关注模型教学 拓展解题方法

1、关注模型教学 拓展解题方法摘  要在中考试题中，挖掘古老数学问题的价值，运用古老问题解决新问题的情形频频出现.如费马点问题、折弦定理、杨辉三角和胡不归问题等.这些问题，如果学生平时没有训练，在考试时就会有一定的难度.因而，在平时的教学中，教师必须对这些模型进行归纳与总结，发现其中的解题规律，使学生加强模型识别，在一模多变的问题中提高学生分析与解决问题的能力.关键词模型;胡不归问题;解题方法中图分类号  G633.6    文献标识码  A    文章编号&

2、#160; 1674-6058202135-0004-02“胡不归问题来自一个古老的传说.话说一个在A地当学徒的小伙子得知家乡B地的父亲病危的消息，便往家赶.根据“两点之间，线段最短的线段性质，他选择了全是沙砾的直线路径AB，当小伙子回到家时，他父亲刚刚去世，好心的邻居给小伙子讲，老人在临终前口里不断地说着“胡不归？胡不归？邻居问小伙子：“你为什么不先走一段驿道呢？如图1所示，小伙子如果沿APPB的路径行走，虽然路程长了，但在驿道上行走速度比较快.那么小伙子把点P选在驿道的何处，才能节省时间呢？这就是著名的“胡不归问题.此问题可以抽象出这样一个数学问题：设小伙子在驿道、沙砾中行走的速

3、度分别为a、ba>b，那么他折线行走的总时间为t=APa+BPb=1bBP+baAP.由于两个速度是定值，欲求t的最小值，就是求BP+baAP的最小值.这里需要将baAP替换为一条线段.如图2，可以作射線AN，使sinNAP=ba，然后过点P作PFAN，所以PF=baAP，于是t=1bBP+PF，求BP+PF的最小值.根据“垂线段最短可以过点B作AN的垂线段交AC于点P，那么点P就是所求作的点.这里“胡不归问题就是求“PA+kPB0一、三角形中的“胡不归问题三角形中的“胡不归问题是指一动点在三角形中的一条折线上运动，且在第一条线段上运动速度为每秒1个单位长度，在另一条线段上运动速度不为每

4、秒1个单位长度，求动点的最短运动时间.方法就是将系数不为1的线段转化为系数为1的线段，然后利用“垂线段最短的性质求解.例1如图3，等腰ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿ADDC运动，到达点C停止，动点P在AD上运动速度为3个单位每秒，动点P在CD上运动速度为1个单位每秒，那么当AD=           时，运动时间最短.解析：如图4，作DHAB于H，CMAB于M，交AO于D.运动时间t=AD3+CD1=AD3+CD，AB

5、=AC，AOBC，BO=OC=1，DAH=BAO，DHA=AOB=90°，AHDAOB，ADAB=DHOB，DH=13AD，13AD+CD=CD+DH，当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，OA=32-12=22，12BC·AO=12AB·CM，CM=423，AM=AC2-CM2=73，AD=3MD.设MD=m，那么AD=3m，那么有9m2-m2=499，m=7212或-7212舍弃，AD=724，故答案为724.评注：要正确解答此题，不仅要利用“胡不归问题的几何模型进行转化，而且要注意利用勾股定理、等腰三角形的性质进行计算.二、四边形中的“胡不归问题四边

6、形中的“胡不归问题是指在四边形中有一动点，此动点在对角线上或到四边形一个顶点的距离为定值，求它到另一顶点的距离与它到第三顶点距离的k倍的和的最小值.这里也可以通过构造相似三角形将k倍的线段转化一条线段，再利用“两点之间，线段最短得到三点共线时有最值，从而求解.例2如图5，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，求13AP+PC的最小值.解析：如图6，在AB上截取BF=1，连接PF，PC，AB=9，PB=3，BF=1，PBAB=13=BFBP，且ABP=ABP，ABPPBF，FPAP=BPAB=13，PF=13AP，13AP+PC=PF+PC，当点F，P，C三点共线时，

7、13AP+PC的值最小，CF=BF2+BC2=1+49=52，13AP+PC的最小值为52.评注：此题中系数不为1的线段中的系数k决定了构造相似三角形的相似比.假设系数k是14，就构造一个相似比为14的相似三角形;假设系数k是22，可构造等腰直角三角形;假设系数k是12，就构造一个含30°的直角三角形.三、圆中的“胡不归问题圆中的“胡不归问题是指动点在圆周上运动，求动点到一定点的距离与动点到另一定点距离k倍的和的最小值.这里仍需构造相似三角形，将k倍的距离转化为一条线段，然后利用“两点之间，线段最短求得最值.例3如图7，扇形COD中，O为圆心，COD=120°，OC=4，O

8、A=2，OB=3，点P是CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程.解析：如图8，延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FMOD于点M，OC=4，FC=4，FO=8，且OP=4，OA=2，OAOP=12=OPOF，且AOP=AOP，AOPPOF，APPF=OAOP=12，PF=2AP，2PA+PB=PF+PB，当点F，P，B三点共线时，2AP+PB的值最小.COD=120°，FOM=60°，且FO=8，FMOM，OM=4，FM=4【3】，MB=OM+OB=4+3=7.FB=FM2+MB2=97.2PA+PB的最小值为97.评注：此题与上例比较

9、，相同点都是动点在圆周上运动，不同点是k倍的距离中的k，一个是分数，一个整数，它们在作辅助线时分别采用了截取与延长的方法.但都是在k倍距离的一侧构造相似三角形，这一点是相通的.责任编辑黄桂坚猜你喜欢解题方法模型从勾股定理到“一线三等角模型初中生世界·九年级(2021年2期)2021-04-10模型小览二汽车导报(2021年5期)2021-08-03借模型之力释难题之疑中学教学参考·理科版(2021年3期)2021-05-19高中数学解题中“构造法的应用探讨数学学习与研究(2021年7期)2021-04-18导数中涉及“ex，lnx的模型高中生学习·高三版(2021年4期)2021-04-14高考英语阅读理解之我见校园英语·下旬(2021年2期)2021-03-20圆周运动与解题模型求学·理科版(2021年1期)