排列组合题型总结

1、排列组合题型总结 在处理排列问题时，所要研究的对象在处理排列问题时，所要研究的对象有两组，一是要被排列的对象，一是位置，有两组，一是要被排列的对象，一是位置，在这两组对象中有时候会出现一个或者多在这两组对象中有时候会出现一个或者多个特殊的对象：个特殊的对象：n若有一个特殊对象，一般先把特殊的对象若有一个特殊对象，一般先把特殊的对象优先进行处理优先进行处理，然后再对其他的没有特殊，然后再对其他的没有特殊要求的对象进行全排列；要求的对象进行全排列；【一一】特殊对象问题：特殊对象问题： n如果出现了如果出现了两个特殊要求两个特殊要求，一般使用，一般使用分类分类的方法处理，针对其中的一个的位置不同的方

2、法处理，针对其中的一个的位置不同进行分类来处理，再或者用进行分类来处理，再或者用间接法间接法n例例1、有、有5人排成一列，其中甲不在第一的人排成一列，其中甲不在第一的位置，有多少种排法？位置，有多少种排法？n例例2、有、有5人排成一列，其中甲不能在第一，人排成一列，其中甲不能在第一，乙不能在最后，有多少种排法？乙不能在最后，有多少种排法？特殊对象问题：特殊对象问题： 【二二】名额分配问题名额分配问题 这种问题处理时，要注意两个特征：这种问题处理时，要注意两个特征： 1、名额之间没有什么不同、名额之间没有什么不同 2、名额分配时的具体要求是什么、名额分配时的具体要求是什么n当问题中要求分配时每人

3、至少一个时，只需要在当问题中要求分配时每人至少一个时，只需要在所有名额形成空隙中选取比人数少一个的空隙，所有名额形成空隙中选取比人数少一个的空隙，放入相同的挡板即可放入相同的挡板即可n若问题中没有具体分配要求时，可以不上和人数若问题中没有具体分配要求时，可以不上和人数相同的名额转化成第一组问题来处理相同的名额转化成第一组问题来处理【二二】名额分配问题名额分配问题 例例1 1、有有1010个三好学生的名额分给个三好学生的名额分给3 3个班，个班，要求每班至少有一个名额，怎么分？要求每班至少有一个名额，怎么分？ 例例2、有有7 7个三好学生的名额，分给个三好学生的名额，分给3 3个个班，怎么分？班

4、，怎么分？【三三】分组分配问题分组分配问题 这里的分配问题与名额分配的最大区别是：这里的分配问题与名额分配的最大区别是：名额是相同，现在是不同的对象进行分配名额是相同，现在是不同的对象进行分配 例例1、有有6 6本不同的书，平均分给甲乙丙三人，本不同的书，平均分给甲乙丙三人，有多少种分法？有多少种分法？ 平均分配平均分配: :乘法原理，直接分法乘法原理，直接分法 例例2、有有6 6本不同的书，平均分为三组，有多少本不同的书，平均分为三组，有多少种分法？种分法？ 平均分组：平均分组：把例把例1 1分成两步：先分成三组；把不分成两步：先分成三组；把不同的三组分给三个不同人（组数的阶乘），求乘同的三

5、组分给三个不同人（组数的阶乘），求乘积。所以积。所以平均分组方法平均分组方法= =直接分法直接分法/ /组数的阶乘组数的阶乘【三三】分组分配问题分组分配问题 例例3、有有6 6本不同的书，分甲本不同的书，分甲1 1本，乙本，乙2 2本，本，丙丙3 3本，有多少种分法？本，有多少种分法？ 不平均定向分配：不平均定向分配：分步，直接分法分步，直接分法 例例4、有、有6 6本不同的书，分三组，一组本不同的书，分三组，一组1 1本，一组本，一组2 2本，一组本，一组3 3本，有多少种分法？本，有多少种分法？ 不平均分组不平均分组: :把例把例3 3理解成两步：先分组，理解成两步：先分组，然后再把组定向

6、分给人（然后再把组定向分给人（只有只有1 1种方法种方法），），所以答案同问题所以答案同问题3,3,方法为直接分法方法为直接分法【三三】分组分配问题分组分配问题 例例5、有、有6 6本不同的书，分给三个人，一人本不同的书，分给三个人，一人1 1本，本，一人一人2 2本，一人本，一人3 3本，有多少种分法？本，有多少种分法？ 不平均的不定向分配：不平均的不定向分配：理解成理解成2 2步：先分组，然步：先分组，然后把组不定向的分给人（后把组不定向的分给人（组数的阶乘组数的阶乘）,再求乘再求乘积。积。 例例6 6、有有9 9本不同分成三组，一组本不同分成三组，一组5 5本，另外两组本，另外两组各各2

7、 2本，有多少种分法？本，有多少种分法？ 混合型分组：混合型分组：理解成两步：先不平均的分，在理解成两步：先不平均的分，在把某部分平均分组，再求两步乘积。整理规律即：把某部分平均分组，再求两步乘积。整理规律即：先直接分，然后除以平均组数的阶乘先直接分，然后除以平均组数的阶乘【三三】分组分配问题分组分配问题 例例7 7、有有9 9本不同的书，分给甲乙均本不同的书，分给甲乙均2 2本，丙本，丙5 5本，本，有多少种分法？有多少种分法？ 混合型某部定向分配：混合型某部定向分配：理解成两步，先混合型理解成两步，先混合型分组，然后把组分给人；分组，然后把组分给人；其中平均部分的分配其中平均部分的分配（平

8、均组数的阶乘）（平均组数的阶乘），再求乘积，再求乘积 例例8、有、有9 9本不同的书，分给两人各本不同的书，分给两人各2 2本，另一本，另一人人5 5本，有多少种分法？本，有多少种分法？ 混合型部定向分配：混合型部定向分配：理解成两步，先混合型分理解成两步，先混合型分组，然后把组分给人（组，然后把组分给人（不定向，所有组数的阶不定向，所有组数的阶乘乘），再求乘积），再求乘积【四四】相邻问题相邻问题本组问题有两大类：本组问题有两大类：相邻的对象相同，相邻的对象相邻的对象相同，相邻的对象不相同不相同 1、若相邻对象、若相邻对象不同时不同时，先把相邻的对象当成，先把相邻的对象当成一个，和其他没有要求

9、的对象进行全排列，然后一个，和其他没有要求的对象进行全排列，然后再把相邻的对象进行全排列，这两步求乘积再把相邻的对象进行全排列，这两步求乘积 2、若相邻对象、若相邻对象相同时相同时，先把其他的对象排好，先把其他的对象排好，再把相邻的对象当成一个按要求放在其他对象摆再把相邻的对象当成一个按要求放在其他对象摆好而形成的空格中好而形成的空格中【四四】相邻问题相邻问题 例例1 1、8 8人排成一列，甲乙丙三人必须相人排成一列，甲乙丙三人必须相邻，有多少种排法？邻，有多少种排法？ 例例2 2、一排一排8 8个座位，个座位，3 3人坐，人坐，5 5个空座位个空座位相邻，有多少种坐法？相邻，有多少种坐法？【

10、五五】不不相邻问题相邻问题 不相邻问题也有两大类：不相邻问题也有两大类：不相邻的对象相同，不相邻的对象相同，不相邻的对象不相同不相邻的对象不相同 1、若不相邻对象不相同时，先把其他的对象、若不相邻对象不相同时，先把其他的对象进行排列，再把不相邻的对象放在其他对象形成进行排列，再把不相邻的对象放在其他对象形成空格中进行排列空格中进行排列 2、若不相邻的对象相同时，也先把其他的对、若不相邻的对象相同时，也先把其他的对象进行排列，再从其他对象摆好形成的空格中象进行排列，再从其他对象摆好形成的空格中选选取取相应的空格，最后直接把不相邻的对象放入相应的空格，最后直接把不相邻的对象放入（1种方法，因为相同

11、种方法，因为相同） 【五五】不不相邻问题相邻问题 例例1、某人射击训练，、某人射击训练，8枪命中枪命中3枪，恰枪，恰好没有任何好没有任何2枪连续命中，有多少种情况？枪连续命中，有多少种情况？ 例例2、8人排成一列，甲乙丙三人不可相人排成一列，甲乙丙三人不可相邻，有多少种排法？邻，有多少种排法？ 例例3、8盏灯关掉盏灯关掉3盏，不许关掉相邻的，盏，不许关掉相邻的，也不许关掉两端，多少种方法？也不许关掉两端，多少种方法？ 例例4、某人射击训练，、某人射击训练，8枪命中枪命中3枪，恰枪，恰好好2枪连续命中，有多少种情况？枪连续命中，有多少种情况？【六六】成双成对问题成双成对问题 先按双取出，再从各双

12、分别取出一只，先按双取出，再从各双分别取出一只，自然不成双自然不成双 例例1、从、从6双不同鞋子中取出双不同鞋子中取出4只，要求只，要求都不许成双，有多少种方法？都不许成双，有多少种方法？ 例例2、从、从6双不同鞋子中取出双不同鞋子中取出4只，要求只，要求恰好有一双，有多少种方法？恰好有一双，有多少种方法？ 【七七】可（不可）重复使用的对象可（不可）重复使用的对象 问题中有两组对象，解决问题时要以不可问题中有两组对象，解决问题时要以不可重复使用的对象作为分布的标准（住店、重复使用的对象作为分布的标准（住店、投信、映射、冠亚军等）投信、映射、冠亚军等） 例例1、5人住人住3家店，有多少种住法？家

13、店，有多少种住法？ 例例2、5人参加同一下比赛，最终冠亚季军人参加同一下比赛，最终冠亚季军名次有多少种？名次有多少种？【八八】 我不能我问题我不能我问题 在处理换位置、交换礼品、职务连任等问题在处理换位置、交换礼品、职务连任等问题时规则要求往往是自己不允许和自己发生关系，时规则要求往往是自己不允许和自己发生关系，这种问题一般只到这种问题一般只到4或或5组对象。常用组对象。常用穷举法、穷举法、或用间接法，或用分步法或用间接法，或用分步法（注意第二步的处理技（注意第二步的处理技巧）巧） 例例1、4人写人写4张卡片，自己不许拿自己的卡片，张卡片，自己不许拿自己的卡片，有多少中拿法？有多少中拿法？ 例

14、例2、5人换位置，有多少种不同的换法？（人换位置，有多少种不同的换法？（44种种） 【九九】至多至少问题至多至少问题 常用分类的方法或者间接法常用分类的方法或者间接法 例例1、从、从5个男生和个男生和4个女生，选出个女生，选出4人参人参加比赛，要求至少要有加比赛，要求至少要有2名女生的选法有名女生的选法有多少种？多少种？ 【十十】交叉功能问题交叉功能问题 抓住一个特点进行分类，千万不要分类抓住一个特点进行分类，千万不要分类过多过多 例例1、10名翻译，有名翻译，有6人会英语，人会英语，7人会人会德语，现需要英语、德语翻译各德语，现需要英语、德语翻译各3人，共人，共多少中选派方案？多少中选派方案

15、？ 【十一十一】相对顺序固定问题相对顺序固定问题 相对顺序固定问题，常用两种方法：相对顺序固定问题，常用两种方法：（1）一般要先处理掉没有相对顺序要求的）一般要先处理掉没有相对顺序要求的元素，再把剩下的有相对顺序要求的元元素，再把剩下的有相对顺序要求的元素按照要求摆放，素按照要求摆放，（2）先随意地进行排列，再除以随意摆放）先随意地进行排列，再除以随意摆放过程中过程中相对顺序固定部分的顺序相对顺序固定部分的顺序【十一十一】相对顺序固定问题相对顺序固定问题 例例1、书架上、书架上6本不同的书，现在要放上去本不同的书，现在要放上去3本，本，但要保持原来但要保持原来6本的相对顺序不变，有多少种本的相对顺序不变，有多少种放法？放法？ 例例2、 用用1、2、3、4、5、6排成所有五位数排成所有五位数中，个位数小于十位数，而且十位数小于百位中，个位数小于十位数，而且十位数小于百位数的有多少个？数的有多少个？ 例例3、用、用1、2、3、4、5、6排成所有五位数排成所有五位数中，个位数小于十位数，而且十位数大于百位中，个位数小于十位数，而且十位数大于百位数的有多少个？数的有多少个？【十二十二】集合关系、子集个数问题集合关系、子集个数问题 例例1、a,b,c,d的所有子