz kyzOxFFxy2. 空间汇交力系的合成与平衡条件空间汇交力系的合成与平衡条件 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。通过汇交点。 求：求：绳的拉力和墙体的约束力。绳的拉力和墙体的约束力。解：解：取球体为研究对象取球体为研究对象解得：解得：OABCE PyxzFEFBFA1. 力对点的矩力对点的矩空间的力对空间的力对O点之矩取决于：点之矩取决于：（1）力矩的

2、）力矩的大小大小；（2）力矩的）力矩的转向转向；（3）力矩）力矩作用面方位作用面方位。 须用一矢量表征须用一矢量表征 MO(F) =Fh=2OAB )(FMOMO(F)= rFOBrhyxzA(x,y,z)FMO(F)MO(F)定位矢量定位矢量力对点力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为的矩在三个坐标轴上的投影为:()OzyxyFzFMF()OyxzxFyFMF()OxzyzFxFMF)(FMOOBrhyxzA(x,y,z)FMO(F)2. 力对轴的矩力对轴的矩Oxyz 力对轴的矩等于力在垂直力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。与平面交点的矩。力对

3、轴之矩用来表征力对轴之矩用来表征力对刚体绕某轴的转动效应。力对刚体绕某轴的转动效应。 当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。BAFhFxybFzyzOxFFxyA(x,y,z)FzFxFyFyFxBabxy3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系力对点的矩与力对轴的矩的关系 力对点的矩矢在通过该点的某力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。轴上的投影，等于力对该轴的矩。()OzyxyFzFMF()OyxzxFyFMF()OxzyzFxFMF已知：已知：F、 a、b、。求：求： MO(F)解：解：方法一、方法一、 直接计算直接计算方法二、方

4、法二、 利用力矩关系利用力矩关系已知：已知：F、 a、b、。求：求： MO(F)zPOabcAxyMO(P)已知：已知：P 、 a、b、c。求：求：力力P 对对OA轴之矩。轴之矩。解：解：（1）计算）计算 MO(P)（2）利用力矩关系）利用力矩关系OABCFDxyz已知：已知： OA=OB=OC =b, OAOBOC.求：求：力力 F 对对OA 边中点边中点D之矩在之矩在AC方向的投影。方向的投影。解：解：利用力矩关系利用力矩关系OABCFDxyz已知：已知： OA=OB=OC =b, OAOBOC.求：求：力力 F 对对OA 边中点边中点D之矩在之矩在AC方向的投影。方向的投影。FF ABM

5、 自由矢量自由矢量 1 空间力偶的定义空间力偶的定义两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。(1) 力偶矩的大小；力偶矩的大小；(2) 力偶的转向；力偶的转向；(3) 力偶作用面的方位。力偶作用面的方位。 3 空间力偶系的合成与平衡空间力偶系的合成与平衡 任意个空间力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于任意个空间力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。各分力偶矩矢的矢量和。M合力偶矩矢：合力偶矩矢：作业：作业：(习题习题)p106:3-6，3-9, 3-11ABCF1F2F3Ozxy1. 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简

6、化OzxyM11F M22F M33FOzxyRF MO主矢主矢主矩主矩空间任意力系向任一点空间任意力系向任一点 O 简化，可得一力和简化，可得一力和一力偶。力的大小和方向等于该力系的主矢，一力偶。力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心；力偶的矩矢等于该力作用线通过简化中心；力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。主矢与简化中心位置系对简化中心的主矩。主矢与简化中心位置无关，主矩一般与简化中心有关。无关，主矩一般与简化中心有关。OzxyRF MO1()nOOiiMMF 由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，主矩与简化中心的位置

7、无关。主矩与简化中心的位置无关。 合力的作用线通过简化中心合力的作用线通过简化中心 oRF Moo1FRo1FRFRRF do RF MoOORF 力螺旋力螺旋右螺旋右螺旋RRR()()()()OOOiOOiMF dMMMMFFFFR()()zziMMFFRF MoOORF 左螺旋左螺旋力螺旋：力螺旋：由一力和力偶组成，力垂直于力由一力和力偶组成，力垂直于力偶的作用面。偶的作用面。力螺旋是由静力学的两个基本要素力和力力螺旋是由静力学的两个基本要素力和力偶组成的最简单力系，不能进一步合成。偶组成的最简单力系，不能进一步合成。 ORF MOORF MOMOOFRO1MOdcossinOOOO MM

8、MMRRsinOOdMMFF 一般情形下空间一般情形下空间任意力系可合成任意力系可合成为力螺旋。为力螺旋。 原力系平衡原力系平衡OxyzF1F2ABCDEGH 例例5、棱长为棱长为 a 的正方体上作用的力系如图的正方体上作用的力系如图示。示。F1=F2=F。求：求：（1）力系的主矢量；）力系的主矢量；（2）主矢量在）主矢量在 OE 方向投影的大小；（方向投影的大小；（3）力系对力系对AC轴之矩；（轴之矩；（4）力系最终可简化为）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小。力螺旋，其中力偶矩大小。解解: （1）力系的主矢量）力系的主矢量（2）主矢量在主矢量在 OE 方向投影的大小方向投影的大小（3）

9、力系对）力系对 AC 轴之矩轴之矩OxyzF1F2ABCDEGH例例5、棱长为棱长为 a 的正方体上作用的力系如图示。的正方体上作用的力系如图示。F1=F2=F。求：求：（1）力系）力系的主矢量；（的主矢量；（2）主矢量在）主矢量在 OE 方向投影的大小；（方向投影的大小；（3）力系对）力系对AC轴之矩；轴之矩；（4）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小。）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小。（4）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小例例5、棱长为棱长为 a 的正方体上作用的力系如图示。的正方体上作用的力系如图示。F1=F2=F。求：求：（1）力

10、系）力系的主矢量；（的主矢量；（2）主矢量在）主矢量在 OE 方向投影的大小；（方向投影的大小；（3）力系对）力系对AC轴之矩；轴之矩；（4）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小。）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小。OxyzF1F2ABCDEGH空间平行力系空间平行力系平面任意力系平面任意力系平衡条件：平衡条件：RO 00FM平衡方程平衡方程:（1）空间铰链：）空间铰链：（2）径向轴承：）径向轴承：（3）径向止推轴承：）径向止推轴承：（4）空间固定端：）空间固定端：CABEHDxy PAB,CDHzQ( )0,cos30cos30cos03( )0,(sin30 )02220,0yAA

11、xABzABCaMFF aQPlaaaMFFF aQPlFFFFPQ已知：已知： Q=100kN，P=20kN，a=5m，l=3.5m， = 30求：求：各轮的支持力。又当各轮的支持力。又当= 0时，时， 最最大载重大载重Pmax是多少是多少？解解: 取起重机为研究对象取起重机为研究对象解得解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kNFAFCFB（2）当当 = 0，由上面方程得：，由上面方程得：为确保安全，必须：为确保安全，必须：FA0解题中需要注意的几点：解题中需要注意的几点：1. 选投影轴时应尽量与其余未知力垂直；选投影轴时应尽量与其余未知力垂直；2. 选矩的轴时

12、应尽量与其余未知力平行或相交；选矩的轴时应尽量与其余未知力平行或相交；3. 投影轴不必相互垂直，取矩的轴也不必与投影轴重合；投影轴不必相互垂直，取矩的轴也不必与投影轴重合；4. 力矩方程的数目可取力矩方程的数目可取36个。个。( )0,cos30cos30cos03yAaMFF aQPl已知：已知：a = 0.3m，b =0.4m， c = 0.6m，R = 0.25m，r = 0.1m，P = 10kN，F1= 2F2。求：求： F1、F2 及及A、B处约束力。处约束力。解：解：取系统为研究对象取系统为研究对象解得解得:abcABF1xzyRF2PrFAxFAzFBxFBz已知：已知：力偶矩

13、力偶矩M2和和M3求：求：平衡时平衡时M1和支座和支座A、D的约束力。的约束力。解：解：取曲杆为研究对象取曲杆为研究对象yABCDM1bcaxzM2M3FAyFAzFDyFDzFDx已知：已知：等边三角形板的边长为等边三角形板的边长为a，在板面内作用一矩为在板面内作用一矩为 M 的力偶，的力偶，板、杆自重不计。板、杆自重不计。求：求：杆的内力。杆的内力。解解: 取板为研究对象取板为研究对象解得：解得：ACBDEF303030123456MF3F6F5F2F4F1456142536()0,cos30cos300()0,cos30cos300()0,cos30cos300()0,cos30sin3

14、0cos300()0,cos30sin30cos300()0,cos30sin30FCDAEBCBCAABMFaMMFaMMFaMMF aFaMFaFaMF aFFFFFFFcos300a1. 平行力系中心平行力系中心FR = F1+F2由合力矩定理可确定合力作用点由合力矩定理可确定合力作用点C： 力平行力系的合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作力平行力系的合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。称该点为此平行用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。称该点为此平行力系的中心。力系的中心。平行力系中心为合力通过的一个点。平行力系中心为合力通过的一个点。由合

15、力矩定理，得：由合力矩定理，得：zOxyBAF1F2r1r2rCCFR设力的作用线方向单位矢量为设力的作用线方向单位矢量为 F0zOxyBAF1F2r1r2rCCFRF02. 重心的概念及其坐标公式重心的概念及其坐标公式zOxyPPiCVixCyCzCxiyizi由合力矩定理，得：由合力矩定理，得：若物体是均质的，得：若物体是均质的，得：地球表面物体的地球表面物体的重力重力可以看做是平行力可以看做是平行力系，其中心即为物体的系，其中心即为物体的重心重心。均质物体的重心就是几何中心，通常称均质物体的重心就是几何中心，通常称形心。形心。 3. 确定物体重心的方法确定物体重心的方法（1）简单几何形状

16、物体的重心）简单几何形状物体的重心求：求：半径为半径为R，圆心角为，圆心角为2 的均质的均质圆弧线的重心。圆弧线的重心。解解: 取圆心取圆心 O 为坐标原点为坐标原点yx可查工程手册。可查工程手册。oABRRdld求：求：半径为半径为R，圆心角为，圆心角为2 的的均质扇形的重心。均质扇形的重心。解解: 取圆心取圆心O为坐标原点为坐标原点半圆形的重心：半圆形的重心：OABxyd3. 确定物体重心的方法确定物体重心的方法(a) 分割法分割法oxyC1C2C330mm30mm30mm10mm10mm（2）用组合法求重心）用组合法求重心求：求：Z 形截面重心。形截面重心。解解: 建立图示坐标系建立图示

17、坐标系x1=15, y1=45, A1=300 x2=5, y2=30, A2=400 x3=15, y3=5, A3=300(b)负面积法（负体积法）负面积法（负体积法）40mm50mmxyo20mm求：求：图示截面重心。图示截面重心。解：解：建立图示坐标系，由对建立图示坐标系，由对称性可知：称性可知：yC=0F2 (a) 悬挂法悬挂法AFAPABFBPDE（3）用实验方法测定重心的位置）用实验方法测定重心的位置 (b) 称重法称重法F1PlFxC1第一步：第一步：PlFxC2第二步：第二步：22121HlHPFFrzC22sin,cosHlHllcossinCCxxh cosll CChz

18、r思考题：思考题：1. 空间平行力系简化的最终结果一定不可能为力螺旋。空间平行力系简化的最终结果一定不可能为力螺旋。2. 根据力的平移定理，一个力平移后得到一个力和一个根据力的平移定理，一个力平移后得到一个力和一个力偶，反之一个力和一个力偶肯定能合成为一个力。力偶，反之一个力和一个力偶肯定能合成为一个力。3. 作用于刚体上的任何三个相互平衡的力，必定共面。作用于刚体上的任何三个相互平衡的力，必定共面。4. 空间任意力系总可以用两个力来平衡。空间任意力系总可以用两个力来平衡。5. 若空间力系各力作用线都平行于某一平面，则其最多若空间力系各力作用线都平行于某一平面，则其最多的独立平衡方程有的独立平

19、衡方程有 个；个； 若各力的作用线都垂直于若各力的作用线都垂直于某平面，则其最多的独立平衡方程有某平面，则其最多的独立平衡方程有 个；个； 若各力若各力的作用线都与某一直线相交，则其最多的独立平衡方程的作用线都与某一直线相交，则其最多的独立平衡方程有有 个。个。oxyzF1F2F3oxyzF1F2F3F46. 沿长方体的不相交且不平行的三条棱边作用三个相等沿长方体的不相交且不平行的三条棱边作用三个相等的力的力P，如图示，欲使此力系能简化为一个力，则，如图示，欲使此力系能简化为一个力，则a、b、c应满足关系：应满足关系： 。7. 棱长为棱长为 a 的正方体上作用的力系如图示。的正方体上作用的力系如图示。则其简化的最后结果是：则其简化的最后结果是： 。PPPabc(习题习题)p108-p111: 3-14, 3-16，3-25作业作业1. 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影yzOxFFxyOxyFz2. 力矩的计算力矩的计算（1）力对点的矩）力对点的矩 MO(F) =Fh=2OAB OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)OABabFFxyhz（2）力对轴的矩）力对轴的矩 yzOxFFxyA(x,y,z)FzFxFyFyFxBabxy 力对轴的矩等于力在垂直于力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投