三元一次方程组的消元策略

1、次 方 程 组 的 消 元 策 略解三元一次方程组的基本思路是消元，即化三元为二元，从而转化为二 元一次方程组求解，这里的关键是消元，解题若能根据题目的特点，灵活地 进行消元，则可把方程组解得又准确又快捷，下面介绍几种常见的消元策略, 供同学们学习时参考.策略一若方程组中某个方程缺某个元，则可从另外两个方程消去这个 元，转化为二元一次方程求解广x + 3y+2z=2,例1解方程组 2x-y = 7I3x + 2y-4=3.分析：由于方程中缺少z项，所以先从、消去 乙简解：X +，得5x+8y=7.X8+，得21x=63,即x=3,从而，得y=1.把x=3,y=1代入，得z=1.策略二 若三个方

2、程中均未缺元，但三个方程中同一未知数的系数的绝对值相等（或成倍数关系），可消去这个元，转化为二元一次方程组求解例2解方程组2x+ 4y + 3z = 9,3x-2y + 5z5x-6y + 7z 13.分析：由于三个方程中y的系数成倍数关系，所以可先消去 y.简解：+X 2,得8x+13z=31.X 3-，得 4x+8z=20,即 x+2z=5.由、解得x=-1,z=3，从而，得y = 1策略三 若均非上述三种情况，可消去三个方程中同一未知数的系数绝对值的最小公倍数最小的那个元，转化为二元一次方程组求解 2x + 3y-4z = 3,例3 解方程组 3x+4y-5z =<5x + 7y

3、+ 6z=/3.分析：显然三个方程中x的系数的最小公倍数为最小，应先消去未知数X.简解：X 3-X2,得y-2z=-1. X 5- X 2,得 y-32z=-31.由、解得y=1,z=1，从而x=2.策略四 对于一些特殊的三元一次方程组，可根据其特殊结构，灵活处理" x + y = 1,例4解方程组 y + z =36,I十=（分析：这里的三个方程是循环对称的，故若将它们整体相加后再分别减去每个方程，则可直接得出方程组的解.简解：+，得2x+2y+2z=10.即 x+y+z=5.把分别减去、，得z=4,x=-1,y=2.三元一次方程组解法分析解三元一次方程组的基本思路是：将三元一次方

4、程组消元，转化为二元一次方程组或一元一次方程.通过解二元一次方程组或一元一次方程求到 方程组的解.下面举例说明.x y z 2例1解方程组x y 1,2x y z 分析：观察方程组中的三个方程，其中方程不含有未知数Z,可通过 -，消去未知数Z，然后把所得到的方程与方程组合二元一次方程组， 通 过解这个二元一次方程组可求到 x，y的值，进而求到原方程组的解.解：-，得x-2y= -8，由，组成方程组得解这个方程组，得x 10,y 9y2y 8把x=10，y=9代代入，得z=7,x 10,所以方程组的解为y 9,z 7.评注：解三元一次方程组的基本思想是消元，在解题过程中，应根据方程组中方程的特点

5、确定消元的方法.本题也可以采用消去未知数y的方法 得到关于x、z的方程组求解.x y z 0,例2解方程组x 2y z 32x 3y 2z 分析：观察方程组的特点，方程，中 x，z的系数相等，若用- 可以直接求到y的值，把所得的y的值代入，并组成方程组，可得到关 于x、z的二元一次方程组，解此方程组可得到 x、z的值.解：-，得y=3，把y=3代入，得x2x2z 14解这个方程组，得X 2,z 5x 2,所以原方程组的解为 y 3,z 5评注：解三元一次方程组，应注意观察其特点，根据特点灵活选择消元 方法.本题也可以直接把代入进行消元，得到y的值.X y例3解方程组y zZ X分析：方程组的各

6、个方程中所含未知数个数相等，且未知数的系数都 是1,如果将三个方程相加，则可得 x+y+z=5,用x+y+z=5减去每个方程, 可以得到方程组的解.解： + + ，得 2(x+y+z)=10,即 x+y+z=5由-,得z=4,-,得x=-1,-，得y=2.x 1,所以方程组的解为y 2,z 4.评注：本题采用整体代入消元的方法得到方程组的解 ，这是一种比较简 单的求解方法.实际上,本题也可以先用方程，消去y,把所得到的方程和 组成二元一次方程组求解.三元一次方程组消元八法消元是解三元一次方程组的关键，若能根据各未知数系数的特点，灵活地进行消元， 则可以提高解题速度。下面介绍几种消元方法。一、先

7、消系数最简单的未知数f3x y 2z 3 ,例1解方程组（2x y 3z 11，< x y z 12。分析 三个方程中，y的系数的绝对值都是1,所以先消去y比较简单解+，得5x z 14。，得x 4z 1。 5，得 19z 19，二 z 1。把z 1代入，得x 3。把x 3，z 1代入，得y 8。二、先消某个方程中缺少的未知数"4x 9z 17，例2解方程组3x y 15z18，x 2y 3z 2 o分析 因为方程中缺少y，所以由先消去y比较简单。解2得5x 27z 34。1再解由、组成的方程组，得 x 5，z 1o31把x 5， z 代入，解得y 2 o3三、先消去系数的绝对

8、值相等（或成倍数关系）的未知数"2x4y3z9，例3解方程组$ 3x2y5z11，<5x6y7z13。分析 三个方程中y的系数成倍数关系，因此先消去y比较简单。解+2，得8x 13z 31 o 3，得4x 8z 20 o9，二 z 3 o、两个方程中x的系数成倍数关系，易消去x，由2，得3z 把z 3代入，得x 1 o1把x 1， z 3代入，得y - o四、整体代入消元x y z 26，例4解方程组丫2x z y 18 ,分析 将方程左边变形为含有方程、左边代数式的形式，作整体代入便可消 元求解。解方程变形为：x y z x y y 18。把、代入，得26 1 y 18。二y

9、 9。把y 9代入，得x 9 1。二x 10。把x 10 , y 9代入，得z 7。五、整体加减消元勺x 2y z 13，例5解方程组§ x y 2z 7，<2x 3y z 12。分析 观察三个方程中未知数x、z的系数特点，可用整体加减消元法来解。 解，得2y 6， y 3。并化简，得x y 5。把y 3代入，得x 2。把代入，得5 2z 7。二z 1。六、设比值参数消元x : y=3 : 2，例6解方程组V y : z=5 : 4，x y z 66。分析 方程组中前两个方程是比例式，可用设比值参数法消元求解。解设每一份为k，则x 3k， y 2k，z 1.6k。把代入得3k 2k 1.6k 66。 k 10。则 x 3 10 30， y 2 1020，z 1.6 10 16。七、轮换相加法rx y z 11，例7解方程组 y z x 5,z x y 1 0分析 观察发现每两个方程都有两对互为相反数， 故两两相加均可同时消去两个元。 解 将三个方程两两相加再除以2，