数列考前复习要点讲解

1、数列考前复习要点讲解考点1 :由an与Sn的关系求通项an例1:已知数列an的前n项和Sn, Sn= 3“ + b.求an的通项公式。类题通法:已知数列an的前n项和Sn,求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1) 先利用a!= 3求出a!;用n 1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an= Sn Sn-1 (n2)便可求出当n2时an的表达式；对n= 1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n= 1与n2两段来写.训练1:已知各项均为正数的数列 an的前n项和满足Sn>1，且6Sn= (an+ 1)(an+ 2)，n

2、 N*，求an的通项公式.考点2：由递推关系式求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接归纳起来常见的命题角度有：1 形如 an+1= anf n，求 an； 2 形如 a.+1 =环 + f n，求 a.;3 形如 an+1 = Aan+ BA 丰 0 且 Am 1，求 an.角度一 形如an+1 = anf( n)，求ann+ 2例2： (2012全国卷II)已知数列an中，a1= 1,前n项和Sn = j厂an.(1)求a2，a3； (2) 求an的通项公式.角度二 形如 an+1 = an+

3、f(n)，求 an例 3:已知 a1= 2，an+1= an + 3n+2，求 an.角度三 形如an +1 = Aan + B(Am 0且A半1)，求a.例 4 :已知数列 an满足 a1= 1，an+1 = 3a.+ 2，求 a*.类题通法:由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an+1= an + f(n)或a.+ 1 =f(n)an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两 类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价 变形，(如角度三)转化为特殊数列求通项.考点3:等差数列的判断与证明等差数列的四种判断方法(1

4、)定义法：an+1 an= d(d是常数)? an是等差数列.等差中项法：2an +1= an+ an+2(n N )? an是等差数列.通项公式：an= pn+ q（p, q为常数）？ a.是等差数列.（4）前n项和公式：Sn= An2+ Bn （A、B为常数）? an是等差数列.1 *例5:已知数列an的前n项和为Sn,且满足ai =,an=- 2SnSn-1（n2且n N ）.（1）求证：数列|是等差数列.求Sn和an.变式：若将条件改为Sn iai = 2，Sn = 2S R(n>2)"，如何求解类题通法:1 .判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法

5、和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断2.用定义证明等差数列时，常采用两个式子an+1 an= d和a. an-1 = d,但它们的意义不同，后者必须加上“ n2”，否则n = 1时，ao无定义.训练 2：在数列an中，a1 = 3, an= 2a“-1+ 2 + 3（n2,且 n N）.an + 3*（1）求a2, a3的值；设bn= 2（n N ）,证明：bn是等差数列.考点4：等比数列的三种判定方法（1）定义： 也=q（q是不为零的常数，n N*）? an是等比数列.an通项公式：an= cqn1（c、q均是不为零的常数，n N*）? an是等比数列.2 *等比中项法：an

6、+1 = an an+ 2（an n+1 a n+汙0, n N ）? an是等比数列.2.等比数列的常见性质2（1）若 m+ n = p + q= 2k（m, n, p, q, k N ），则 am an= ap aq= ak； hl 2an!若数列an、bn（项数相同）是等比数列，则入a、£ 、an、an bn、£/（入工0）仍然是等比数列；在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an, an+ k, an+2k, an+ 3k，为等比数列，公比为qk;公比不为1的等比数列 an的前n项和为Sn,则Sn,翁Sn ,务一翁仍成等比数 列，其公比为qn,当公

7、比为1时，Sn, S2n Sn, % S2n不一定构成等比数列.分类讨论思想：在应用等比数列前 n项和公式时，必须分类求和，当q= 1时，Sn= na仁 当qz 1时，Si =°在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论.1 q例6:设等比数列an的公比q<1，前n项和为Sn,已知a3= 2, S4= 5S?,求a*的通项 公式.3.等比数列的判定与证明例7：已知数列an的前n项和为Sn,且an+ Sn= n.设Cn= an 1,求证：Cn是等比数列；(2)求数列an的通项公式.变式2：在本例条件下，若数列bn满足bi = a!, bn= a“一 a“1(n2),证明bn

8、是等比数列类题通法:证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、 填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，贝帜要证明存在连续三项不成等比数列即可.2训练3: (2013辽宁省五校联考)已知数列an满足：ai= 1, a2= a(a0), a*+ 2= P (其 an 中p为非零常数，n N*).(1)判断数列是不是等比数列；(2)求 an.考点5:数列求和n(a1+ an nfn 1 1.等差数列的前 n项和公式:Sn=2= na1+2 d;2.等比数列的前na1, q= 1,n 项和公式：Sn= "i a1 anqa1(1 qn ,I 1 q =1 q ，3

9、. 一些常见数列的前 n项和公式(1)1 + 2 + 3 + 4+ n=1 ； (2)1 + 3 + 5 + 7+ 2n 1 = nf;2(3)2 + 4 + 6 + 8+ 2n = n + n.1使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切 不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.2.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.数列求和的常用方法(1)倒序相加法：如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法

10、推导的.(2)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n项和即可用此法来求， 如等比数列的前n项和就是用此法推导 的.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.(4)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列 组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减.并项求和法：一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(1)nf (n)类型，可采用两项合并求解.分组转化法求和例8:已知数列an的首项ai= 3，通项an= 2np+ nq( n N

11、*, p, q为常数)，且ai, a4, a5成等差数列.求：(1)p, q的值；数列an前n项和Sn的公式.类题通法:分组转化法求和的常见类型(1)若an= bnicn,且 bn ,Cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求 an的前n项和； bn, n为奇数，通项公式为an=* 6 n为偶数的数列，其中数列bn , Cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.错位相减法求和例9: (2013 山东高考)设等差数列an的前n项和为Sn,且S4 = 4S2, a2n= 2a*+ 1.(1)求数列an的通项公式；若数列bn满足詈+学+ On= 1 2 n N*，求bn的前n项和Tn.类题通法:

12、用错位相减法求和的注意事项(1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2) 在写出Sn ”与GSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “Sn qS；'的表达式.训练4: (2014武昌联考)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn = 2a“ 1;数列 bn满足 bn-1 bn= bnbn-1(n2, n N ), b1= 1.(1)求数列an , bn的通项公式；(2)求数列豐的前n项和Tn.裂项相消法求和裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通项公式，达到求解目的.归纳起来常见

13、的命题角度有：11n+ 1(1)形如an=右型；形如ann +k+：n型；形如an =石肓型.11角度一形如an =例10:在等比数列丄型n n+ kan中，a1>0 , n N*，且 a3 a?= 8，又的等比中项为 16.(1) 求数列an的通项公式;111设bn= log4an,数列bn的前n项和为S,是否存在正整数 k,使得S + S + S +1M<k对任意n N恒成立若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说明理由.Sn角度二形如an=型.n+ k+例11:(2014浙江)已知函数f(x)= xa的图像过点(4,2)，令an =石+F，nN *.记数n项和为Sn,则S?

14、 013=()列an的前A. ,2 012 1 B. 2 013- 1 C. .2 014- 1 D. , 2 014+ 1、n+ 1角度三 形如an=2型n (n+ 2)例12： (2013江西咼考)正项数列 an的前n项和Sn满足：Sn (n2+n 1)Sn (n2+ n)= 0. (1)求数列an的通项公式an；n +1*5令bn= n+ 2 2a2,数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的n N ,都有Tn<64类题通法:利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的

15、两项之差和系数之积与原通项 相等如：若®是等差数列，则 盘=d i孟，盘2d anan+考点6:数列的综合应用等差数列与等比数列的综合问题例13： (2013全国卷n )已知等差数列 an的公差不为零，a1= 25,且a1, an,成等比数列.(1)求 an的通项公式；(2)求 a1 + a4+ a7+ a3n-2.类题通法:解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系.如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解.训练

16、 5：在等比数列an(n N )中,ai>1,公比 q>0,设 bn = log2an,且 bi+ b3+ b5= 6, bib3b5=0.(1)求证：数列bn是等差数列;求bn的前n项和Sn及an的通项an.数列与其他知识的交汇数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题，近年由于对数列要求降低，但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇归纳起来常见的命题角度有：1数列与不等式的交汇；2数列与函数的交汇;3数列与解析几何的交汇角度一数列与不等式的交汇1例14： (2014湖北七市模拟)数列an是公比为1的等比数列，且1-a2是a1与1 + a3的 等比中项，前n项和为Sn；数列bn是等差数列，b1= 8,其前n项和Tn满足Tn= n入bn+1(入 为常数，且入工1).(1)求数列an的通项公式及 入的值；1111 1比较+ + 1 +匸与Sn的大小.I 1 丨2 I3In 2类题通法:数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题