河南省郑州市2013届高三数学第一次预测(模拟)考试试题文新人教A版

1、河南省郑州市 2013 年高中毕业年级第一次质量预测文科数学第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、若集合 A 0,1,2, x ， B1, x2 , AB A ，则满足条件的实数x 的个数有A个B2个C3个D4 个2、若复数 z2i ，则 z 10等于zA. 2 i B. 2 i C. 4 2i D. 6 3i3、设数列 an 的前 n 项和 Sn 2n 1，则 S4 的值为a3A、 15B、 15C、 7D、 742424、执行如图所示的程序框图，若输入x2 ，则输出 y 的值为A 5B.9C.14D.

2、415、直线 ykx1与曲线 yx3axb 相切于点A(1,3) ，则 2ab 的值等于A. 2B1CD26、图中阴影部分的面积 S 是 h 的函数 ( 0 h H ) ，则该函数的大致图象是7、一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率，他们向一个边长为1 米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5120 颗，正方形内节圆区域有豆4009 颗，则他们所没得圆周率为（保留两位有效数字）A、 3.13B、3.14C、 3.15D、 3.168. 已知双曲线 y 2x 21( a0, b 0)的离心率为3 ，则双曲线的渐近线方程为a2b2A. y2 xB.y2xC.y2x D. y1

3、x229、莱因德纸草书 （ Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样1的题目： 把 100 个面包分5 份给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小的1 份为10、过抛物线y2 8x 的焦点 F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A， B 两点，则弦AB的长为A、4B、8C、12D、 1611. 在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB, AC , AD 两两垂直，ABC , ACD , ADB 的面积分别为 23,6 ，则该三棱锥外接球的表面积为2, 22A. 2B.6C.46D. 2412. 设函数 f ( x)

4、sin xcos x ，把 f ( x) 的图象按向量a (m,0)(m 0) 平移后的图象恰好为函数 yf ' (x) 的图象，则 m 的最小值为A.B.C.D.24323第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13 题一第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22 -24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 .13.已知 a (1,2), b(x,6) , 且 a / b ，则 ab =_2xy214.x2y2z x y 的最大值为满足约束条件0的目标函数xy0_.15. 个几何体的三视图如图所示 ( 单位 : m ) 则

5、该几何体 的体积为_ m3 .16 对实数 a 和 b，定义运算2设函数 f ( x)(x22x) （ x 3）（ xR），若函数 y f （ x） k 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. ( 本小题满分 12 分）已知 a, b, c 分别为ABC 三个内角 A, B,C 的对边， 2b cosc2ac.(I)求B;(II)若 b2，ABC 的面积为3 ，试判断 ABC的形状 .18. ( 本小题满分 12 分）某高校组织自主招生考试, 共有 2000 名优秀学生参加笔试，成绩均介于

6、 195 分到 275 分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组: 第一组195,205 , 第二组 205,215) ，第八组 265,275 . 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分(含 260分）以上的同学进入面试 .(I ) 估计所有参加笔试的2000名学生中，参加面试的学生人数；(II) 面试时，每位考生抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格； 若三个 问题均回答正确且笔试成绩在270 分以上， 则获 A类资格 ; 其它情况下获B 类资格 . 现已知某中学有三人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270

7、分以上， 在回答两个面试问题时， 两人对每一个问题正确回答的概率均为1 ，求恰有一位同学获得该高校B2类资格的概率。19. ( 本小题满分 12 分）如图，ABC 是等腰直角三角形，ACB90 , AC2a,D , E 分别为 AC , AB 的中点，3沿DE将ADE 折起，得到如图所示的四棱锥A BCDE .(I) 在棱 A B上找一点 F ，使 EF/平面 ACD(II )求四棱锥ABCDF 体积的最大值 .20.( 本小题满分12 分）已知椭圆x2y2的左、右焦点分别为 F1,F2点 A 在椭圆 C 上，C : a2b21(a b0)AF1 F1F2 =0， 3 | AF2 | .| F

8、1A |5 AF2 F1 A, | F1 F2 | 2 ，过点 F2 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P, Q 两点 .(I )求椭圆 C的方程；( I I ) 线段 OF2 上是否存在点 M (m,0) , 使得 QP MPPQ MQ ?若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由 .21. ( 本小题满分 12 分）已知函数 f ( x)ln(1 x) 的导函数是y '1 ，函数f(x) ln(1x)ax (a)x1 xR1（ I ）当 a 1， 1 x 1 时，求函数 f （ x）的最大值；(II) 求函数 f ( x) 的单调区间。22. ( 本小题满分 10 分 ) 选修

9、 4 1 ：几何证明选讲如图 : AB 是O 的直径， G 是 AB 延长线上的一点，GCD 是O 的割线，过点 G 作 AG 的垂线，交直线AC 于点 F ，交直线AD 于点 F ，过点 G 作O 的切线，切点为 H .求证 ：（I) C,.D, E, F 四点共圆 ；(II)若GH6,GE4,求EF 的长.23.( 本小题满分10 分）选修4 一 4: 坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为(为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直 线的方程为sin()22.4( I ) 求曲线 C 在极坐

10、标系中的方程；(II) 求直线被曲线 C 截得的弦长 .24. ( 本小题满分 10 分 ) 选修 4-5: 不等式选讲已知函数f (x)| 2x1| x2a | .( I ) 当 a1 时，求 f ( x)3 的解集；( I I ) 当 x1,2 时， f (x)3 恒成立，求实数a 的取值范围 .5河南郑州2013 年高中毕业年级第一次质量预测文科数学参考答案一、选择题CCADCBAAADDB二、填空题13.3 5；14.4 ；15.6；16、1,03三、解答题17解：由正弦定理得 2sin B cosC2sin A sin C ， 2 分在ABC 中 sin Asin( BC )sin

11、B cosCsin C cos B ，sin C (2cos B1)0 ，又0C,sin C0 ，cos B10B,B 6 分，注意到23S ABC1 ac sin B3,ac4 ，8 分2由余弦定理得 b2a2c22ac cosBa2c2ac(ac)23ac ，( ac) 2b23ac16 ，a c 4 ， 10 分又ac 4 ，所以 a c 2 ，故ABC 是等边三角形 12 分18解：设第 i (i 1,2, ,8) 组的频率为f i ，则由频率分布直方图知f71 (0.004 0.01 0.01 0.020.020.0160.008) 10=0.12.所以成绩在 260 分以上的同学的

12、概率f 7f80.14 ，p2故这 2000 名同学中，取得面试资格的约为280 人 6 分不妨设两位同学为 M , N ，且 M 的成绩在270 分以上，则对于 M ，答题的可能有 M11,M10,M01,M00 ，对于 N ，答题的可能有N11, N10 , N01, N00 ，6其中角标中的1 表示正确， 0 表示错误， 如 N10 表示 N 同学第一题正确，第二题错误，将两位同学的答题情况列表如下：M 11M 10M 01M 00N11ABBBBBCBN10ABBBBBCBN01ABBBBBCBN00ACBCBCCC表中 AB表示 M 获 A类资格， N 获B类资格； BC表示 M 获

13、B类资格， N 没有获得资格所以恰有一位同学获该高校B 类资格的概率为81 12 分16219解：F 为棱 A B 的中点证明如下：取 A C 的中点 G ，连结 DG , EF ,GF ，则由中位线定理得DE / BC,DE1 BC ，且 GF / BC ,GF1 BC.22所以 DE / GF ,DEGF ，从而四边形DEFG 是平行四边形，EF / DG.又 EF平面 ACD，DG平面 ACD，故 F 为棱 A B的中点时， EF / /平面 A CD 6 分在平面 ACD 内作 AHCD于点H ，DEA DDECDDE平面ACDAH DE，A DCDD又 DECDD， AH底面 BCD

14、E ，即 A H 就是四棱锥 ABCDE 的高由 A HAD 知，点 H 和 D 重合时，四棱锥 ABCDE 的体积取最大值 10分此时 V四棱锥 ABCDE1 S梯形 BCDE AD11 a2a a a1 a3 ,3322故四棱锥 ABCDE 体积的最大值为1 a3. 12 分2720解： 由题意AF1F290 ,cosF1 AF23 ，355注意到 | F1 F2|2，所以 |AF1|, 2a | AF1|AF2|4 ，,| AF2 |22所以 a2, c1,b2a2c23 ，即所求椭圆方程为x2y24 分413存在这样的点M 符合题意5 分设线段 PQ 的中点为N， P( x1 , y1

15、 ), Q( x2 , y2 ), N ( x0 , y0 ) ，直线PQ 的斜率为k (k0) ，注意到 F2 (1,0) ，则直线 PQ 的方程为 yk( x1) ，x2y21, 消 y 得： (4k 23)x28k2 x4k 2 120由43，y k( x1),所以 x1x28k2，故 x0x1 x24k2，4k 224k233又点 N 在直线 PQ 上，所以 N (4k 2,3k) ，8 分4k234k 23由QP MPPQ MQ 可得 PQ (MQMP )2PQ MN0 ，03k1即 PQMN，所以 kMN4k23，10 分2km4k4k 23整理得 mk 21(0,1) ，4k23

16、434k 2所以在线段 OF2上存在点 M ( m,0) 符合题意，其中 m (0, 1) 12 分4x21解：当a1时，f ( x)ln(1x)，1xf (x)112x( x3)2， 1 分1x (1x)(1x)(1 x)当 1x 0 时， f ( x)0 ，当 0 x1 时， f ( x)0 ，8所以函数f ( x) 在 ( 1,0) 上为增函数，在(0,1) 上为减函数，3 分即(xf(0)0，所以当且仅当 x0f ( x)的最大值为 0 fmax时，函数)5 分由题意，函数的定义域为( 1,1)(1,) ， f( x)1a2， 61x(1x)分当 a0时，注意到10,a0 ，所以 f(

17、 x)0，xx)21(1即函数 f ( x) 的增区间为 (1,1), (1,) ，无减区间； 8分当 a0时， f ( x)1ax2(2a) x1a(1x)2(1x)(1x) 2，1 x由f( x)0，得x2(2)1a0，a x此方程的两根 x1a2a28a , x2a2a28a，22其中1x11x2 ，注意到 (1 x)(1x) 20 ，所以 f ( x) 01 x x1或xx2 ，f ( x) 0x1x 1或1x x2 ，即函数 f (x) 的增区间为 (1, x1 ),( x2 ,) ，减区间为 ( x1 ,1), (1, x2 ) ，11 分综上，当 a0 时，函数 f ( x) 的

18、增区间为 (1,1), (1,) ，无减区间；当 a0 时 ， 函 数 f (x)的增区间为 (1, x1 ),( x2 ,)，减区间为( x1 ,1), (1, x2 ) ，其中 x1a 2a28a , x2a2a28a 12 分2222 证明：连接DB ，AB 是 O 的直径，AADB900 ，在 RtABD与 RtAFG中，ABDAFE ，又ABDACDODBHC9FEGACDAFEC, D, E, F 四点共圆 5 分、F、E四点共圆GE GFGC GDCDGH 2GE GFGH切于点HGH2GC GDO又因为 GH6, GE4 ，所以 GF9, EFGFGE 5 10 分23解：曲线 C 的普通方程为 (x 2)2y24 ，即 x2y24x0 ，化为极坐标方程是4cos 5 分直线的直角坐标方程为xy40 ，由 x2xy24x0, 得直线与曲