【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第2单元 2.9 幂函数课件 理 新人教B版

1、 了解幂函数的概念了解幂函数的概念/结合函数结合函数 的图象，了的图象，了解它们的变化情况解它们的变化情况 2.9 2.9 幂函数幂函数 1幂函数的定义幂函数的定义 一般地，形如一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中的函数称为幂函数，其中x是自变量，是自变量，为常数为常数 提示：提示：yx2是幂函数是幂函数y2x不是幂函数不是幂函数，是指数函数是指数函数 二者本质的区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，二者本质的区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置而指数函数的自变量在指数位置 2幂函数的图象幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下，幂

2、函数在同一平面直角坐标系下，幂函数yx，yx2，yx3，y ，yx1的图的图象分别如右图象分别如右图 提示：提示：幂函数幂函数yx(R)随着随着的取值不同的取值不同，它们的定义域它们的定义域、性质和图象也性质和图象也不尽相同不尽相同但它们的图象均不经过第四象限但它们的图象均不经过第四象限，在其他象限的图象可由定义在其他象限的图象可由定义 域和奇偶性决定域和奇偶性决定3幂函数的性质幂函数的性质 函数函数 特征特征 性质性质yxyx2yx3y yx1定义域定义域RRR0，)x|xR且且x0值域值域R0，)R0，)y|yR且且y0奇偶性奇偶性奇奇偶偶奇奇非奇非偶非奇非偶奇奇单调性单调性增增x0，)时

3、，增时，增x(，0时，减时，减增增增增x(0，)时，减时，减x(，0)时，减时，减定点定点(0,0)，(1,1)(1,1)1设设 ，则使函数，则使函数yx的定义域为的定义域为R且为奇函数的所有且为奇函数的所有值值 为为() A1,3 B1,1 C1,3 D1,1,3 解析：解析：根据幂函数的定义和性质易得根据幂函数的定义和性质易得x1,3时，定义域为时，定义域为R且为奇函数且为奇函数 答案：答案：A2幂函数幂函数yx1及直线，及直线，yx，y1，x1将直角坐标系第一象限将直角坐标系第一象限 分成八个分成八个“卦限卦限”：，(如右图所示如右图所示)，那么幂函数那么幂函数y 的图象在第一象限中经过

4、的的图象在第一象限中经过的“卦限卦限”是是() A， B， C， D， 解析：解析：y 的图象在第一象限类似于的图象在第一象限类似于yx1的图象，在的图象，在(1，)上图象在上图象在 yx1图象的下方，在图象的下方，在(0,1)上图象在上图象在yx1图象的上方，故选图象的上方，故选D. 答案：答案：D3已知点已知点 在幂函数在幂函数f(x)的图象上，则的图象上，则f(x)的表达式是的表达式是() Af(x)x3 Bf(x)x3 Cf(x) Df(x) 解析：解析：设幂函数设幂函数f(x)x (R)，则，则 f(x)x3. 答案：答案：B4如图中曲线是幂函数如图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图

5、象已知在第一象限的图象已知n取取2， 四个值，四个值，则相应于曲线则相应于曲线C1，C2，C3，C4的的n值依次为值依次为()答案：答案：B5若函数若函数f(x) ，则，则f(f(f(0)_. 解析：解析：f(f(f(0)f(f(2)f(1)1. 答案：答案：1 函数函数 是所有幂函数的典型代表，结合上是所有幂函数的典型代表，结合上述函数的图象，根据幂函数的定义域、奇偶性、单调性等可推测出所有幂函述函数的图象，根据幂函数的定义域、奇偶性、单调性等可推测出所有幂函数的图象的位置和形状数的图象的位置和形状【例【例1】 找找出下列函数：出下列函数： 相对应的图象相对应的图象解答：解答：(1)y 定定

6、义域为义域为0，)，非奇非偶函数，在，非奇非偶函数，在0，)上为增函数，上为增函数，对应图对应图(A)；(2)y 定义域为定义域为R，奇函数，在，奇函数，在R上为增函数，对应图上为增函数，对应图(F)；(3)y 定义域为定义域为R，偶函数，在，偶函数，在0，)上为增函数，对应图上为增函数，对应图(E)；(4)yx2定义域为定义域为x|xR且且x0，偶函数，在，偶函数，在(0，)上为减函数，对应图上为减函数，对应图(C)；(5)yx3定义域为定义域为x|xR且且x0，奇函数，在，奇函数，在(0，)上为减函数，对应图上为减函数，对应图(D)；(6)y 定义域为定义域为(0，)，非奇非偶函数，在，非

7、奇非偶函数，在(0，)上为减函数，对应上为减函数，对应图图(B)综上：综上：(1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B).有关幂值的大小比较，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调有关幂值的大小比较，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较一般地，几种幂值的比较方法如下：性进行比较一般地，几种幂值的比较方法如下：幂的底数相同，指数不同型可以利用指数函数的单调性进行比较幂的底数相同，指数不同型可以利用指数函数的单调性进行比较幂的底数不同，指数相同型幂的底数不同，指数相同型 可以利用幂函数的单调性进行比较可以利用幂函数的单调性进行比较幂的底

8、数不同，指数不同型常运用媒介法，即找到一个中间值，通过比幂的底数不同，指数不同型常运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，确定两个幂值的大小较两个幂值与中间值的大小，确定两个幂值的大小常运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间的大小，确常运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间的大小，确实两个幂值的大小实两个幂值的大小. .【例【例2】 比比较下列各组值的大小：较下列各组值的大小：(3)0.20.5和和0.40.3.解答：解答：(1) 由于幂函数由于幂函数 在在(0，)上是减函上是减函数，所以数，所以 ,(2)由于由于 因此因此 (3)由于指数函数

9、由于指数函数y0.2x在在R上是减函数，所以上是减函数，所以0.20.50.20.3.又由于幂函数又由于幂函数yx0.3在在(0，)是递增函数，所以是递增函数，所以0.20.30.40.3，故有，故有0.20.50.40.3.变式变式2.指出函数指出函数f(x) 的单调区间，并比较的单调区间，并比较f()与与f 的大小的大小解答：解答： 其图象可由幂函数其图象可由幂函数yx2图象向左平移图象向左平移2个单位，再向上平移个单位，再向上平移1个单位得到，个单位得到， 该函数在该函数在(2，)上是减函数，在上是减函数，在(，2)上是增函数，且其图象关上是增函数，且其图象关 于直线于直线x2对称对称(

10、如图如图)幂函数的图象在解方程和不等式时有着重要作用幂函数的图象在解方程和不等式时有着重要作用【例【例3】点点( ，2)在幂函数在幂函数f(x)的图象上，点的图象上，点 在幂函数在幂函数g(x)的图象上，问的图象上，问当当 x为何值时，有为何值时，有f(x)g(x)，f(x)g(x)，f(x)g(x) 解答：解答：设设f(x)x，则由题意得，则由题意得2 ，2， 即即f(x)x2，再设，再设g(x)x，则由题意得，则由题意得 (2)， 2，即，即g(x)x2，在同一坐标系中作出，在同一坐标系中作出f(x)与与g(x)的图象，如图所的图象，如图所 示由图象可知：示由图象可知：当当x1或或x1时，

11、时，f(x)g(x)；当当x1时，时，f(x)g(x)；当当1x1且且x0时，时，f(x)g(x)变式变式3. 已知幂函数已知幂函数yx3m9 (mN*)的图象关于的图象关于y轴对称，且在轴对称，且在(0，)上函数值上函数值 随随x的增大而减小，求满足的增大而减小，求满足 的的a的范围的范围 解答：解答：函数在函数在(0，)上递减上递减，3m90，解得解得m32a0 或或0a132a或或a1032a，解得，解得 a 或或a1. 1幂函数幂函数yx(R)，其中，其中为常数，其本质特征是以幂的底为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指为自变量，指数数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据

12、和唯一标准应当为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如yx1， yx22x等都不是幂函数等都不是幂函数 2在在(0,1)上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近x轴轴(简记为简记为“指大图低指大图低”)，在在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴轴【方法规律】【方法规律】 3幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，

13、至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 4幂函数的定义域的求法可分幂函数的定义域的求法可分5种情况，即种情况，即为零；为零；为正整数；为正整数；为负整数；为负整数；为正分数；为正分数；为负分数为负分数 5作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据它的

14、奇偶性就可作出幂函数在定义域内完函数在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象整的图象 6利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及在利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及在 实际问题中的应用等类型进一步培养学生的数形结合、分类讨论等数实际问题中的应用等类型进一步培养学生的数形结合、分类讨论等数 学思想和方法学思想和方法已知幂函数已知幂函数 (mN*)的图象关于的图象关于y轴对称，且在轴对称，且在(0，)上是减函上是减函数，求满足数，求满足 的的a的取值范围的取值范围.【考卷实录】【考卷实录】 解答：解答：函数在函数在(0，

15、)上单调递减上单调递减，m22m30，解得解得1m3.mN*，m1,2.又又函数图象关于函数图象关于y轴对称轴对称，m22m3是偶数是偶数而而222233为奇数为奇数，122134为偶数，为偶数，m1.【答题模板答题模板】 而而y 在在(，0)，(0，)上均为减函数，上均为减函数， 等价于等价于a132a0或或32aa10或或a1032a.解得解得a1或或 .故故a的取值范围为的取值范围为 解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于立关于a的不等式组在这里极易出现认为函数在的不等式组在这里极易出现认为函数在(，0)和和(0，)上为减函上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认识误区从而误用性质产生错误，事实上数，则函数必在定义域内