中考数学直角三角形的边角关系培优易错难题练习(含答案)

1、中考数学 直角三角形的边角关系 培优 易错 难题练习 （含答案 ）一、直角三角形的边角关系1图 1 是一种折叠式晾衣架晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图 2 所示，两 支脚 OCOD10分米，展开角 COD 60°，晾衣臂 OAOB10 分米，晾衣臂支架 HG FE6 分米，且 HOFO4 分米当 AOC90°时，点 A 离地面的距离 AM 为分米；当 OB 从水平状态旋转到 OB（在 CO延长线上）时，点 E绕点 F随之旋转至 OB上【解析】【分析】如图，作 OPCD于 P，OQAM 于 Q， FKOB于 K，FJ OC于 J解直角三角形求出 MQ，AQ 即可求出

2、 AM，再分别求出 BE， B即E可【详解】解：如图，作 OPCD于P，OQAM于 Q，FKOB于K，FJOC于 JAM CD，QMPMPOOQM90 °，四边形 OQMP 是矩形，QM OP，OCOD10，COD60 °， COD是等边三角形，OPCD，1 COP COD30 °，2QMOPOC?cos30°5 3 （分米），AOCQOP90 °，AOQCOP30 °，1AQ OA 5（分米），2AM AQMQ55 3 OBCD，BODODC60 °在RtPKE中， EK EF2 FK2 2 6 （分米），BE 10-2-

3、2 6 （ 8-2 6 ）（分米），在 Rt OFJ中， OJOF?cos60° 2（分米）， FJ2 3 （分米），在 Rt FJE中， EJ 62 （2 3）22 6 ，BE10- （ 2 6 - 2 ） 12-2 6 ，B E-B4E故答案为： 5 5 3，4【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决 问题，属于中考常考题型2如图，某无人机于空中 A处探测到目标 B、D的俯角分别是 30 、60 ,此时无人机的飞 行高度 AC为60m ，随后无人机从 A处继续水平飞行 30 3m到达 A'处.1）求 之间的距离2）求从无人机

4、 A ' 上看目标 的俯角的正切值【答案】（ 1） 120 米；（ 2）.5【解析】【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；E，连接 A'D ，于是得到 A'E AC 60，DC= 3 AC=20 3 ，然后根据三角函数的定义3（2）过 A'作 A'E BC 交 BC的延长线于即可得到结论【详解】解：（ 1）由题意得： ABD=30°， ADC=6°0 ，在 RtABC中， AC=60m，60ACAB= = 1 =120（ m）sin302（2）过 A'作 A'E BC交 BC的延长线于 E，连接 A'D ，

5、则 A'E AC 60， CE AA' 30 3 ， 在 RtABC中， AC=60m，ADC=6°0 ，DE=50 3tanA A'D= tan A'DC=答：从无人机 A '上看目标 D的俯角的正切值是 2 3 5【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键 .3在正方形 ABCD中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 P 在线段 BC上（不含点 B）， 1BPE= ACB， PE交BO于点 E，过点 B作BF PE，垂足为 F，交 AC于点 G 2（1）当点 P 与点 C 重合时（如图 1）求证： BOGP

6、OE；BF（2）通过观察、测量、猜想：= ，并结合图 2 证明你的猜想；PE BF（3）把正方形 ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若 ACB=，求的PE值（用含 的式子表示）解析】1tan2解：（ 1）证明： 四边形 ABCD是正方形， P与 C重合，OB="OP" ， BOC=BOG=90 °PF BG ，PFB=90，°GBO=90 °BGO， EPO=90°BGO GBO=EPO BOGPOE（AAS）2）BFPE12 证明如下：如图，过 P作PM/AC交BG于M，交 BO于N， PNE= BOC=900， BPN=

7、OCB OBC= OCB =450， NBP= NPBNB=NPMBN=900BMN， NPE=900BMN，MBN=NPE BMNPEN（ASA） BM=PE1 BPE= ACB， BPN=ACB，BPF=MPF2PF BM， BFP= MFP=900又 PF=PF，1 BPF MPF（ ASA） BF="MF" ，即 BF= BM21 BF= PE，2BF 1 即PE 23）如图，过 P作 PM/AC 交 BG于点 M，交 BO 于点 N， BPN= ACB= ， PNE=BOC=9001由（ 2）同理可得 BF= BM ， MBN=EPN2 BNM= PNE=900，

8、 BMN PEN BMBN PEPNBNBM2BF在 RtBNP 中， tan = tan，即 = tanPNPEPEBF1tan PE =2（1）由正方形的性质可由 AAS证得 BOG POE（2）过 P作 PM/AC 交BG于M，交 BO于 N，通过 ASA证明 BMN PEN得到 BF 1BM=PE，通过 ASA证明 BPFMPF得到 BF=MF，即可得出的结论PE 21（3）过 P作 PM/AC 交BG于点 M，交 BO于点 N，同（ 2）证得 BF= BM，2 BM BNBNMBN=EPN，从而可证得 BMN PEN，由和 RtBNP中 tan = 即PE PNPNBF 1可求得 =

9、 tan PE 24如图，平台 AB 高为 12m，在 B 处测得楼房 CD顶部点 D 的仰角为 45°，底部点 C的俯 角为 30°，求楼房 CD的高度（ 3 17）【答案】 324 米【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解 试题解析：如图，过点 B作 BECD于点 E， 根据题意， DBE=45°， CBE=30° ABAC，CDAC，四边形 ABEC为矩形，CE=AB=12m，BE在 RtCBE中， cotCBE= ，CEBE=CE?cot30 ° =312=1×

10、;2 3 ，在 RtBDE中，由 DBE=45°，得 DE=BE=12 3 CD=CE+DE=12（ 3 +1） 32.4 答：楼房 CD 的高度约为 32.4m 考点：解直角三角形的应用 仰角俯角问题5如图，AB是O的直径，弦 CDAB于H，过 CD延长线上一点 的延长线于切点为 G，连接 AG交 CD于 KE作O 的切线交 AB1）求证： KE=GE；2）若 KG2=KD?GE，试判断 AC与 EF的位置关系，并说明理由；3）在（ 2）的条件下，若 sinE= ， AK=，求 FG的长答案】（ 1）证明见解析；（ 2） ACEF，证明见解析；（ 3）FG= 解析】试题分析：（ 1

11、）如图 1，连接 OG根据切线性质及 CD AB，可以推出KGE= AKH= GKE，根据等角对等边得到 KE=GE；（2）AC与EF平行，理由为：如图 2所示，连接 GD，由 KGE= GKE，及 KG2=KD?GE，利 用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出 GKD与EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到 C=AGD，可推知 E= C，从而得到 ACEF；（3）如图 3 所示，连接 OG， OC，先求出 KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径 定理可以求解；然后在 Rt OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度 KGE+ OGA=90 ，°CDAB， AKH+

12、 OAG=90 ，°又 OA=OG， OGA=OAG， KGE=AKH=GKE，KE=GE（2）ACEF，理由为连接 GD，如图 2 所示又 KGE=GKE， GKD EGK， E=AGD， 又 C=AGD， E=C，ACEF； KGE+ OGA=90 ，°CDAB， AKH+ OAG=90 ，°又 OA=OG， OGA=OAG， KGE=AKH=GKE， KE=GEsinE=sinACH=，设 AH=3t，则 AC=5t， CH=4t，KE=GE， ACEF，CK=AC=5t，HK=CK-CH=t在 RtAHK 中，根据勾股定理得 AH2+HK2=AK2，即（

13、3t） 2+t2= 设 O 半径为 由勾股定理得：2 ) 2，解得 t= r，在 RtOCH中， OC=r， OH=r-3t， CH=4t， OH2+CH2=OC2，t=即（ r-3t ） 2+（ 4t） 2=r2，解得 r= EF为切线， OGF为直角三角形，tan OFG=tan CAH=在 RtOGF中， OG=r=点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性 质是解本题的关键6如图，在 O的内接三角形 ABC中，ACB90°，AC2BC，过 C作 AB的垂线 l 交O

14、 于另一点 D，垂足为 E.设P是 上异于 A， C的一个动点，射线 AP交l于点 F，连接 PC与PD，PD交 AB 于点 G.（1）求证： PAC PDF；（2）若 AB5，求 PD 的长；x，tan AFD y，求 y 与 x 之间的函数关系式 （不要求写出（3）在点 P 运动过程中，设x 的取值范围 ）答案】（ 1）证明见解析；（ 2） 解析】；（ 3）试题分析：（ 1）应用圆周角定理证明 APDFPC，得到 APCFPD，又由 PAC PDC，即可证明结论 .（2）由 AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得 BC，AC 的长，则由 AC=2BC得由 ACE ABC可求得 AE，CE的

15、长，由可知 APB是等腰直角三角形，从而可求得 PA的长，由 AEF是等腰直角三角形求得 EF=AE=4，从而求得 DF 的长， 由（ 1）PACPDF得，即可求得 PD的长 .，由 AGPDGB 可得，由 AGD PGB可得，由角的转换可得，两3）连接 BP，BD， AD，根据圆的对称性，可得式相乘可得结果试题解析：（ 1）由 APCB内接于圆 O，得 FPCB， 又 B ACE 90° BCE， ACE APD，APDFPC. APDDPCFPCDPC，即 APC FPD. 又 PAC PDC， PAC PDF.（2）连接 BP，设，ACB=90°， AB=5，. AC

16、E ABC， AB CD， .如图，连接 BP，即 . ，APB是等腰直角三角形 . PAB45 °，AEF是等腰直角三角形 . EF=AE=4. DF=6.由（ 1）PAC PDF得，PD 的长为（3）如图，连接 BP， BD，AD，AC=2BC，ABCD，AD=2DB，即根据圆的对称性，得 BPAE，ABPAFD. AGPDGB， AGD PGB， ， 与 之间的函数关系式为考点： 1.单动点问题； 2.圆周角定理； 3.相似三角形的判定和性质； 4.勾股定理； 5.等腰直 角三角形的判定和性质； 6.垂径定理； 7.锐角三角函数定义； 8.由实际问题列函数关系式 .7如图，在

17、ABC中，ABC90°，以 AB的中点 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AC于点D，E 是 BC的中点，连接 DE， OE（1）判断 DE与O 的位置关系，并说明理由；（2）求证： BC22CD?OE；【答案】（ 1） DE为 O的切线，理由见解析；（ 2）证明见解析；（ 3）OE = 6 【解析】试题分析：（ 1）连接 OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到ADB 为直角，可得出BCD为直角三角形， E 为斜边 BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 得到 CE=DE，从而得 C= CDE，再由 OA=OD，得 A=ADO，由 RtABC中两锐角互 余，从而可得 A

18、DO 与CDE互余，可得出 ODE为直角，即 DE垂直于半径 OD，可得出 DE为O 的切线；（2）由已知可得 OE 是ABC的中位线，从而有 AC=2OE，再由 C=C，ABC=BDC， 可得 ABCBDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角 ABC中，利用勾股定理求得 AC的长，根据三角形中位线定理OE 的长即可求得试题解析：（ 1）DE为O 的切线，理由如下：AB 为O 的直径， ADB=90 ，°在 RtBDC中， E为斜边 BC的中点，CE=DE=BE= BC， C=CDE，OA=OD， A= ADO， ABC=90 ，° C+ A=90 ，&

19、#176; ADO+CDE=90，° ODE=90 ，°DEOD，又 OD 为圆的半径， DE为O 的切线； （2）E是BC的中点， O点是 AB的中点，OE 是ABC的中位线，AC=2OE， C=C，ABC=BDC， ABC BDC，即 BC2=AC?CDBC2=2CD?OE；3）解： cos BAD=sin BAC=，又 BE= ，E是 BC的中点，即 BC= AC= 又 AC=2OE，OE= AC= 考点： 1、切线的判定； 2、相似三角形的判定与性质； 3、三角函数 8某条道路上通行车辆限速 60千米/时，道路的 AB段为监测区，监测点 P到 AB的距离PH为50

20、米（如图）已知点 P在点 A的北偏东 45°方向上，且在点 B的北偏西 60°方向 上，点 B在点 A的北偏东 75°方向上，那么车辆通过 AB 段的时间在多少秒以内，可认定为【解析】 分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解 直角三角形即可 .详解：如图，由题意知 CAB=75°，CAP=45°， PBD=60°， PAH= CABCAP=30 ，°PH50PHA=PHB=90，°PH=50，AH= 3 =50 3 ，tan PAH3 ACBD，ABD=180°CA

21、B=105 ，°PBH=ABDPBD=45，° 则 PH=BH=50，AB=AH+BH=50 3 +50，50 =3+3 3 8.（1 秒），3 可认定为超速 利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即50 50 3 5060 千米/时=50 米/秒， 时间 t=3即车辆通过 AB 段的时间在 8.1 秒以内， 点睛：该题考查学生通过构建直角三角形， 实际路程，并进行判断相关的量。2）当 x0或 x4；（3）D 点坐标为（ 0，2）或1）由直线1y x+2 求得2A、B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析1 1 29如图，直线 y x+2 与 x 轴交于点 A，与

22、 y 轴交于点 B，抛物线 y x观察图象，找出直线在抛物线上方的 x 的取值范围； 如图，过 D点作 x轴的垂线，交 x轴于点 E，先求出 CO1，AO4，再由 DAC+bx+c 经过22A、 B两点，与 x 轴的另一个交点为 C（1）求抛物线的解析式；112AD，若 DACCBO，求点 D的坐标2）根据图象，直接写出满足12x+2 12 x2+bx+c的x的取值范围；2， 3） 解析】 分析】式；（2）（3）CBO，得出 tanDACtan CBO，从而有，DE CO ,最后分类讨论确定点 D 的坐标AE BO详解】1解：（ 1）由 y x+2 可得：2当 x0 时， y2；当 y0 时，

23、x 4，A（4，0），B（0，2），把 A、B 的坐标代入 y1 x2+bx+c 得：22 ，2抛物线的解析式为： y12x22）当 x0或 x 4 时，1 x+221 x2+bx+c21 2 3由 y x x 2 令22 解得： x11， x2 CO1， AO 4，4，设点 D 的坐标为（ m，y0，12m22）， DAC CBO，tan DAC tan CBO，在 Rt ADE和 RtBOC中有DEAECOBO ，212舍去），1 m2当 D 在 x 轴上方时， 2 mm4解得： m10，m2 4（不合题意， 点 D 的坐标为（ 0， 2）2 m 2) 1（ 1 m2 3 当 D 在 x

24、轴下方时， （ 2 m m 4 2 解得： m12，m2 4（不合题意，舍去）， 点 D 的坐标为（ 2， 3），或（ 2， 3）本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次 函数解析式解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类 讨论是第（ 3 ）题的难点10 兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现 代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是 31°，拉索 AB 的长为 152 米，主塔处桥面距地面 7.9 米（ CD的长），试求出主塔 BD 的高（结果精确到 0.1 米，

25、参考数据： sin31 °0.，52cos31°0.，86tan31 °0.）60【答案】主塔 BD的高约为 86.9 米【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由 BD=BC+CD可得出 .【详解】在 RtABC中， ACB=90°，BCsin AAB BC AB sinA 152 sin31 152 0.52 79.04 BD BC CD 79.04 7.9 86.94 86.9（米） 答：主塔 BD的高约为 86.9 米【点睛】 本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键 .113如图， ABC中，ACBC

26、10，cosC ，点 P是 AC边上一动点（不与点 A、C 重合），5以 PA长为半径的 P与边 AB 的另一个交点为 D，过点 D 作 DECB于点 E（1）当 P与边 BC相切时，求 P的半径（2）连接 BP交 DE于点 F，设 AP的长为 x，PF的长为 y，求 y 关于 x的函数解析式，并直接写出 x 的取值范围（3）在（ 2）的条件下，当以 PE长为直径的 Q 与P相交于 AC边上的点 G时，求相交 所得的公共弦的长 .80 ;（3） 50 10 5.答案】（ 1）R 490 ;（2）9解析】分析】1）设 P与边 BC相切的切点为H，圆的半径为3连接 HP，则 HPBC， cosC

27、，则5sinC 4 ，sinC HP5 CP4，即可求解；52）首先证明 PD BE，BFPF ，（3）证明四边形 PDBE为平行四边形，则 4 5 ，即可求解【详解】（1）设 P与边 BC相切的切点为连接 HP，则 HP BC，3 cosC ，5HP R sinCCP 10 R44 ，解得：52）在 ABC中， ACBC10，设 APPD x，AABC，2x5xx2 8x 80 y ，即可求解； yAG EPBD，即： ABDB+AD AG+AD即：H，圆的半径为 R，则 sinC 4 ，5cosC 3 ，5过点 B作 BH AC，同理可得： CH6，HA4，AB4 5 ，则： tan CA

28、B 2，BP 82+(x 4)2 x2 8x 80，DA 2 5 x，则 BD 4 5 2 5 x，55如下图所示， PA PD，PADCAB CBA ，1tan 2，则 cos 5EB BDcos(4525x)51×1542x，5PDBE， EBBF2即：4x5x2 8x80 y ， PDPF5xxy整理得：yx 2 8x80；3x 203)以 EP为直径作圆 Q 如下图所示，两个圆交于点 G，则 PGPQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，点 Q 是弧 GD的中点，DGEP，AG 是圆 P的直径， GDA90 °，EP BD，由（ 2）

29、知， PDBC，四边形 PDBE为平行四边形，AGEPBD，AB DB+AD AG+AD 4 5 ， 设圆的半径为 r ，在 ADG 中，2r 4rAD 2rcos ，DG，AG 2r，552r 205 +2r 4 5 ，解得： 2r 5 1 ，4r则： DG 50 10 5 ，相交所得的公共弦的长为 5010 5 【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大12 如图，直线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过点 ， 点 为 轴上一动点，过点 且垂直于 轴的直线分别交直线 及

30、抛物线 于点 ， （1）填空：点 的坐标为 ，抛物线的解析式为 ；（2）当点 在线段 上运动时（不与点 ， 重合）， 当 为何值时，线段 最大值，并求出 的最大值； 求出使 为直角三角形时 的值；（3）若抛物线上有且只有三个点到直线 的距离是 ，请直接写出此时由点 ， ， ，构成的四边形的面积（2） 当时， 有最大值是 3； 使 为直角三角形时 的值为 3 或 ；（3）点 ， ， ， 构成的四边形的面积为： 6 或 或 .【解析】【分析】（1）把点 A 坐标代入直线表达式 y，求出 a-3，把点 A、B 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2） 设：点 P（m，）， N（m，）求出 PN值的表达式，