吉林省长春市第十一中学2021届高三数学上学期第二学程考试试题理

1、吉林省长春市第1中学2021届高三数学上学期第二学程考试试9理第I卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的.1.若i为虚数单位，且上冬 = +，则复数。一万的模等于（）IA.J5B.C.乔D.«222. “机=2”是“椭圆三十二=1焦距为4”的（）6 mA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3 .函数/（工）=9三野二的部分图象大致为（）4 .如图，A8是单位圆。的直径，点C,。是半圆弧上的两个三等分点，则A&A£i=（）A. 1 B. -C. -D. J322

2、5.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程，比如在表1达式 ；中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方 1 + .程1 + 1 = 4求得X =类似上述过程及方法.则"的值为（）x2A.号+1B. .5 7C. 7 D. 2y/2226 .埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫 金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3. 1

3、4159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米.因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ）A. 128. 5 米B. 132. 5 米C. 136. 5 米D. 140. 5 米7 .已知正项等比数列q的公比不为1,乙为其前项积，若4017=402，则产二= In 2021（ ）A. 1:3B. 3:1C. 3:5D. 5:38 .从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外 轮廓为圆。，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆。的交点 将圆的周长

4、八等分，且AB = 3O = OC = C。，则该双曲线的离心率为（）甲A.72B. y/3C. 29 .图1是第七届国际数学教育大会（/CME 7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化图】图2而成的（如图 2）,其中。= 4A? =&& = =1,则 0山/4。4=（）146-10 7点-2万 D. 2828145/3 + 17点+2用282810 .已知函数/'（工）='/+（ ）x + e 1）1nAM >1）,函数y = 2"的图象过定点 2（0,1）,对于任意£（°，+8），% ，有/（%） /（工2）一占，则实数。

5、的范围为A. l<a<5B. 2<«<5C. 2<a<5D. 3<a<51 Yf 1v11 .已知函数/（x） = ln,若x, y满足/*） + / -7，0,则，的取值范围是B.（七）C. (1,1)D. -M12 .已知抛物线C:/=2y的焦点为尸，定点用（2的,0）,若直线用0与己知抛物线C相交于48两点（8在尸,M之间），且与抛物线C的准线相交于点N,若怛N| = 7怛耳， 则AE的长为（）第n卷（共9。分）二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.14 .若经过坐标原点。的直线/与圆/ +），2-4），+ 3 = 0相

6、交于不同的两点4，8,则弦48的中点M的轨迹长度为.15 .已知下列命题：Pi：若直线/与平而。有两个公共点，则直线/在平而。内.P2：若三条直线。，4c互相平行且分别交直线/于A&C三点，则这四条直线共面.若直线/与平而。相交，则/与平面。内的任意直线都是异而直线.如果两条异而直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交.则下述命题中所有真命题的序号是. Px A P4 P八 P2 P2Vp3 rNF16 .如图，在直三棱柱 ABC ANCi中，AC = JJ,3c = 1,AC JL3C ,点。在棱 8 纥上，当 AO + OC取最小值时，AD ± DC,则异

7、面直线BQ与4c所成角的余弦值 为.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 .（本小题满分12分）设 £N，数列的前n项和为3,己知Sz=S，+4+2, %,的，生成等比数列.（1）求数列凡的通项公式；（2）若数列也满足=（1）%+（点）”%，求数列低的前2项的和心.18 .（本小题满分12分）如图，在直棱柱A8c。一48cA中，AD!IBC. NBAO = 90。,AC LBD9 BC = , AD = AAl=4.（1）证明：平而ACA_L平而8用。：（2）求二面角4-AC -2的余弦值.19 .（本小题满分12分）已知aABC的内角

8、A，B,。所对的边分别为。，b, c ,且 y/3AC - AB = b(c -6/ sin C).（1）求角A的大小；（2）设 =c，点N是AbC所在平而上一点，且与点A分别位于直线3c的两侧，若BN = 4, CN = 2,求当功可面积最大时，ANC的周长.20.（本小题满分12分）已知函数/（x） = lnx aJ7 +。，aeR（1）讨论函数/（X）的单调性：（2）若/（x）KO恒成立，求。的取值范围.厂 V"- v2L （本小题满分12分）已知椭圆。：7 + 丁 = 1, C1： + - = A（O<A<-）,过椭圆 82822。上的点P（-2,1）做椭圆G的两

9、条切线分别和椭圆C的另外交点为M，N,如图所示，设直线PM,PN的斜率分别为KK，（1）证明：k、k、=L；、 4（2）直线MN的斜率k是否为常数？若是，求出的值：若 不是，说明理由.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程x = -l +己知在平而直角坐标系才分中，曲线。的参数方程为11 一厂（£为参数）.以原点7T3。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为夕cos 6 +（1）求曲线。和直线1的直角坐标方程;1 1（2）若直线1交曲线。于儿6两点，交x轴于点R求网 + 画的值23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲己知函数/(x) = |

10、2x+4+34 , aeR.（1）若对于任意xwH，“X）都满足/（"=/（4一），求。的值:(2)若存在xeR,使得/(x)«|21一1|十。成立，求。的取值范围.参考答案1. C 因为4 + 2i = (Z?+i)j = -l+Z?"所以4 = 一1, b = 2.所以卜_力=卜_2i| = J(_l)2 +(_2=故选:C222. A【详解】当? = 2时，/=6,从=2,2。= 2后工=4,即7 = 2时，椭圆工+二=1 6 in焦距为4；22若椭圆二 +=1焦距为4,则c = 2,所以6 = 7 + 2?或帆=6 + 2之， 6 m解得? = 2或m=1

11、0所以“机=2”是“椭圆二+二=1焦距为2”的充分不必要条 5 m件，故选：A3. B【详解】函数/(力J 2 _；鹿V .的定义域为上工0,5匕粤£盗岑二里髻-为奇函数，当Ovxvl时，Ov/vl,则lg,d<0, 2、一1>0，21+ 1>0,./(工)<0.因此，函数/(X)的图象如B选项中的图象.故选：B.4. C【详解】连接ODOC,则NAOD = 2,NC4O = 2,AC = 1,36在八4。中，由余弦定理得：AD2 = l2 + l2-2xlxlx(-) = 35/. AD = y23所以 AtSA£i = lx J5xcos

12、7; =二.故选：C 6 25. B【详解】令g+，+ .：=X,则小+ X = X ,整理，得工2_工_7 = 0，解得.孑,或.三三 k'增.故选：8.6.C【详解】解：设金字塔风化前的形状如图，: A3 = 230,，其底而周长为230x4 = 920,920由题意可得：= 3.14159，尸0 = 146.42.2PO.胡夫金字塔现高大约为146.42-10 = 136.42米.结合选项可得，胡夫金字塔现高大约为136.5米.故选：C.7.A【详解】"是正项等比数列，%>0, 7；。0, eN*,所以由 72017 =5021 = -2017 ,20182019

13、20202021 '得。2018a20】9叼020。2021 = 1 ,所以 2。18.2。21 ="201*202。=L 设%公比为 9，#1,=（%。21）= 1-（“2O2U）_ 1 nn7；2O182O21"31， U2O19U2O2O'1，叫 C&gi = ' ， “2Q2Q =（/C/1 ，nc所以1=驾=口 ln 6,2021 ln jlnt?乙8. B【详解】由条件知（、丘义、历）在双曲线厂）广/一后=1 上，所以 < = 2，e=U +1= V5,9 . D【详解】=且。44是直角三角形，应，同理得。4=而,O4=币,

14、sin ZAOAj =, cos ZAOAj =» sin ZAOAi. = -j= , cosZA70Asin ZJO = sin（+ ZA70A）="+/4=正包里故逐V7 V8 V7 V8 28D.10 .A【详解】解：因为y = 2-b的图象过定点（0,1）,所以2”=1，解得b = 0，所以/ （x） = J/- ax +（4 -1） Inx, （a > 1）,因为对于任意内,£ （°，y），X >/，有/(%)-/()一玉,则f (%)+X +/(七),设F(x) = /(x)+，即 F(A)= /(A)+ X = X2 -6/X

15、 + (6/ - 1)IfLV + X= X2 一(4 - 1)X +(O ,22所以尸'(；1)=工卜，_1) + = ' 二("二口十 4 二 l 令g(X)=/一(-1) + 4 1, XX因为4>1>0,所以要使F'（x"0在（0,+8）恒成立,只需g0,故田+0一120,整理得（4一1）（4一5）«。，解得1V4K5,故选:A.11. C【详解】函数/（X）的定义域为（一1,1）因为/（X）= In E = - In 三 =-f（x）,所以/（X）为上的奇函数f (x) = In -1 +,故函数/*）为（-1）上的减

16、函数由/*）+/1；3之0得到7"）之一/一曰=-1<X<1即-2vy<2,该不等式组表示的平面区域如下图所示 y>2x表示区域中的点与-3,0连线的斜率，由图可知，-1< x + 3故选：C12. D解，如I图.过B作与应垂直于准线，垂足为,则区户| =区3】|. 由 B = 7区尸 I = 得 忸-M = 7BB J，可得 sin N&VB】=1，cos N处外 =4 tan qNB' =,海的方程为3 =1473<x-2V3>.取x = 0,福y即尸（。兀 地物线方程为M=2，.fx2=4y联立卜= 一50 263解得J

17、'=|N9故5：二、填空题13. 【详解】I由诱导公式得sin（x+ ） = cos-r=,故cosx= .由二倍角公式得cos2-y=2cosy4JJ（1 V77l=2x 1 =.故答案为：一大.I 3J9914.?【详解】设当直线1的方程为），=依4（%,）。8（,乃），与圆联立方程组，消去y可得：（1 +公）/4丘+ 3 = 0,由A = 16公-4。+公）x3>0,可得公>3.由韦达定理，可得七十修二击7, 2kx 二 B线段月6的中点好的轨迹。的参数方程为：，其中公>3，2K心中线段月6的中点M的轨迹C的方程为：/+（）=,其中3 vy<2. 2所以A

18、8的中点M的轨迹长度为124一=2.故答案为：g 33315.【详解】因为P”若直线/与平面。有两个公共点，则直线/在平面。内.由平面的基本性质知正确;P?：若三条直线。力工互相平行且分别交直线/于48，。三点，则这四条直线共而，由平而的基本性质知正确:P3：若直线/与平而。相交，贝旷与平而。内的任意直线都是异而直线，由空间直线的位置关系知错误：4：如果两条异而直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交，由直线与平面的位置关系知错误：所以八4错误：1人2正确：P2Vp 3错误；3V正确：故答案为：三、解答题17. （1） 4“=2 - 15wN*）； （2） Tln = 22n+

19、, + 2z? -2 .【详解】（1）由Sz=S“+a.+2,得4“u-a”=2（£N+）,所以数列“是以为首项,2为公差的等差数列.由, %, 4成等比数列可得始=。用，即（q+2）2=%（q+8）,解 得 q = 1 ,所以为=2一1（ e N*）.（2）由（1）得勺=2-1,所以4=（点广与+（-1）"4=2"+（-1）"（2-1）所以乙” =2121! + -1 + 3-5 + 7 .一（4-3） +（4 + 1） =22n+1+2n-2.2 118. （1）证明见解析；（2） 土1.63【详解】（1）证明：8与，平而ABC。，ACu平面A3CO

20、，又AC_L8Q,且 8qc8O = 8,u 平而 BBQ ,AC _L平而84。.又.AC u平面ACDX，:.而ACD _L而BBfi.（2）易知A3、AD. A4两两垂直，以力为坐标原点，AB. AD,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图的空间直角坐标系，设= 则相关各点的坐标为4(0,0,0), 3",0,0), 4&。4), C(M,O),G(,L4), 0(0,40), A (0,4,4).从而衣= (f,1,0),而=(4,4,0).V AC _L BD AC- BD =-t2+4+0 = 0f 解之得 f = 2或，=2 (舍去).AO； =(0,4,4),

21、 AC =(2,1,0)一 /、/T-AC = 0f2x+y = 0设i=(Ky,Z)是平面ACR的一个法向量，则丁4 八，即L ； 八、, 7A£)i=0(_4y + 4z = 0令x = l,则；=(,2,2).同理可求而AC线的法向量为%. = (-2,4,1).coso = J7'葭.又二面角与一AC-。1是锐二面角,h?. I I ik I 3。21631 N.二而角片AC - A的余弦值为W|I. 6319. (1) g (2) 2逐 +2M.【详解】(1)易得 >/5ccos A = Z?c-aZ?sinC，VJcos AsinC = sin C-sin

22、Asin C， ,: C e(0,/r), sinC > 0, A >/Jcos4 = l -sin A ,（2）由（1）可得，ABC为等腰直角三角形，所以BC = y/ib，c°sN = ±Q± = 2CN BN8SBCN =CN-BN sin N = 4io-/72 Y8 ;15，当 时，取得最大值，此时S“wc的周长为2后+2M.20. (1)对/*)求导数：/=L -二=匚竺X > 0 X 2y/x 2x当。W 0时f(x) > 0,所以/(x)在(0, + S)上为单调递增函数;指, + s)上为单调递减函数:4当>0时，令

23、/”(x)v0,得：x> = ,所以/(x)在 a4( 4令;(x)>0,得：OVXV7,所以/(x)在|0,j J上为单调递增函数。所以：当时，/3)在(0，+刃)上为单调递增函数：当0时，/(X)在(0,上为单调递增函数：在(2, + s)上为单调递减函数。(2)当4 = 0时，f(x) = Inx ,显然/(x)«0不恒成立；当 4<0,取工=。-21,则/(/“)= 11/“一必 + 4="后>0,不成立：44当。>0时，由(1)知/(x)max = /() = In -2 + 67 = 21n 2-2 + t/-2hi« ,

24、)若 cTa/(x)«0恒成立，只需21n22+a21na<0,2 。一2设 g(a) = 21n2 2 + 21na ,则 g'(a) = l =，a a当a e (0,2), g'(a)v0, g()单调递减，当ae(2,+8), g'(4)>0, g(a)单调递增，所以g()最小值为g(2) = 0,即g()N0恒成立，当且仅当4 = 2时取等号。所以不等式21n 22 +。一2111。<0的解为。=2综上所述：若/")4。恒成立时。的取值集合为221. 【详解】(1)设PM:)， l = K(x + 2),带入椭圆G： /+

25、4/=8/1消去)，得：(4婷+ 1)1+8占(2%+l)x+4(2自+1产一8；1 = 0,由于PM和椭圆&相切，所以:64好(2占 + 1了 一 4(4%： + 1乂4(2占 +1)2 - 8川=0,即：(82 4)十一4占+2几一1=0,同理PN的斜率3满足方程：（84 - 4）封-44-22-1=0,所以：k,k?为方程关于x的方程（82一4）/ 一© + 2/1 -1 = 0的两个根,22-1 1所以：kR =82-4 4(2)设MN： y = kx+m , 2 +1 -nz0, M(xp>0,N(x2,y2)y = kx+ mx2 y2 得：(4k2 +l)x2 + Sknix+4m2 - 8 = 0F - = 1182则内+x2 =Skm4m2 -8一； ,中)=；4K+1- 4K + 1. 一 1 1y)一 1 1'由知："2=01K =tip：攵% + - 1 攵% + ？ - 1 _ 1%)+2x2 + 24整理得：(4k2 - 1)X|X2 +