不定方程方法

1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(20-38):不定方程方法(560) 1409 不定方程方法 母题(20-38):(重复元素的组合)从n个不同元素中(每个元素有尽可能的多),任意可重复的选取m(m1)个元素的不同选法为 .解析:不妨设n个不同元素分别为a1,a2,an,取出的m个元素中,元素a1,a2,an的个数分别为m1,m2,mm,则不同选法数=不定方程m1+m2+mn=m的非负整数解的个数= (m1+1)+(m2+1)+(mn+1)=m+n的正整数解的个数=Cn+m-1m;点评:不定方程x1+x

2、2+xn=m(n,mZ,n2)正整数解的个数=Cm-1n-1和非负整数解的个数=Cm+n-1n-1与计数问题有紧密联系:利用计数原理可解决该问题;利用该结论可解决一类计数问题,我们称这种方法为不定方程方法. 子题(1):(2011年全国高中数学联赛江西初赛试题)2011是这样的一个四位数,它的各位数字之和为4;像这样各位数字之和为4的四位数总共有 个.解析:由四位数(x1x2x3x4)的个数=不定方程x1+x2+x3+x4=4满足条件x11,x2,x3,x40的整数解的个数;即x1+(x2+1)+(x3+1)+(x4+1)=7的正整解个数有C63=20个共有20个这样的四位数. 注:各位数字之

3、和等于m的n位数的个数问题,可通过设各位数字分别为x1,x2,xn(顺次为最高位,次高位,个位上的数字)转化为不定方程x1+x2+xn=m(n,mN+,n2)的整数解个数问题,有两种情况:当m10时,n位数的个数=不定方程满足x11的整数解个数;当m>10时,n位数的个数=不定方程满足x11的整数解个数除去xi>9的整数解个数. 子题(2):(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)设集合S=1,2,15,A=a1,a2,a3是S的子集,且(a1,a2,a3)满足:1a1<a2<a315,a3-a26,那么满足条件的子集的个数为 .解析:设A=x|xS,x<a1,

4、B=x|xS,a1<x<a2,C=x|xS,a2<x<a3,D=x|xS,a3<x,|A|=x1,|B|=x2,|C|=x3,|D|=x4,则x1+x2+x3+x4=15-3,x1,x2,x3,x40,x35(x1+1)+(x2+1)+x3+(x4+1)=15.当x3=0时,(x1+1)+(x2+1)+(x4+1)=15的正整数解个数=C142;当x3=1时,(x1+1)+(x2+1)+(x4+1)=14的正整数解个数=C132;当x3=2时,(x1+1)+(x2+1)+(x4+1)=13的正整数解个数=C122;当x3=3时,(x1+1)+(x2+1)+(x4+

5、1)=12的正整数解个数=C112;当x3=4时,(x1+1)+(x2+1)+(x4+1)=11的正整数解个数=C102;当x3=5时,(x1+1)+(x2+1)+(x4+1)=10的正整数解个数=C92;综上,共有C142+C132+C122+C112+C102+C92=371. 注:从一列数中取出若干相间数等问题是不定方程应用的典例:根据题意,对元素进行分类,设各类中元素个数分别为x1,x2,xn,则x1+x2+xn=总体中的元素个数,从而把问题转化为不定方程问题;当问题仅与元素个数有关时,通常可用不定方程来求解,如名额分配、分球入盒等问题. 子题(3):(1990年全国高中数学联赛试题)

6、8个女孩和25个男孩围成一圈,任意两个女孩之间至少站两个男孩,那么,共有 种不同的排列方法(只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的).解析:分别以8个女孩为组长,将25个男孩分入该8个组,各组内男孩的个数分别记为x1,x2,x8,则:x1+x2+xn=25(xi2,i=1,2,8),令yi=xi-1,则:y1+y2+y8=17(yi1,i=1,2,8),其正整数解的个数为C17-18-1=C167,即25个男孩分成8个组,每组至少2人的分组数为C167;8个组(每组均排成以女孩为头)圆排列数为(8-1)！=7！;又25个男孩站入的方法数为25！.所以,共有C67×7！×2

7、5！种不同的排列方法. 注:本题的实质是分两步完成:一是分组(把25个男孩分成8个组);二是分配(把8个小组分配到圆周上);分组是解答本题的关键;对元素进行分组是把问题转化为不定方程问题又一条途径. 子题系列:1.(2002年全国高中数学联赛试题)己知两个实数集合A=a1,a2,a100与B=b1,b2,b50,若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象,且f(a1)f(a2)f(a100),则这样的映射共有( ) (A)C10050 (B)C9950 (C)C10049 (D)C99492.(2011年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)各位数字之和等于11的四位数的个数是 .3.(2012年山

8、东高中数学夏令营数学试题)如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”,将所有吉祥数从 1410 母题(20-38):不定方程方法(560) 小到大排成一列a1,a2,an.若an=2012,则n= .4.(2005年全国高中数学联赛试题)如果自然数a的各位数字之和等于7,那么称a为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1,a2,a3,若an=2005,则a5n= .5.(1989年全国高中数学联赛试题)如果从数1,2,3,14中,按由小到大的顺序取出a1,a2,a3,使同时满足a2-a13与a3-a23,那么,所有符合上述要求的不同取法有 种.6.(2012年全国高中数学联

9、赛湖北初赛试题)设集合S=1,2,3,12,A=a1,a2,a3是S的子集,且满足a1<a2<a3,a3-a25,那么满足条件的子集A的个数为 .7.(1996年日本数学奥林匹克预赛试题)白子5个、黑子1O个排成一横行,要求每个白子的右邻必须是黑子,共有 种排法.8.(2008年全国高中数学联赛试题)将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种.9.(1988年全国高中数学联赛试题)甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获胜

10、,形成一种比赛过程,那么所有可能出现的比赛过程的种数为_.10.(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)多项式(1+x+x2+x100)3的展开式在合并同类项后,x150的系数为 (用数字作答). 子题详解:1.解:不妨设b1<b2<<b50,因为B中每个元素都有原像,设b1原像的个数为x1;b2原像的个数为x2;b50原像的个数为x50,则x1+x2+x50=100;于是,问题转化为求不定方程的正整数解的组数,共有C9949.故选(D).2.解:由四位数x1x2x3x4的个数=不定方程x1+x2+x3+x4=11满足条件x11,9x1,x2,x3,x40的整数解的个数;不

11、定方程x1+x2+x3+x4=11满足条件x11的整数解的个数=不定方程x1+(x2+1)+(x3+1)+(x4+1)=14的正整解个数C14-14-1=C133=286;x1,x2,x3,x4中有1个=11,有4个;x1,x2,x3,x4中有1个=10,只能当x1=10x2+x3+x4=1,有3个四位数的个数=279.3.解:方程x1+x2+xk=5满足的x11,xi0(i2)的整数解个数=方程(x1-1)+x2+xk=4的整数解个数=Ck+4-1k-1=Ck+3k-1=Ck+34k位“吉祥数”的个数为P(k)=Ck+34P(1)=1,P(2)=7,P(3)=28;因2003是形如的数中最小

12、的一个“吉祥数”2012是形如的数第二个“吉祥数”n=1+7+28+2=38.4.解:方程x1+x2+xk=7满足的x11,xi0(i2)的整数解个数=方程(x1-1)+x2+xk=6的整数解个数=Ck+6-2k-1=Ck+5k-1=Ck+56k位“吉祥数”的个数为P(k)=Ck+56;因2005是形如的数中最小的一个“吉祥数”,且P(1)=1,P(2)=7,P(3)=28;对于四位“吉祥数”,其个数为满足a+b+c=6的非负整数解个数=C6+3-16=282005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”,即a65=2005n=655n=325;又P(4)=84,P(5)=210P(1)+

13、P(2)+P(3)+P(4)+P(5)=330;从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是:70000,61000,60100,60010,60001,52000第325个“吉祥数”是52000,即a5n=5200.5.解:由a11,a2-a13,a3-a23,令a1=x1,a2-a1=x2,a3-a2=x3,14-a3=x4,则x1+x2+x3+x4=14,问题转化为不定方程在x11,x23,x33,x40下的整数解的组数;由x1+(x2-2)+(x3-2)+(x4+1)=11的正整数解的组数是C103=120不同取法有120种.6.解:设A=x|xS,x<a1,B=x|xS,a1<x

14、<a2,C=x|xS,a2<x<a3,D=x|xS,a3<x,|A|=x1,|B|=x2,|C|=x3,|D|=x4,则x1+x2+x3+x4=9,x1,x2,x3,x40,x34(x1+1)+(x2+1)+x3+(x4+1)=12.当x3=0时,(x1+1)+(x2+1)+(x4+1)=12,有C12-13-1=C112=55;当x3=1时,(x1+1)+(x2+1)+(x4+1)=11,有C11-13-1=C102=45;当x3=2时,(x1+1)+(x2+1)+(x4+1)=10,有C10-13-1=C92=36;当x3=3时,(x1+1)+(x2+1)+(x4+

15、1)=9,有C9-13-1=C82=28;当x3=4时,(x1+1)+(x2+1)+(x4+1)=8,有C8-13-1=C72=21;综上,共有185.7.解:设第i个白子与第i+1个白子之间有xi+1(i=1,2,3,4)个黑子,最左端有x1个黑子,最右端有x6个黑子,则x1+x2+x3+x4+x5+x6=10(x10,xi1,i=2,3,4,5,6),将方程转化为(x1+1)+x2+x3+x4+x5+x6=11的正整数解个数=C105=252共有252种排法.8.解:设分配给3个学校的名额数分别为x,y,z,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程x+y+z=24的正整数解的个数=253.x

16、,y,z均相等的正整数解的个数是1;x,y,z中有且仅有两个相等,不妨设y=z,则x+2y=24x=2kk+y=12,其正整数解的个数是11,除去解(8,8,8),正整数解的个数是=11-1“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有3×10+1=31种.综上知,满足条件的分配方法共有253-31222种.9.解:当甲队获胜时,设甲队中第i号队员淘汰乙队xi名队员,则x1+x2+x7=7,一种比赛过程与x1+x2+x7=7的非负整数解构成一一对应,非负整数解=C136.同理,当乙队获胜时,比赛过程种数=C136比赛过程的种数为=2 C136=3432.10.解:问题转化为求方程s+t+

17、r=150的不超过去100的自然数解的组数;方程的非负整数解的组数为C1522.不妨设s>100.将方程化为(s-101)+t+r=49,记k=s-101,则方程k+t+s=49的非负整数解的组数为C512.因此,x150的系数为C1522-C31C512=7651.1.(2005年全国高中数学联赛浙江初赛试题)在一次实战军事演习中,红方的一条直线防线上设有20个岗位.为了试验5种不同新式武器.打算安排5个岗位配备这些新式武器.要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器.且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器.相邻两个岗位不同时配备新式武器.问共有多少种配备新式武器的方案？解:设20个岗

18、位按先后排序为1,2,20,且设第k种新式武器设置的序号为ak(k=1,2,3,4,5).令x1=a1,x2=a2-a1,x3=a3-a2,x4=a4-a3,x5-a4,x6=20-a5,则有x1+x2+x3+x4+x5+x6=20,其中2xk5(k=1,2,3,4,5),1x64.作代换yk=xk-1(k=1,2,3,4,5),y6=x6,从而有y1+y2+y3+y4+y5+y6=15,其中1yk4(k=1,2,3,4,5,6).方法一： 设I为的正整数解的全体，为I中满足的解的全体。则上式成立的原因是，因为没有同时满足，的的正整数组。所以. - 15分方法二 ： 问题（*）的解数等于展开式中的系数。而，故只须求展开式中的系数。因此的系数为 6×1520×206×15 580。 - 15分因为5种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，所以配备新式武器的方案数等于。 - 20分1.(2002年全国高中数学联赛试题)在世界足球赛前，国教练为了考查这