与圆的切线有关的计算与证明

1、参考范例与圆的切线有关的计算与证明（1）类型之一与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图 Z12 1， O 的切线 PC 交直径 AB 的延长线于点P， C 为切点，若P 30 ° ， O 的半径为 1 ，则 PB 的长为 _1_ 图 Z12 1经典母题答图【解析】如答图，连结OC. PC 为 O 的切线， PCO 90 ° ，在 Rt OCP 中， OC 1 ， P 30 ° ，OP2OC 2， PBOPOB 211.【思想方法】(1) 已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2) 已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直【中考变形】2017&

2、#183;天津 已知 AB 是 O 的直径， AT 是 O 的切线，ABT 50 ° ， BT 交O 于点 C， E 是AB 上一点，延长CE 交 O 于点 D.(1) 如图 Z12 2 ，求 T 和 CDB 的大小；(2) 如图，当 BE BC 时，求 CDO 的大小-参考范例图Z12 2解： (1) 如答图 ，连结 AC ， AT 是 O 的切线， AB 是 O 的直径， ATAB，即 TAB 90° ，ABT50° ， T90° ABT40° ，由 AB 是 O 的直径，得 ACB 90 ° ，CAB90° ABC40

3、° ， CDB CAB 40° ；中考变形答图中考变形答图(2) 如答图 ，连结 AD ，在 BCE 中， BE BC ， EBC 50 ° ， BCE BEC 65 ° ， BAD BCD 65 ° ， OAOD ， ODA OAD 65° ，ADC ABC50 ° ，CDO ODA ADC 65° 50° 15 ° .【中考预测】2017 ·宿迁 如图 Z12 3 ，AB 与 O 相切于点 B ， BC 为 O 的弦， OC OA ， OA 与 BC 相交于点 P.(1) 求证：

4、APAB ；(2) 若 OB 4，AB 3，求线段 BP 的长图 Z12 3中考预测答图解： (1) 证明： OC OB ， OCB OBC ，-参考范例AB 是 O 的切线，OB AB ，OBA 90 ° ， ABP OBC 90° ， OCAO， AOC 90 ° ， OCB CPO 90 ° ， APB CPO ， APB ABP ， AP AB ；(2) 如答图，作OH BC 于 H. 在 Rt OAB 中， OB 4， AB 3 ，OA32 42 5， APAB 3， PO2.在 Rt POC 中， PC OC2 OP225，11 2PC &#

5、183; OH 2OC · OP ，OH OP· OC45PC5，CH OC2 OH285，5165OH BC，CHBH ，BC2CH ，516565BPBC PC2 55.5类型之二与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图 Z12 4 ，A 是 O 外一点， AO 的延长线交 O 于点 C，点 B 在圆上，且 AB BC ， A 30 ° ，求证：直线 AB 是 O 的切线图 Z12 4经典母题答图证明： 如答图，连结OB ，OBOC，ABBC，A30° ，-指导参考范例 OBC C A 30 ° ， AOB C OBC 60 &#

6、176; .ABO 180 ° (AOB A) 180 ° (60 ° 30 °)90 ° ，-参考范例AB OB ，又 OB 为 O 半径， AB 是O 的切线【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者 “作垂直，证半径”【中考变形】12016·黄石 如图Z12 5 ，O 的直径为AB ，点 C 在圆周上 ( 异于A， B) ，AD CD.(1) 若 BC 3，AB5，求 AC 的值；(2) 若 AC 是 DAB 的平分线，求证：直线CD是O 的切线图Z12 5中考变形1 答图解： (1)AB 是O 直径， C 在O

7、 上， ACB 90 °，又 BC 3，AB 5，由勾股定理，得AC4；(2) 证明：如答图，结连OC ， AC 是 DAB 的平分线， DAC BAC ，又 AD DC ， ADC ACB 90 °， ADC ACB ， DCA CBA ，又 OA OC ， OAC OCA ， OAC OBC 90 °，OCA ACD OCD 90 °，直线CD 是 O 的切线22017 ·南充 如图Z12 6 ，在 Rt ACB 中， ACB 90 °，以 AC 为直径作 O 交 AB 于点 D ， E 为 BC 的中点，连结DE 并延长交 AC

8、 的延长线点 F.(1) 求证： DE 是 O 的切线；(2) 若 CF 2，DF 4，求O 直径的长-参考范例图Z12 6中考变形2 答图【解析】(1) 连结 OD ，欲证 DE是 O 的切线，需证OD DE ，即需证 ODE 90 ° ，而ACB 90 ° ，连结 CD ，根据“ 等边对等角 ”可知 ODE OCE 90 ° ，从而得证；(2) 在 Rt ODF 中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解解： (1) 证明：如答图，连结OD ， CD. AC 是 O 的直径，ADC 90° .BDC 90° . 又 E 为 BC 的中点，1DE

9、 2BC CE ， EDC ECD. OD OC ， ODC OCD. EDC ODC ECD OCD ACB 90 ° .ODE 90° ，DE是 O 的切线；222(2) 设 O 的半径为 x. 在 Rt ODF 中， OD DF OF，即 x2 4 2 (x 2) 2，解得 x 3. O 的直径为6.【中考预测】如图 Z12 7， AB 是 O 的直径，点C， D 在 O 上， A 2BCD ，点 E在 AB 的延长线上，AED ABC.(1) 求证： DE 与 O 相切；(2) 若BF 2， DF 10 ，求 O 的半径图 Z12 7中考预测答图-参考范例解： (1

10、) 证明：如答图，连结OD. AB 是 O 的直径，ACB90° ，A ABC 90° ， BOD 2 BCD ， A2BCD ， BOD A， AED ABC ， BOD AED 90 ° ，ODE 90 ° ，即 OD DE ，DE 与 O 相切；(2) 如答图，连结 BD ，过点 D 作 DH BF 于点 H. DE 与 O 相切， ACD BCD ODB BDE 90 ° ， ACD OBD ， OBD ODB ， BDE BCD ， AED ABC ， AFC DBF ， AFC DFB ， ACF 与 FDB都是等腰三角形，122F

11、H BH 2BF 1， HD DFFH 3，22222在 Rt ODH中， OH DH2 OD，即 (OD 1) 3 OD，OD 5.即 O 的半径是5.-参考范例与圆的切线有关的计算与证明（2）1.如图 8 ， CD 是 0 的切线，切点为 A,AB是 0 的直径 .E,F 0 上的点 ,C(1)求证： DAE= FDE/A B.(2)若 EF/CD, 求证 : AEF 是等腰三角形FOA BDE2. 如图 7 0 的半径为1 ，过点A(2 ， 0) 的直线切 0 于点 B，交 y 轴于点 C.(1) 求线段 AB 的长；(2) 求以直线 AC 为图象的一次函数的解析式3、在 ABC中， A

12、B=AC，内切圆O 与边 BC 、 AC 、 AB分别切于D 、 E 、 F.（ 1 ）求证： BF=CE ；（2）若 C=30 ° ， CE23 ，求 AC.4.如图 10 ，在 O 中， ACB= BDC=60° ， AC=23cm ，（ 1 ）求 BAC的度数；（ 2 ）求 O 的周长-参考范例5 已知：如图， AB 是 O 的直径， AD是弦， OC 垂直 AD于 F 交O 于 E，连结 DE 、BE，且C=BED （ 1 ）求证： AC是 O 的切线；C（ 2 ）若 OA=10， AD =16 ，求 AC的长DEFBAO3. 如图， MP 切O于点 M ，直线 P

13、O 交O于点 A 、B，弦 AC MP，(1) 求证： MO BC(2 补充 )连结 CM,当四边形BCMO为菱形时,求 P 的度数或反过来问: 当P30 ° 时 , 判断四边形BCMO的形状 , 并说明理由.MPCAOB4. 如图，在ABC中， ABAC ，以 AB为直径的O交BC 于点 M，MN AC于点 N （ 1）求证 MN是 O 的切线；AN（ 2）若 BAC120 °，AB 2 ，求图中阴影部分的面积OBMC-参考范例8 如图， ABC 内接于半圆， AB 是直径，过A 作直线 MN ，若 MAC= ABC （ 1）求证： MN是半圆的切线；M（ 2）设D是弧AC 的中点，连结BD 交AC于 G ，C过D 作DEAB 于E，交 AC于FD求证： FD FGGF AEBN5. 如图，半圆的直径AB10 ，点 C 在半圆上，BC6 （ 1 ）求弦 AC 的长；（ 2）若 P 为 AB 的中点， PE AB 交 AC 于点 E，求 PE 的长CEABP6.已知：如图，AB为 O 的直径， ABAC，BC 交O 于点 D， AC交O 于点E， BAC45°A（ 1）求EBC 的度数；（ 2）求证： BDCDOECBD