数列求和专题,方法大全,7种方法(全面模型+精选例题+习题附答案)精编材料word版

1、数列七、数列求和专题1.公式法等差数列求和公式：Sn n(a1 an) na nd.22nai (q 1)等比数列求和公式：Sna1(1 qn) a1anq-1 q 1 q常用求和公式：11 2 3 L n -n(n 1)22 _2_221122232L n2-n(n1)(2n 1)613 23 33 L n3 1n(n 1)22记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17 , S315 ,求Sn并求a的最例1小值.解析：S3 a1 a2 a3 a1 (a1 d) (a1 2d) 3a13d 15把a17带入，解得d 2所以Sn nan(n 1)d7nn(n 1)小 2 c2 n 8n开口向上的

2、二次函数，对称轴为n 4故最小值为S4 16 8 416.答案：Sn n2 8n ,最小值为16例2 等比数列an中，a1 1 , a5 4a3, Sn为前n项和，若Sm 63,求m.解析：设公比为q,由a5 4a3知强 q2 4,得q 2 a3当 q 2 时，Sn a1(1 qn) Ln 2n 11 q 1 2令 Sm 63 2m 1 ,解得 m 6Sm综上2时,636.Sna。qn) 1 ( 2)n(2)m 人，,m无整数解，舍去31 ( 2)n3答案：m 62 .分组求和法如果一个数列的通项可以写成Cn an bn的形式，而数列an , bn是等差或等比数列或可转化为能够求和的数列，可采

3、用分组求和法.一 一一111例3已知数列cn :1-,2-,3-, L，试求cn的前n项和.248解析：设g的前n项和为Sn,Q Cnn12n1Sn1 2(n(12 3n)12“)1 L8n(1 n)212n 11 1222答案：Snn n212n .212n例4 求和：Sn1 3 5 7 9 11 L 97 99.解析：Sn ( 1 5 9L 97) (3 7 11 L 99)25(1 97)225(3 99)220 | 13答案：503 .错位相减法an是等差数列，bn是等比数列，求数列an bn的前n项和时，采用错位相减法求解,在等式的两边同乘以bn的公比，然后错位一项与 an bn的同

4、次项对应相减，转化为特殊数列求和问题.需注意bn共比为参数字母时， 要对公比是否为1做讨论.它是等比数列前n项和公式的推导方法.例5 数列an的通项为an n 2n,求an的前n项和Sn.解析：Sn2223(n 1) 2nn 2n ,等式两边同乘以2得2Sn2223424 L (n1) 2n n 2n 1,两式相减得Sn22232nSn2n 11 22n1 (1n) 2n 1 2 ,故Sn(n 1)2n 1答案：Sn(n 1)2n 1例 6 求和 Sn 1 2x 3x2 L nxn (1 X)Sn解析：Sn2x3x2L (n1)xn2 n 1nx,等式两边同时乘以X得xSn2x23x3 L(n

5、n 11)xnnx,两式相减得nnx答案：Sn1时,1时,n(nSn(11)2nS1 x2(1 x)2n(n21)X)Sn(x 1)n nx1 x(x 1)nxn,则 S,n1 x(1 x)2nnx1 x例7求数列二3的前n项和Sn.i 2 n 1 jn解析：Sn324354L n J ' 2，等式两边同乘以1得2 2232 42 n2 n 121c345,n 1n 22 Sn2 2 -25L2“2n 2，两式相减行13111n 2 口r2 sn 2 23 -24 L2T -n-，即111 S 3232n 2241112n 22n 2Sn答案：Snn 42n 1n 42n14.裂项相消

6、法将数列每一项拆成两项或若干项,使得相加后有一些项可以相互抵消，从而求得其和.般未被消去的项有前后对称的特点.常见裂项方法:£)(2n 1)(2n 1) 2(2n 1-n(n 1)(n2)1n.Ck k( n kn)二1瓯(1 -) nloga(n 1) loga n注：(1)裂项常见公式没有必要死记硬背，例如对n(n 5)裂项，可直接把分式从中间截断，变为1 nn n 5 n(n 5),与原式比较分母变为 5倍，则把裂项1、，一 1一， .一 r,前面乘以,就变为与原式相等的裂项，即n 551n(n 5)(2)分母为根式相加形式的裂项，本质就是对分母有理化，即晨 n k 、 n).

7、n n k ( . n k , n)( n k . n)(Vnk /n). k(3)对数形式的裂项，考察的是对数的基本计算，利用对数性质巧妙构造相消项，如10ga(1% l0ga()10ga(n D logan .等差数列an中，a7 4, a19 2a9.(1)求4的通项公式;1- 一一_(2)设bn ,求数列bn的刖n项和Sn .解析：(1)a7 a1 6d 4a1 18d 2a9ai,解得2(a 8d)dan(2)bn12112( nan n(n 1) n n 1Snb1b2Lbn2(1111112 2 3 3 412(1)n 12n.n 12nn 1答案：(1)an (2) Sn1an

8、 ,求an的刖n项和Sn.n(n 2)解析：an1n(n 2)2)答案:Sna1a2a3an2(12(11312121 n131 nn12)Sn3114 2(n 1) 2(n 2)5 .倒序相加法一个数列中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，那么把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和， 这一求和的方法称为倒序相加法.它是等差数列前n项和公式的推导方法.例 10 求 sin21sin2 2sin23 L sin289 .解析：设 S sin21sin22sin2 3 Lsin2 89 倒序得 S sin289sin288 sin287L sin212222cos 1 co

9、s 2 cos 3 L cos 89 十得 2s (sin21cos21 ) (sin2 2cos2 2 ) L (sin289 cos289 )即2S 1 1 L 1 89,ST答案：89 、， 一 .4、r、“，一, 一 一 .n已知函数f(x)，设数列an满足anf ()，求数列的前1000项的例 11421001和.,故而f (x) 4x 2f(1 x) 14x 41 x斛析：由 f(x)知 f(1 x)-4x 241 x令 S f () f() f() L f (1000)1001100110011001倒序得S+得2s1000f( )10011 f() 1001999f( )100

10、1一 1000998f( )10012f(1001) f (1001)1_f ()10019991000f( ) L f()10011001f(1001)即 2S 1 1 L 1 1000, S 500.答案：5006 .并项求和法一个数列的前 n项和中，若项与项之间能两两结合求解，则称为并项求和.形如 an ( 1)nf(n)的数列，可用此法.例 12 求和：Sn1 3 5 7 L ( 1)n(2n 1). H I H 一F IB -，* VI GT l-W BS I -0 I ( h hB 一 ， VW F» n - I F解析：当n为奇数时Sn ( 1 3) ( 5 7) (

11、9 11) L ( 2n 1)2 n21 ( 2n 1) n当n为偶数时Sn ( 1 3) ( 5 7) ( 9 11) L ( 2n 3) (2n 1)答案：Snn (n为奇数) n (n为偶数)(2)由d 0可知d 1 ,ann 11当 n 11 时，an 0,当 n 12时，an 0因此，当n 11时1 2,21 |&|a2 |a3| L |an | &a2a3Lann+n22当n 12时|aj |a21 |a31 L| an | &a2 Lanaa13Lan=Si (SnSil)2§iSn1 2-n221 n21n2+21 n (n 11)答案:| a

12、1 | |a21L 昌|221 o 21n2 n 110 (n 12)22练习题:1 一-111_求数列的前n项和Sn： 1 1, - 4,： 7,L，f 3n 2,L aaa2求数列n(n 1)(2n 1)的前n项和Sn.3-23-n1求和：s 1 3x 5x 7x L (2n 1)x (x 0)4求数列2,4T,63,L ,2n的前n项和. 2 7 22 > 23 ,7 2n5一. 111. 一求数列二，J -L ,广11_的前n项和.1 J2 并有/ Jn 16在数列an中，an L , bn =一,求bn的前n项和.n 1 n 1n 1anan 17求证：C： 3C1 5Cn(2

13、n 1)Cn (n 1)2n.8已知函数 f(x) 2T,求 f () f*) L f*) f*)的值.9S ir d n 1,、 、，一一一数列an中，an ( 1) (4n 3),求刖n项和Sn .102已知函数 f (n) n cos(n )，且 anf (n) f (n 1),求 a1 a? Laoo 的值.11数列斗满足an 4n 25 ,前n项和为6 ,求|4|的前n项和12 一一3 2205. 一 一一已知数列an的刖n项和Sn- n n ,求| an |的刖n项和Tn .22答案解析:类型：分组求和法解析：sn(1 1)(1a12 L a1时,1时,综上:SnSnSn、，14)

14、( 2a1n 1)an(3nn 211na1 1 an(3n 1)21 na aa 1(a类型：分组求和法 +公式法7)(11)L (工an(3n 1)n(3n 1)21)n(3n 1)(a3n3n1)2)2)n(3n 1)2解析：an n (n 1) (2n 1) 2n3&a1a2L an2(13 23 Ln3)3(12n2(n 1)2n(n 1)(2nSn2n(n 1)2(n 2)类型：错位相减法解析：当x 1时，sn当x 1时，Sn两边同乘x得xSn-得(1 x)Sn即(1 x)Sn 123n n22 L1) n(n23x25x2x1 xn 2x2nn2) (1 2 L n)1)

15、(2nn1)x23x22x(2nn2x1 x (2n 1)x_ n3)x1(2n一n (2n 1)xn1)xa (2n 1)xn1 (2n 1)xn (1 x)Sn2(1 x)2n2 (x 1)综上：Sn(2n 1)xn1 (2n 1)xn (1 x) 12(x 1)(1 x)类型：错位相减法解析:Sn1 Sn2-得ISn2即1 Sn24 2222226234232222312nSn42n 12n 1n 22n 12n 2n2(n 1) 2n2n22n2n12n2n1类型：裂项相消法. .一1 -斛析：an .jn 1 nn . n 1则 Sn 4 a2 a3 Lan(2.1) ( 3 .(、

16、43) L ( n 1 n)类型：裂项相消法解析：anbn1 一(1 n 12n)anan 11n 18(1 nn(n 1) n2211)b b2b3Lbn1n 1)1 18(12 2类型：倒序相加法解析：s C0 3C1 5C：(2n 1)C：倒序得 S (2n 1)Cn (2n 1)Cn 13C： 1q cm cnm,可得s (2n 1)C0 (2n 1)C：3C； 1 C：+得 2Sn (2n 2)(Cn Cnn 1 nnCnCn) 2(n 1) 2Sn (n 1) 2n类型：倒序相加法解析：由f（x）2x2xx)221 x222 2x . 2 2x则 f (x)f(1x)2x2x1f(

17、-)102f(-)10倒序得Sn+彳导2Snf(190)1f(180)f() f() 101021f(10)上9 f(10)f(一) “一)io io91L f(d ) f(d )1010即 2Sn 1 1类型：并项求和法解析：当n为偶数时，Sn(1 5)(9 13) L (4n 7) (4n 3)n ( 4) 2n 2当n为偶数时，Sn(1 5)(9 13) L 4n 34) 4n3 2n综上：Sn2n （n为偶数）2n 1（n为奇数）类型：并项求和法解析：f(n) n* 2cos(n )n2 （n为奇数） 口 2（1）nn2n2 （n为偶数）anf(n)10f (n 1) ( 1)nn2

18、( 1)n 1(n 1)2n 22n 1(1) n (n 1) ( 1) (2n 1)a a2 Lan(3 5) (7 9) L (100 201)50 ( 2)100类型：含有绝对值的求和 解析：令an 0 ,得n 6.25即当n 7时，an 0；当n 6时，an 0(1)当 n 6时，Tn |a| 1L |(a a2 Lan)一一 2 一Sn2n23n11当n 7时，Tn 0|包| L a|(a1 a2 Lae)a7a8 LSn 2S6一2- 一2n 23n 2 ( 66)2n2n 2 时，an Sn Sn 13n 104 23n 1322n2 23n (n 6)综上：Tn2n223n132(n 7)n 1也适合上式，故 an 3n 104令 an3n 104 0,解得 n 34.7即当n 34时，an;当 n 35 时，an(1)当 n34时,Tn a1 1a2 L|an205 n2an3 2Snn235时,Tn同包1|ana2a34)(a35a36L an