交大版量子力学物理参考答案

1、习题 2222-1计算下列客体具有10MeV 动能时的物质波波长， （ 1）电子；（ 2）质子。解：（ 1）具有 10MeV 动能的电子，可以试算一下它的速度：12E k2E k2107 1.6 10 19光速 c ，所以要考虑相对论效应。mvv9.11 10 312m设电子的静能量为 m0 c2，总能量可写为：EE km0 c2 ，用相对论公式：E2c2 p2m02 c 4 ，可得： p1E2m02c41Ek22m0 c2 EkhhcccpEk22m0 c2 Ek6.6310 343108(1071.610 19 )22 9.1110 31(3 108 )21071.6 10 191.2 1

2、0 13 m；（2）对于具有 10MeV 动能的质子，可以试算一下它的速度：2Ek7192101.6104.4107 m / s ，所以不需要考虑相对论效应。vm1.6710 27利用德布罗意波的计算公式即可得出：hh21.676.6310 349.1 10 15 m 。p2mE10 271071.6 10 1922-2 计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为25.0kV ，（ 1）用非相对论公式； （ 2）用相对论公式。解：（ 1）用非相对论公式：hh26.6310 347.7610 12 m ；p2meU9.11 10 31 1.6 10 19 25103（2

3、）用相对论公式：设电子的静能为m0 c2 ，动能为： E k eU ，EeU m 0 c2hc7.67 10 12m 。由，有：E 2c2 p2m 02 c42m c2eU(eU )2022-3 一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距d 7.32 10 2nm ，中子的动能Ek 4.20 eV ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角。解：衍射是波的特征，中子束通过晶体发生衍射，可见中子束具有波动属性，由布拉格公式2d sink，一级极大时取 k1 ，有： sin2d，波长 可利用德布罗意波的计算公式得出：hh2 1.676.6310 341.40 10 11 m ，p2mE10 2

4、74.21.6 10 19 sin1.410 110.0956，arcsin0.0956 5.49529'。2d27.3210 1122-4以速度 v6103 m / s 运动的电子射入场强为 E5 V / cm 的匀强电场中加速，为使电子波长1A ，电子在此场中应该飞行多长的距离？1 / 5解：利用能量守恒，有：E12eU ，考虑到hh，mvp2mE2有： U1 1 ( h )21 mv 2 1 1 ( h )2mv 2 e 2m22e m116.63103429.11 1031(6103221.610191031 (1010)9.111019(4.82 10 17 3.2810 2

5、3)150.6V ，3.2太小，舍去利用匀强电场公式EU 有： dU150.60.301 m 。dE50022-5用电子显微镜来分辨大小为1nm 的物体，试估算所需要电子动能的最小值。（以 eV为单位）解：由于需要分辨大小为1 nm 的物体，所以电子束的徳布罗意波长至少为1 nm ，由 ph ，有电子的动量为：p6.6310 346.6310 25 kgm/ s ；10 9试算一下它的速度： vp6.6310 257.28 105 m / s光速 c ，m09.11 10 31p2所以不考虑相对论效应，则利用Ek，有电子动能的最小值：2m0(6.63 10 25 )219Ek2 9.11 10

6、 312.410J1.5 eV 。22-60.1A ，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为1keV，设电子的位置不确定度为计算电子能量的不确定度。解：由不确定关系： xp，有p1.05510 345.3 1024kgm / s ，x20.110 1022由 Eh cp c ，可推出：Ec p1.60 10 15 J 。h22-7氢原子的吸收谱线4340.5 A 的谱线宽度为10 2 A ，计算原子处在被激发态上的平均寿命。解：能量 E hhc ，由于激发能级有一定的宽度E ，造成谱线也有一定宽度，两者之间的关系为：Ehc，由不确定关系，Et/ 2，平均寿命t ，则：2t22(4340.51

7、010)2510 11 s 。2hc4 c4 3.14310810 122 E22-8若红宝石发出中心波长6.310 7 m 的短脉冲信号，时距为1 ns(10 9 s) ，计算该信号的波长宽度。解：光波列长度与原子发光寿命的关系为：xct ，2 / 522由不确定关系：pxx2，有： x2px 42(6.3 107)21.323 103nm。3 10810 9c t22-9设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为动量的不确定度，为粒子角位置的不确定度。Lh ，式中L 为粒子角证明：当粒子做圆周运动时，设半径为r ，角动量为：Lrmvr p ，则其不确定度Lr P ，而做圆周运动时：xr

8、，利用： Px h代入，可得到：Lh 。22-10计算一维无限深势阱中基态粒子处在x0 到 xL / 3区间的几率。 设粒子的势能分布函数为：U ( x)0 ，0x LU ( x)，x和xL0解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在0xL 之间运动时，其定态n ( x)2nxL归一化的波函数为：lsinx ， 0，ln ( x) 0 ， x0和 xL概率密度为： P (x)2 sin 2nx ， 0xLnll粒子处在 x0到 xL / 3区间的几率：Pn (x)3l 22n112n，sinx32nsinl0ll3如果是基态， n 1 ，则 Pn (x)3 2 sin2x11sin2

9、0.19519.5% 。0ll32322-11一个质子放在一维无限深阱中，阱宽L10 14 m 。（1）质子的零点能量有多大？（2）由 n2 态跃迁到 n1态时，质子放出多大能量的光子？2解：（ 1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：En h n2 8mL2n 1 时为零点能量： E1h2(6.63 10 34 ) 23.29 10 13 J。8mL28 1.67 10 27 (10 14 )2（2）由 n2 态跃迁到 n1 态时，质子放出光子的能量为：E E2E1 ( 22 1)E19.87 10 13 J。22-12对应于氢原子中电子轨道运动，试计算n3 时氢原子可能具有的轨道角动量。解：

10、当 n 3， l 的可能取值为： 0，1， 2。而轨道角动量Ll (l 1) ，所以 L 的取值为： 0， 2， 6 。22-13氢原子处于n2 ， l1的激发态时，原子的轨道角动量在空间有哪些可能取向？并计算各种可能取向的角动量与z 轴的夹角？解：（ 1） l1，所以轨道角动量：Ll (l 1)2，（2）L 的本征值可取： Lzm，由磁量子数取值范围：ml ， l1， ，l 知 m0， 1，zLz 有三个取向。夹角分别为：3 / 5Lz 0，； Lz，； Lz，3。424思考题 2222-1证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。证明：设电子轨道的半径为rn ，则电子轨道

11、的周长为2rn ，需要证明 2 rn n 。玻尔理论中，氢原子中的电子轨道为：rn220 h2n r0nme2而电子的德布罗意波长：h2 0 h21me42mEn me2（Enn 28 02 h2 ）可见电子轨道：2 rn 220 h22 0 h2n，是德布罗意波长的整数倍。nme2n nme222-2为什么说电子既不是经典意义的波，也不是经典意义的粒子？答：因为单个的电子是不具有波动的性质的， 所以它不是经典意义的波， 同时对于经典意义的粒子它的整体行为也不具有波动性， 而电子却具有这个性质， 所以电子也不是经典意义的粒子。22-3图中所示为电子波干涉实验示意图， S 为电子束发射源， 发射

12、出沿不同方向运动的电子， F 为极细的带强正电的金属丝，电子被吸引后改变运动方向，下方的电子折向上方，上方的电子折向下方，在前方交叉区放一电子感光板 A ， S1 、 S2 分别为上、下方电子束的虚电子源， S1SSS2 ，底板 A 离源 S 的距离为 D ，设 Da ，电子的动量为p ，试求：（ 1）电子几率密度最大的位置；（ 2）相邻暗条纹的距离（近似计算） 。h答：（ 1）电子的德布罗意波长：，类似于波的干涉现象，在两边的第一级明纹之间pDDh分布的电子最多，所以其几率最大的位置应该在2a之间；dp（2）相邻暗条纹的距离：DD hx。d2a p22-4在一维势箱中运动的粒子，它的一个定态

13、波函数如图a 所示，对应的总能量为4eV ，若它处于另一个波函数 （如图 b 所示）的态上时，它的总能量是多少？粒子的零点能是多少？答：由一维无限深势阱粒子的能级表达式：EnE0 n 2。在 a 图中， n 2 ，知 EE224 eV ，20所以粒子的零点能E0 1eV ；若它处于另一个波函数（图b 所示， n3）的态上时，它的总能量是： E3 E0n2E0 329 eV 。图中所示为一有限深势阱，宽为a，高为U。22-5（ 1）写出各区域的定态薛定谔方程和边界条件；（ 2）比较具有相同宽度的有限深势阱和无限深势阱中粒子的最低能量值的大小。4 / 5答：（ 1）第 I 区域定态薛定谔方程：d21( x)2mE1( x)0，（aa），d x22x42第 II 区域定态薛定谔方程：d22 ( x)2m(E U )(x)0 ，（ xaad x222和 x）；22边界条件：aaaa1(2 )2(2)， 1(2)2(2 ) 。22n2 ，最低能量值 E122（2）无限深势阱中粒子的能量表述式为En2ma2，显然与2ma 2a 的平方成反比， 粒子的自由范围越大，最低能量值越低， 应该说粒子在相同宽度的有限深势阱比在无限深势阱中的自由范围大一些，所以粒子在有限深势阱中的最低能量值低一些。22-6在钠光谱中