数值分析大三次样条插值在船舶邦戎曲线中应用-副本

1、三次样条插值在船舶邦戎曲线中的应用船建学院B1301095 wj一、计算原理1、三次样条插值原理三次样条插值多项式 Sn ( x) 是一种分段函数，它的应用范围很广，本文探讨该方法在船舶静力学曲线计算和绘制中的应用。节点xi (a x0 x1xn 1xnb) 分成的每个小区间 xi 1, xi 上是 3 次多项式，其在此区间上的表达式如下：S( x)13M i 13M i ( yi 1hi2xi x( yihi2x xi 1，6hi( xi x)(x xi 1 )6M i 1)6M i )hihix，, n. xi 1, xi i 1,2,因此，只要确定了M i 的值，就确定了整个表达式， M

2、 i 的计算方法如下：令：hihi11 iihihi， ihi 11hidi6yi 1yiyiyi 1) 6 f ( xi 1, xi , xi 1 )hihi(hi1hi 1则 M i 满足如下n-1 个方程：i M i 12M ii M i 1di ，i1,2, n1对于第一种边界条件下有M n 12M n6( f 'n f xn 1 , xn )hn12 M 0M6( x1 , x0 f ' 0 )1h001, d 06( f x1 , x0 f '0 ) , n 1, dn6( f 'nf xn 1 , xn ) ,如果令h0hn 1那么解就可以写为20

3、M 0d0121M 1d1n 12n 1M n 1dn 1n2M ndn2、船舶静力学中的邦戎曲线船舶邦戎曲线是由一组船舶横剖面的面积曲线组成的， 其中每条曲线表示该处横剖面在不同水线以下浸入水中的面积。 邦戎曲线是船体纵向积分的基础， 利用它可以计算船舶在不同吃水下的排水体积和浮心位置， 进而为船舶的稳性与强度计算提供基本数据。 因而邦戎曲线的精确性直接影响到船舶的安全性。 传统邦戎曲线的计算以型值表为基础， 利用梯形积分法， 把船体某一横截面上各水线之间的面积近似成梯形， 然后把这些小梯形的面积求和得到， 但梯形法只有一阶代数精度，对稳性计算要求较高的液货船来说， 似乎不够精确。 本文提出

4、先把某一横截面上各水线面之间的水线面半宽用1 个一元三次函数近似表达， 然后在该水线面之间对这个一元三次函数进行积分，得到各水线面之间的小图形面积，再对这些小图形面积进行叠加，得到某一横截面的面积。3、追赶法计算对角占优方程组在实际问题中 , 经常遇到以下形式的方程组b1 x1c1 x2d1a2 x1b2 x2 c2 x3d 2ak xk 1bk xk ck xk 1d kan 1 xn2bn 1 xn 1 cn 1 xnd n 1an xn 1bn xnd n这种方程组的系数矩阵A 为三对角矩阵 , 即b1c1a2b2c2Aakbkckan 1bn 1 cn 1anbn追赶法实际上是高斯消去

5、法的一种简化形式 , 它同样分消元与回代两个过程。求解基本步骤如下：(1) 计算 i 的递推公式1c1 / b1 ,ici /(biaii ),i2,3, n1 .(2)解 Ly=fy1f1/ b1 ,yi( fiai yi ) /(biaii 1), i2,3, , n;(3)解 Ux=yxnyn , xiyii 1 xi 1, in1, n 2,2,1.将计算系数12n 1及 y1y2yn 的过程称为追的过程。将计算方程组的解xnxn 1x1 的过程称为追赶的过程。4、Simpson 公式Simpson 公式是一个数值积分公式，在计算一些多项式函数（三次或三次一下）的定积分时会得出精确值。

6、但容易验证它对于f ( x) = x4 通常是不准确的，因此， Simpson 公式实际上具有三次代数精度，但是配合三次样条插值使用，三次代数精度已满足。b将 定 积 分 If (x)dx 的 积 分 区 间 a, b 分 隔 为 n 等 分 ， 各 节 点 为axj a jh , j 0,1,ba, n hn得到 Simpson 公式：baabS f (a)4 f () f (b)62二、 Matlab 程序1、三次样条插值主程序：clc;clear;%globalx y h s n;%定义全局变量%y=0 0.5 1 1.5 2 3 4;%船舶吃水深度x=0 1.653 2.089 2.3

7、88 2.619 3.049 3.654;y_0=0;y_n=0;%第一类边界条件%n=length(x);fori=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);%计算分化间隔endfori=2:n-1u(i-1)=h(i-1)/(h(i-1)+h(i);v(i)=h(i)/(h(i-1)+h(i);%对应水深下的船宽%计算三对角的下对角线1 到 n-2%计算三对角的上对角线2 到 n-1%d(i)=6*(y(i+1)-y(i)/h(i)-(y(i)-y(i-1)/h(i-1)/(h(i-1)+h(i);%计算 d 向量（ 1 到n-1 ） %endu(n-1)=1;v(1)=1;%补充定义三

8、对角元素d(1)=6*(y(2)-y(1)/h(1)-y_0)/h(1);d(n)=6*(y_n-(y(n)-y(n-1)/h(n-1)/h(n-1);%补充定义d向量 %w(1:n)=2;%定义三对角的中对角线1到 n%M=zhuigan(u,w,v,d,n);%调用追赶法函数，n为方程组的阶数%fori=1:n-1%计算每个分化的三次多项式，conv%a=y(i)-M(i)*h(i)2/6;b=y(i+1)-M(i+1)*h(i)2/6;s(i,:)=(M(i)*conv(conv(-1,x(i+1),-1,x(i+1),-1,x(i+1)+M(i+1)*conv(conv(1,-x(i)

9、,1,-x(i),1,-x(i)/(6*h(i)+(a*0,0,-1,x(i+1)+b*0,0,1,-x(i)/h(i);end%fori=1:n-1e=linspace(x(i),x(i+1),10);f=polyval(s(i,:),e);plot(e,f);holdon ;%代入 e 计算多项式的值%根据以上多项式，做出图像，hold on%end%symsX;%定义符号变量fori=1:n-1p(i)=vpa(poly2sym(s(i,:),end%fori=1:36x0(i)=0+i*0.1;A(i)=simpson(x0(i);endplot(x0,A);%吃水从'X

10、9;),4);0 到设计水线 %调用 simpson%表示出每个分段的多项式表达式函数 %绘制对应站位上的邦戎曲线（横截面面积与吃水的关系）%2、追赶法子程序：%追赶发 %functionx=zhuigan(a,b,c,f,n)bt(1)=c(1)/b(1);fori=2:n-1%求解 %bt(i)=c(i)/(b(i)-a(i-1)*bt(i-1);endy(1)=f(1)/b(1);fori=2:n%LUx=f,先计算 Ly=f%y(i)=(f(i)-a(i-1)*y(i-1)/(b(i)-a(i-1)*bt(i-1);endx(n)=y(n);fori=n-1:-1:1%计算 Ux=y%

11、x(i)=y(i)-bt(i)*x(i+1);endend3、 Simpson法子程序%simpson法计算数值积分（配合三次样条曲线）%functionA=simpson(x0)%返回面积A，输入任一水深x0%globalx y h s n;%申明全局变量%A=0; %面积初始化 %fori=1:n-1if(x0-x(i)>0&&(x0-x(i+1)<0k=i;%判断 x0 所在的分片位置%break;endendfori=1:k-1%mean_i 为中间位置，从h(1)到 h(n-1)叠加计算面积 %mean_i=polyval(s(i,:),x(i)/2+x(

12、i+1)/2);A=A+2*h(i)/6*(y(i)+y(i+1)+4*mean_i);end%y_x0=polyval(s(k,:),x0);step=x0-x(k);mean_k=polyval(s(k,:),x(k)/2+x0/2);A=A+2*step/6*(y(k)+4*mean_k+y_x0);%计算余下的面积，2* 是因为船舶面积是对称%end三、计算结果首先把型值表里的数据按照表 1 的格式输入到 Excel 中，以备计算程序调用， 然后把与计算有关的数据用 C#语言实时地调用到程序中，根据相关数据计算得出船舶横剖面的三次样条插值函数， 最后用辛普森积分法对该函数进行积分， 得

13、到邦戎曲线。计算流程图如下：以某 14300DWT 散货船为例（下图） ，计算第2 站的横剖面曲线去，并计算吃水从0 3.6m的浸水面积，绘制邦戎曲线。基于三次样条插值计算得到二号站位处的横剖面曲线图，如下图所示：图：二号站位的横剖面曲线对以上得到的横剖面半宽图利用Simpon 积分得到邦戎曲线，如下图所示：图：二号站位的邦戎曲线各分划的三次函数，表示如下：0，1.653：0.1058*X3 + 0.008074*X2 - 3.469*10(-17)*X1.653， 2.089：0.1072*X3 + 0.0009915*X2 + 0.01171*X - 0.0064512.089， 2.388：0.5718*X3 - 2.91*X2 + 6.093*X - 4.2412.388， 2.619：12.62*X2 - 1.596*X3 - 31.0*X + 25.282.619， 3.049：0.1255*X3 - 0.906*X2 + 4.432*X -