《向量数量积的运算律》教案新人教B版

1、数学：2.3.2向量数量积的运算律教案（新人教B版必修4）数学学科必修4模块第二单元教学设计方案 第七学时第八学时:第一方案 课题：向量数量积的定义及运算率教学目标1、知识与技能 理解平面向量数量积物理意义及其几何意义。 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。掌握平面向量数量积的性质、运算律和几何意义。2、 过程与方法通过物理中功的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此 基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想 方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力3、 情感态度价值观 利用向量具有丰富的现实背景和物理背景使学生体会数学与 现实生活以及其他学科的联系，从中感受数学的应用价值。

2、 教学重点 本节教学的重点是平面向量数量积的定义及性质和向量数量 积的运算律教学难点 对平面向量数量积的定义、性质、运算律的理解和应用教学关键 利用物理背景启发学生探究向量数量积的定义，运用几何直观引导学生理解定义实质，揭示定义的几何意义教学方法 将数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程有机结合起来，使用讲授式教学与活动式教学相结合，接受式学习和 发现式学习相结合，不断引导学生的概括活动实现的。教学环节教学内容师生互动 设计意图时间反思引言 教师介绍数学发展历程。注意情感教育， 教师引言：对问题的深入研究来源于人类对知识的永不满足， 正如过去学过的实数，人们不仅认识实数的分类，还研究实数的

3、运算，并且进一步想弄清楚运算有无规律可循，当然，幸运的是，我们有了交换率、结合率、分配率等等，当向 量进入我们的视野时，我们与生俱来的好奇心又起作用，向量是数吗？能算吗？调动学生参与课堂学习活动的兴趣和积极性1复习提问 承前启后回顾已学习的向量运算 由前面的学习，我们已经知道，向量的运算要比实数的运算 复杂的多，不仅有大小还要考虑方向，已经定义了向量的什 么运算？这些运算的结果是什么？以加法为例说明我们是按 照怎样的顺序研究这种运算的？期望学生回答：物理模型f概念f性质f运算律f应用还可能定义什么运算？期望学生回答：向量相乘复习向量有关运算2引入新课以物理背景引入 实际上， 在物理课上， 我们

4、已经多多少少知道了一些：如图 所示，一物体在力F的作用下产生位移S， （1）力F所做的功W=。（2） 请同学们分析这个公式的特点：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是量，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其 客观背景和现实意义的；问题1：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？期望学生思考后回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 教师要让学生明白：本节课所要研究的数量积与向量的加法、 减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相 比，数量积运算又有其特殊性，那就是其

5、结果发生了本质的 变化，运算结果是实数。学生事实上已经得到数量积概念的 文字表述了，在此基础上，自然引进数量积的定义 回答后归纳夹角特征：两个向量同起点，若不同起点平移至 同起点。回答问题1后定义夹角：P107设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，概念。4定义给出 数量积的定义定义:已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量丨|COS叫做与的数量积（或内积），记作：，即：=|cos在此可以强调请同学们用一句话来概括功的数学本质：显然功是力与位 移的数量积学生应用公式完成例1已知：|a|=5，|b|=4，a,b=1200,求a?b注意：=0 - =0并非实数运算中的乘号，既不能写成也不能省略

6、在强调记法和规定后 ,为了让学生进一步认识这一概念,提出问题问题2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？ 影响数量积大小因素有哪些？完成下表：角的范围0w90 =90 0w180的符号不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质 的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因 素，补充通过前后呼应达到强化理解、加深认识的目的。 通过此环节为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺 垫。对角的范围做好分类讨论的准备5数量积的性质 探究数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1?e?a = a?e =|a|cosa，e2?a?b a?b = 0且a?b =

7、0 a?b3? a?a = |a|2，即4?cosa，b=5?|a?b|w|a|b|学生分组探究，两个向量的数量积的性质， 教师指导探究活动，体现特殊化的思想， 数形结合思想，基本运算能力培养问题3：简要叙述性质的特征和功能1?单位向量的特征？2?为什么a?b = 0可以用于判断a、b垂直？3?a?a = |a|2，即的主要功能是什么？4?如何求夹角？练习：P109/练习A：1（3）2（1） 培养学生自主探究，引导学生动手动脑解决问题5数量积的 几何意义向量在轴上的正射影定义：已知向量和轴l，作=，过点O、A分别作轴l的垂线，垂足 分别为01 A1，则向量叫做向量在轴I上的正射影（简称射 影）

8、，该射影在轴l上的坐标称作向量在轴l上的数量或在 轴I的方向上的数量 由此我们知道了向量的数量积的代数定义，总感到意犹未尽， 有没有几何特征呢？ 由上述定义我们已经得知： 两个向量的数量积是一个实数，可以是正数、负数、零，其几何含义见P108/图2-50=在轴I上的正射影的坐标记作：aI，向量的方向与轴I的正 向所成的角为B,则由三角函数余弦定义可知：al=cos65应用体会公式，应用练习P 108/例1：了解：向量在轴l上的正射影（向量）的坐标在 轴l上的数量2向量数量积的运算律 向量数量积的运算律1、 交换律a?b = b? a2、 分配律 （a+b）?c =a?c +b?c3、入（a?b

9、）=（入a）?b=a（入?b）从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数 量乘法那样满足某些运算律，从向量数量积的定义和几何意 义出发，回答下列问题，课下分组探究运算律，问题3：向量问题解决思路 问题4：单位向量的功能 创设情境，引发思考3应用举例 例3、求证：（+）2=2+.+2笑（+）?（-）=2_2例4、求证：菱形的两条对角线互相垂直 （用向量解决几何问题）教师引导：考虑运用向量的数量积的性质和运算律，板书 例3、求证：（+）2=2+.+2学生证明（提示：结论可直接应用）例4（线形运算已涉及）要求学生画出图形，已知条件转化 为符号语言，并在图像上找到对应哪条有向线段？步骤：用向

10、量表示几何关系进行向量运算还原为几何结论教师通过板书证明：针对学生比较陌生的内容，说明每部依 据7随堂练习测验1、P109/练习A:1(1)2、P109/练习B: 1(2)3、P111/练习A:1题号内容难度成绩自评总评1236归纳小结要点:1、体会数学知识多来源于实际需要2、区分几种运算，数量积结果是实数，联系向量与实数3、运算律不同于实数运算，不能套用，课后思考:结合律 适用吗？教师引导学生回顾小结向量数量积的概念、几何意义及其运算律， 总结用向量解题可以分为三步: 用向量表示几何关系进行向量运算还原为几何结论 帮助学生总结知识方法，便于学生系统掌握3布置作业P109/练习A：1(4)2P109/练习B: 1，2P111/练习A：2，3P111/练习B: 1，2学生课后独立完成分组探究(自选):课后思考1、证明两个向量的数量积的性质？课后思考2、分组探究运算律并进行证明？课后思考3、结合律适用吗？ 进一步巩固本节所学知识、方法1教学资源建议1、 多媒体演示