《高等数学》练习题库

1、华中师范大学网络教育学院高等数学练习测试题库一.选择题1 .函数y=是()X2 1A.偶函数 B. 奇函数 C 单调函数 D 无 界函数2 .设 f(sin |)=cosx+1,则 f(x)为()A 2x 2 - 2 B 22x2 C 1+x2 D 1x23 .下列数列为单调递增数列的有（）D.n, n为奇数C.f(n),其中 f(n)=1nn,n为偶数1 n2n 12n4 .数列有界是数列收敛的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件既非充分也非必要5 .下列命题正确的是()A.发散数列必无界B.两无界数列之和必无界C.两发散数列之和必发散D .两收敛数列之和必收敛. , 2sin(x 1)

2、6 . lim ()x 1 x 127 .设 lim (1 k)x e6 则 k=() x x6C.充分必要条件D.无关条件8 .当x 1时，下列与无穷小(x-1 )等价的无穷小是()10、当 |x|<1 时,y=A、是连续的B 、无界函数C有最大值与最小值D 、无最小值11、设函数f (x) = (1-x) c0tx要使f (x)在点：x=0连续，则应补 充定义f (0)为()17 A、1B、e C 、e D 、-e12、下列有跳跃间断点x=0的函数为()A xarctan1/x B 、arctan1/xC tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连

3、续，则下列结论成立是()A f(x)+g(x)在点x0必不连续B、f(x) Xg(x)在点x0必不连续须有C复合函数fg(x)在点x0必不连续在点X0必不连续14、 设 f(x)=在区间(-°°,+ °°)上连续，且j贴 f(x)=0 ,则 a,b 满足()A a>0,b>0B、a>0,b<0C a<0,b>0D、a<0,b<015、若函数f(x)在点X0连续，则下列复合函数在x。也连续的有()A、I信行B 、8C tanf(x)D、ff(x)16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的(

4、)A 0, jiB、 (0,刀)C - ji/4, ji/4 D 、 (- ji/4, ji/4 )17、在闭区间a ,b上连续是函数f(x)有界的()A充分条件B、必要条件C充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) <0是在a,b上连续的函f(x)数在(a,b )内取零值的()A充分条件B、必要条件C充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有()A、 f(x)=x+1 B 、 f(x)=x-1C、 f(x)=x 2-1D 、 f(x)=5x 4-4x+120、曲线y=x2 在 x=1 处的切线斜率为()A、k=0 B 、 k=1C、 k=2 D、 -1/221

5、、若直线 y=x 与对数曲线y=log ax 相切，则( )A、eB 、 1/e C、 ex D、 e1/e22、曲线 y=lnx 平行于直线x-y+1=0 的法线方程是( )A、 x-y-1=0 B 、 x-y+3e -2 =0C 、 x-y-3e -2=0 D 、-x-y+3e -2 =023、设直线 y=x+a 与曲线 y=2arctanx 相切，则 a=()A、±1B 、士 刀/2 C 、士(刀/2+1) D 、士(刀/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f'(x o)=a,则F(-x 0)=()A、 a B-aC 、 |a|D 、025、设 y=lnYl

6、9; ,贝U y' |x =0=()A -1/2B i 1/2C、-1D 、026、设 y=(cos)sinx ,贝U y' |x =0=()A -1B 、0 C 、1D 、不存在27、设 yf(x)= ln(1+X), y=ff(x), 则 y' |x =0=()A 0 B、1/ In 2 C、1 D 、 In 228、已知 y=sinx ,贝U y(10) =()A sinx B 、cosx C 、-sinx D 、-cosx29、已知 y=x In x,贝(J y(10)=()A -1/x 9 B 、1/ x 9 C、x9D、x 930、若函数 f(x)=xsin

7、|x| ，则()A、F'(0) 不存在 B 、广(0)=0 C、F'(0)Q D、F'(0)=ji31、设函数y=yf(x)在0 ,刀内由方程x+cos(x+y)=0 所确定，则|dy/dx| x=0=()A -1 B 、0 C、刀 /2 D32、圆x2cos 0 ,y=2sin 0上相应于0 =ji /4处的切线斜率，K=()A -1 B 、0 C、1 D 、 233、函数f(x)在点X0连续是函数f(x)在X0可微的()A充分条件B、必要条件C充要条件D 、无关条件34、函数f(x)在点xo可导是函数f(x)在xo可微的()A、充分条件B 、必要条件C、充要条件D

8、、无关条件35、函数f(x)=|x| 在x=0的微分是()A、0 B、-dx C、dx D、 不存在36、极限lim (L)的未定式类型是()x 1 1 x ln xA 0/0 型 B 、oo/oo型 C、OO - OO D、oo型 137、极限lim(亚尸的未定式类型是()x x 0A 00型B 、0/0 型 C 、/型 D、s0型21x sin38、极限 limx =()x 0 sin xA 0 B 、1 C 、2 D、不存在39、x日X0时，n阶泰勒公式的余项 Rn(x)是较xSx°的()A、(n+1)阶无穷小B 、n阶无穷小C同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数 f(x)在

9、0, +s内可导，且 F(x)>0, xf(0) <0则 f(x)在0,+对内有()A、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C没有零点D 、不能确定有无零点41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为()A 2B、1/2C、1D、042、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为()A 、0B、1/2C、1D、243、若函数f(x)在(a,b)内存在原函数，则原函数有A、一个 B 、两个 C 、无穷多个 D 、都不对44、若 / f(x)dx=2e x/2+C=()A 2ex/2 B4 ex/2C ex/2 +C D ex/245、X xe-xdx = ( D)A xe-x -e

10、-x +C B -xe -x +e-x +CC xe-x +e -x +C D -xe -x -e -x +C46、设P (X)为多项式，为自然数，则/ P(x)(x-1) -ndx ()A、不含有对数函数B 、含有反三角函数C 一定是初等函数D 、一定是有理函数47、/-i°|3x+1|dx=()A 5/6 B 1/2 C -1/2 D 148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1) 2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于( )A 、刀 B 、 2刀 C 、4刀 D 、 6刀49曲线y=x2-2x 与 x 轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是A、 J! B 、6刀/1

11、5 C 、 16刀 /15 D 、32刀/1550、点（ 1， 0， -1 ）与（0， -1 ， 1）之间的距离为（）A、B 、 2 C 、 31/2D 、 2 1/251、设曲面方程（P, Q则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（ ）A、 Z=4 B 、 Z=0 C 、 Z=-2 D 、 x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）A、椭圆 B 、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程 =0所表示的图形为（ ）A原点（0, 0, 0） B 、三坐标轴C三坐标轴D、曲面，但不可能为平面54、方程3x2+3y2-z 2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（）

12、A X轴 B 、Y轴 C 、Z轴 D 、任一条直线55、方程3x2-y 2-2z 2=1 所确定的曲面是（ ）A、双叶双曲面B、单叶双曲面 C、椭圆抛物面D、圆锥曲面二、填空题1、求极限lim (x 2+2x+5)/(x 2+1)= ( )2、求极限lim (x 3-3x+1)/(x-4)+1=( )3、求极限lim x-2/(x+2) 1/2 =( )x24、求极限lim x/(x+1)x=( )5、求极限lim (1-x) 1/x = ( )x06、已知 y=sinx-cosx，求 y'| x=/6=()7、已知p =少sin少+cos少/2 ,求d p /d少|i/6=()8、已

13、知 f(x)=3/5x+x 2/5 ,求 f(0)=()9、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，贝U a=()10、函数y=x2-2x+3 的极值是 y(1)= ()11、函数y=2x3 极小值与极大值分别是()12、函数y=x2-2x-1 的最小值为( )13、函数y=2x-5x2 的最大值为(14、函数f(x)=x 2e-x在-1,1上的最小值为(15、点(0, 1)是曲线 y=ax3+bx2+c 的拐点，贝U有 b= () c=()16、X xx1/2dx=()17、若 F'(x)=f(x)，则/dF(x)=()18、若/f(x)dx=x 2e2x+c,贝U f(x)

14、=()19、d/dx / abarctantdt=()1 x t2-2 0(e 1)dt20、已知函数f(x)=,x 0 在点x=0连续， 则a=()a, x 021、/ 02(x2+1/x4)dx=()22、 4 49 x "2(1+x"2)dx=()23、/ 031/2a dx/(a 2+x2)=()24、/ 01dx/(4-x 2)1/2 =()25、/ /3"sin( ji /3+x)dx=()26、 / 4 x1/2(1+x1/2)dx=()27、 4 49 x 1/2(1+x"2)dx=()28、4 49 x "2(1+x"

15、;2)dx=()29、4 49 x "2(1+x"2)dx=()30、 4 49 x "2(1+x"2)dx=()31、 4 49 x "2(1+x"2)dx=()32、 4 49 x "2(1+x"2)dx=()33、满足不等式|x-2| <1的X所在区间为()34、设 f(x) = x +1 ，贝U f (刀 +10)=()35函数Y=|sinx| 的周期是()36、y=sinx,y=cosx 直线 x=0,x= ji/2 所围成的面积是()37 y=3-2x-x 2与 x 轴所围成图形的面积是()38、

16、心形线r=a(1+cos 8 )的全长为 ()39 三点 (1， 1 ， 2) ，(-1 ， 1 ， 2) ，(0， 0， 2) 构成的三角形为 ()40一动点与两定点(2， 3， 1)和( 4， 5， 6)等距离，则该点的轨迹方程是41、求过点（3， 0， -1 ） ，且与平面3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程是（ ）42 、 求 三 平 面 x+3y+z=1 ， 2x-y-z=0 ， -x+2y+2z=0 的 交 点 是（）43、求平行于xoz 面且经过（ 2， -5 ， 3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3, 1, -2）的平面方程是 （）45、平行于X轴且经过两点（4,

17、 0, -2）和（5, 1, 7）的平面方程是（ ）三、解答题1、设Y=2X-5乂，问X等于多少时Y最大并求出其最大值。2、求函数y=x2-54/x.（x <0=的最小值。3、求抛物线y=x2-4x+3 在其顶点处的曲率半径。4、相对数函数y=ln x上哪一点处的曲线半径最小求出该点处的曲率半径。5、求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。6、求y=ex， y=e-x 与直线x=1 所围图形的面积。7、求过（1， 1 ， -1 ） ， （-2 ， -2 ， 2）和（1， -1 ， 2）三点的平面方程。8、求过点（4 ， -1 ， 3）且平行于直线（x-3）/2=y=（z-1）/5

18、 的直线方程。9、求点（-1 ， 2， 0）在平面x+2y-z+1=0 上的投影。10、求曲线y=sinx , y=cosx直线x=0, x=ji/2所围图形的面积。11、求曲线 y=3-2x-x 2与 x 轴所围图形的面积。12、求曲线y2=4（x-1） 与 y2=4（2-x） 所围图形的面积。13、求抛物线y=-x 2+4x-3 及其在点（ 0， 3）和（ 3， 0）得的切线所围成的图形的面积。 9/414、求对数螺线r=eae及射线0 =-刀，0 二刀所围成的图形的面积。15、求位于曲线y=ex下方，该曲线过原点的切线的左方以及 x轴上方之间的图形的面积。16、求由抛物线y2=4ax 与

19、过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。17、求曲线丫=乂2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。18、求曲线y=achx/a , x=0, y=0,绕x轴所产生旋转体的体积19、求曲线x2+(y-5) 2=16绕 x 轴所产生旋转体的体积。20、求x2+y2=a2,绕x=-b ,旋转所成旋转体的体积。21、求椭圆x2/4+y2/6=1 绕轴旋转所得旋转体的体积。22、摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost) 的一拱， y=0 所围图形绕y=2a(a>0)旋转所得旋转体体积。23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。24、计算曲线y=x/3(3-x)上相应于1 WxW3的一段弧的长度

20、。25、计算半立方抛物线y2=2/3(x-1) 3被抛物线y2=x/3 截得的一段弧的长度。26、计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点 M (x,y )的弧长。27、求对数螺线r=ea0自0 =0到8 =少的一段弧长。28、求曲线r 0 =1自0 =3/4至0 4/3的一段弧长。29、求心形线r=a(1+cos 8 )的全长。30、求点 M( 4 ， -3 ， 5)与原点的距离。31、在yoz 平面上，求与三已知点 A( 3， 1， 2 ) ， B( 4， -2 ， -2 )和C(0， 5， 1)等距离的点。32、设U=a-b+2c， V=-a+3b-c ，试用 a,b,c 表示 2U

21、-3V。33、一动点与两定点（ 2， 3， 1）和（ 4， 5， 6）等距离。求这动点的轨迹方程。34、 将 xoz 坐标面上的抛物线z2=5x 绕轴旋转一周， 求所生成的旋轴曲方程。35、 将 xoy 坐标面上的圆 x2+y2=9 绕 Z 轴旋转一周， 求所生成的旋转曲面的方程。36、将 xoy 坐标面上的双曲线4x2-9y 2=36分别绕x 轴及 y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。37、求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影方程。38、求球体x2+（y-1） 2+（z-2） 2W9在xy平面上的投影方程。39、求过点（ 3， 0， -1 ） ，且与平面3

22、x-7x+5z-12=0 平行的平面方程。40、求过点M （2, 9,-6）且与连接坐标原点及点 M的线段OM垂直的平面方程。41、求过（ 1， 1， 1） ， （-2 ， -2， 2）和（1， -1 ， 2）三点的平面方程。42、 一平面过点 （1， 0， -1 ） 且平行于向量a=2,1,1 和 b=1,-1,0 ， 试求这平面方程。43、求平面 2x-y+2z-8=0 及 x+y+z-10=0 夹角弦。44、求过点(4, -1 , 3)且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。45、求过两点M (3,-2, 1)和M (-1 , 0, 2)的直线方程。46、求过点(0,

23、2, 4)且与两平面x+2z=1和y-3z=z平行的直线方 程。47、求过点(3, 1, -2)且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/1的平面方程。48、求点(-1 , 2, 0)在平面x+2y-z+1=0上的投影。49、求点P (3,-1 , 2)到直线x+2y-z+1=0的距离。50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0 在平面4x-y+z=1上的投影直线的 方程。四、证明题1.证明不等式：21 .1 x4dx 8132证明不等式2dx,(n 2),1 xn63.设f(x) , g(x)区间a,a (a 0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x) f( x)A

24、(A为常数)。证明:af (x)g(x)dx A 0 g(x)dx4.设n为正整数，证明 2cosn xsin 0112 n ,xdx n 2 cos xdx2n 05.设(t)是正值连续函数，f(x)y f(x)在 a,a上是凹的。x t (t)dt, ax a(a 0),则曲线6.证明:1 dxx1 x21 dx1 1 x27.设f(x)是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则f(x)dxT0 f(x)dx8.若f(x)是连续函数，则x ux0 0 f (t)dtdu 0 (x u)f (u)du9.设f(x) , g(x)在a,b上连续，证明至少存在一个 (a,b)使得

25、bf( ) g(x)dx g( ) f (x)dxa10.设 f(x)在a,b上连续，证明:b2a f(x)dxb 2(b a) f (x)dxa11.设 f(x)在a,b上可导，且f (x)M , f(a)0证明:rM2f (x)dx (b a)华中师范大学网络教育学院 高等数学练习测试题库参考答案选择题1-10ABABDCCDAA1120ABABBCAADC2130DCDAABCCCA3140BABDDCCAAD4150ABCDDCACCA5155DDCCA14 0填空题1. 22. 3/43. 04. e-15. e16. (31/2+1)/27. £(1+2)8. 9/259

26、. 金-1或1-310. 211. -1 , 012. -215. 0， 116. C 2 x 3/2/517. F(x) C18. 2xe2x(1+x)8623. /3a24. /626. 2(3 1/2-1)27. /228. 2/329. 4/330. 21/231. 032. 3 /233. (1,3)34. 1435.36. 7/637. 32/338. 8a39. 等腰直角40. 4x+4y+10z-63=041. 3x-7y+5z-4=042. (1,-1,3)43. y+5=044. x+3y=045. 9x-2y-2=0三. 解答题1. 当X=1/5时，有最大值1/52. X

27、=-3时，函数有最小值273. R=1/24. 在点(字,-ln2)处曲率半径有最小值3X 31/2/25. 7/66. e+1/e-27. x-3y-2z=08. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/59. (-5/3 , 2/3 , 2/3)10. 2(2 1/2-1)11. 32/312. 4X21/2/313. 9/4214. (a2 -e 2 )415. e/216. 8a2/317. 3ji/102an a c a , 22、18. 2a (e e )4219. 160 Ji220. 2712 a 2b214322. 7ji 2a323. 1 + 1/2 In 3/23 3

28、385 225. 8 519 2y,P2y226. y p y2p2227.aea2+5/1229. 8a30. 5X21/231. (0, 1, -2)32. 5a-11b+7c33. 4x+4y+10z-63=034. y2+z2=5x轴：4(x 2+z2)-9y2=3635. x+y2+z2=936. x 轴：4x 2-9(y 2+z2)=36y37. x2+y2(1-x) 2=9 z=038. x 2+y2+(1-x) 2<9 z=039. 3x-7y+5z-4=040. 2x+9y-6z-121=041. x-3y-2z=042. x+y-3z-4=043.13,344.45.

29、46.47. 8x-9y-22z-59=0 48. (-5/3,2/3,2/3)49.言50.17x 31y 37z 117 04x y z 1 0四.证明题1.证明不等式：2 m%x 813证明：令 f(x) J x4,x1,1则 f (x)4x32x32 Ji x4 v'1 ""x4 '令 f (x)0,得 x=0f(-1)=f(1)=2,f(0)=1则 1 f(x)上式两边对x在1,1上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x)进行分析，显然有f(x)1 x4.1 2xx4. (1x2)2 1 x2,于1dx11.114 .x dx11(1x2)d

30、x,故211 1 x4dx2.证明不等式2 dx0 . 1 x6，(n 2)证明：显然当x0,；时,(n>2)dx1narcsinx即，1 220 .1dxn x6，(n2)3 .设f(x) , g(x)区间a,a (a 0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件、 Iaaf(x) f( x)A(A为常数)。证明：f(x)g(x)dx A g(x)dxa0、证明:a0 f(x)g(x)dxa0f (x)g(x)dx f (x)g(x)dx aa0f(x)g(x)dx 令 x u a=f( u)g(u)dua0f(x)g(x)dxaaf (x)g(x)dx f ( x)g(x)dx

31、a0a0 f (x)g(x)dxa0 f(x) f ( x) g(x)dxaA0 g(x)dx2n 54 .设n为正整数，证明 2 cosn xsinn xdx -1 2 cosn xdx 02n 0证明：令t=2x,有ncosxsinn xdx12n 112n 1(sin 2x)nd2xsinn tdt-0又， sinntdtt u sinn(221 T n0 cos xsin xdx ”7( 0 sin tdt1n tsin tdt2n 1 0sinn tdt ,2u)du02sinnudu,二 c1 二Rnnt出)7 02sinntdt1n 人sin xdx又，2sinn xdxx t20cosn tdt,202 cosn xdx因此,22 cos0nnxsin xdx12ncosn xdx5.设(t)是正值连续函数,f(x)x t (t)dt, a x a(a0),则曲线y f(x)在 a,a上是凹的。证明:f (x)xa(xt)dta(t xx)(t)dt(x)(x)故，曲线6.证明:证明:1x1xxax(t)dta (t)dt a(x)(x)f(x)在(t)dt(t)dt2 (x)(t)dt(t)dta,a上是凹的ax (t)dtx(t)dt1x1dx2 xdx2