主成分分析法的步骤和原理之欧阳文创编

1、欧阳文创编（一）主成分分析法的基本思想时间：2021.03.12创作：欧阳文主成分分析（Principal Component Analysis）是利用 降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量（即主成 分），其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分 Z间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分 信息，且所含的信息互不重叠。采用这种方法可以克服单一的财务指标不能真实反映公 司的财务情况的缺点，引进多方面的财务指标，但又将复杂 因素归结为几个主成分，使得复杂问题得以简化，同时得到 更为科学、准确的财务信息。（二）主成分分析法代数模型假设用P个变量来描述研究对象，分别用x” X2

2、-XP来表 示，这P个变量构成的p维随机向量为X二（X】，X2X）。设 随机向量X的均值为协方差矩阵为工。假设X是以n 个标量随机变量组成的列向量，并且Uk是其第k个元素的 期望值，即，uk二E（xk）,协方差矩阵然后被定义为：S=E（X-EX） （X-EX） = （如图对X进行线性变化，考虑原始变量的线性组合：fzi= U 11X1+ u 12X2+ u lpXp| Z2= u 21X1+ n 22X2+- u 2pXp欧阳文创编Zp= u P1X1+ U p2X2+u ppXp主成分是不相关的线性组合乙，Z2ZP,并且乙是XI, X2Xp的线性组合中方差最大者，Z?是与乙不相关的线性组 合

3、中方差最大者，Zp是与乙，Z2Z円都不相关的线性 组合中方差最大者。（三）主成分分析法基本步骤第一步：设估计样本数为n,选取的财务指标数为p,则 由估计样本的原始数据可得矩阵X二（Xij）mx”其屮也表示第i 家上市公司的第j项财务指标数据。第二步：为了消除各项财务指标之间在量纲化和数量级 上的差别，对指标数据进行标准化，得到标准化矩阵（系统 自动生成）。第三步：根据标准化数据矩阵建立协方差矩阵R,是反映 标准化后的数据之间相关关系密切程度的统计指标，值越 大，说明有必要对数据进行主成分分析。其屮，R“（i, j二1, 2,，p）为原始变量人与人的相关系数。R为实对 称矩阵（即也二氐），只需计

4、算其上三角元素或下三角元素 即可，其计算公式为：第四步：根据协方差矩阵R求出特征值、主成分贡献率 和累计方差贡献率，确定主成分个数。解特征方程 入E _ R = 0,求出特征值入i （i二1, 2,，p） o因为R是欧阳文创编正定矩阵，所以其特征值入i都为正数，将其按大小顺序排 列，即入1$入22$入i20。特征值是各主成分的方差， 它的大小反映了各个主成分的影响力。主成分乙的贡献率W 二入J X 兀,累计贡献率为乞入j I乞o根据选/ y=1j=1 / j=i取主成分个数的原则，特征值要求大于1且累计贡献率达 80%-95%的特征值入1,入2,，入m所对应的1, 2,，m(n)Wp),其中整数m即为主成分的个数。第五步：建立初始因子载荷矩阵，解释主成分。因子载 荷量是主成分Zi与原始指标人的相关系数R (Zi, Xi),揭 示了主成分与各财务比率之间的相关程度，利用它可较好地 解释主成分的经济意义。第六步：计算企业财务综合评分函数凡，计算出上市公 司的综合值，并进行降序排列：FfWZ + W2Z