201x-201x学年高中数学 1.8 单调性与最值 新人教A版必修

1、整理课件开始开始 整理课件学点一学点一学点二学点二学点三学点三学点四学点四学点五学点五整理课件1.一般地一般地,设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为I:(1)如果对于定义域如果对于定义域I内某个区间内某个区间D上的两个自变量的值上的两个自变量的值x1,x2,当当x1x2时，都有时，都有 ，那么就说函数，那么就说函数f(x)在区在区间间D上是增函数上是增函数.反映在图象上反映在图象上 ，由左至右，图象连续，由左至右，图象连续.(2)如果对于定义域如果对于定义域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量的值上的任意两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有 ，那么就说函数，那么就

2、说函数f(x)在区间在区间D上是减函数上是减函数.反映在图象上反映在图象上 ，由左至右，图，由左至右，图象连续象连续.2.如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间D上是上是 ，那么，那么就说函数就说函数y=f(x)在这一区间上具有在这一区间上具有(严格的严格的)单调性，区间单调性，区间D叫叫做做y=f(x)的区间的区间 .任意任意f(x1)f(x2)单调单调返回返回 整理课件3.一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实，如果存在实数数M满足：满足：（1）对于对于 ，都有，都有f(x)M;存在存在x0I,使得使得 .那么，称那么，称M为函数为函数y=f(x)的最

3、的最大值，记为大值，记为ymax=M.(2)对于任意的对于任意的xI,都有都有f(x)M; ，使得使得f(x0)=M.那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的最小值，记的最小值，记为为ymin=M.4.函数的最大（小）值反映在图象函数的最大（小）值反映在图象上上 ，是函数图象的纵坐标，是函数图象的纵坐标.任意的任意的xIf(x0)=M最高（低）点最高（低）点存在存在x0I返回返回 整理课件学点一学点一 判定函数的单调性判定函数的单调性【分析】【分析】熟练掌握基本初等函数的图象和单调性，有利于更好地掌握熟练掌握基本初等函数的图象和单调性，有利于更好地掌握复杂的复合函数的单调性复杂的复合函数的

4、单调性. .【评析】判定函数的单调性，可以从图象上直观看出，也可以利用函数本【评析】判定函数的单调性，可以从图象上直观看出，也可以利用函数本身的性质得出身的性质得出.下列函数中下列函数中,在区间（在区间（0,+）上是增函数的是）上是增函数的是( )A.y=x2-2x+1 B.y=C.y D.yx2 1x2-2xx-2【解析】【解析】y=xy=x2 2-2x+1-2x+1在在1,+)1,+)上递增上递增, ,而在而在(0,1(0,1上递减上递减;y= ;y= 在在(0,+)(0,+)上是减函数；上是减函数；y = y = 在在0,10,1上递增上递增, ,在在1,21,2上递减上递减. .只有只

5、有y= y= 在在(-,-1)(-,-1)上递增上递增, ,在在(-1,+)(-1,+)上递上递增增, ,从而在从而在(0,+)(0,+)上递增上递增. .故应选故应选C.C.x22xx-211)-(x-2 1x2-C返回返回 整理课件下列函数，在区间下列函数，在区间(0,2)上是增函数的是（上是增函数的是（ ）A.y= B.y=2x-1C.y=1-2x D.y=(2x-1)2x1B(y= 在在(0,+)上是减函数，排除上是减函数，排除A；y=2x-1在在R上是增上是增函数，故在函数，故在(0,2)上也是增函数；上也是增函数；y=1-2x在在(0,+)上是减函上是减函数，排除数，排除C;y=(

6、2x-1)2在在(0 , ), 上是减函数，上是减函数， 在在( , 2 )上上是增函数是增函数.故应选故应选B.)x12121B返回返回 整理课件学点二学点二 单调性的判定与证明单调性的判定与证明【分析】【分析】用函数单调性定义证明用函数单调性定义证明.求证：函数求证：函数f(x)=- -1在区间在区间(-,0)上是单调增函数上是单调增函数.x1【证明】【证明】对于区间对于区间(-,0)内的任意两个值内的任意两个值x1,x2，且，且x10,x1x20,因为因为f(x2)-f(x1)=(- -1)(- -1 )= - = ,所以所以f(x2)-f(x1)0，即，即f(x1)f(x2),故故f(

7、x)= - -1 在区间在区间(-,0)上是单调增函数上是单调增函数.21x11x11x2112xxxx x121x【评析】证明函数在某个区间上是增函数或减函【评析】证明函数在某个区间上是增函数或减函数，用定义证明是最基本的方法，步骤是：设值、数，用定义证明是最基本的方法，步骤是：设值、作差、变形、判断符号、下结论作差、变形、判断符号、下结论.返回返回 整理课件设设x1,x2是是(-,+)内的任意两个实数，且内的任意两个实数，且x10, 0,(x2-x1)( + x2x1 + ) 0,即即f(x1)f(x2).函数函数f(x)=-x3+1在在(-,+)上是减函数上是减函数.x31x32x22x

8、2121212x43x21x21212x43x21xx22x21根据函数单调性的定义证明：函数根据函数单调性的定义证明：函数f(x)=-x3+1在在(-,+)上上是减函数是减函数.返回返回 整理课件学点三学点三 利用图象求函数单调区间利用图象求函数单调区间【分析】【分析】先将函数解析式化简，变为熟悉的基本函数先将函数解析式化简，变为熟悉的基本函数.作出函数作出函数f(x)= 的图象，并指出函数的图象，并指出函数f(x)的单调区间的单调区间.96xx96x-x22由图象知函数的单调区间为由图象知函数的单调区间为(-,-3,-3,3,3,+).其中单调减区间为其中单调减区间为(-,-3,单调增区间

9、为单调增区间为3,+),常函数区间为常函数区间为-3,3.图象如图所示图象如图所示.【解析】【解析】原函数可化为原函数可化为 f(x)=|x-3|+|x+3| -2x,x-3, 6,-33.返回返回 整理课件【评析】（【评析】（1）利用函数图象确定函数的单调区间，具）利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法：先化简函数式，然后再画出它的草图，最后体做法：先化简函数式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间调区间.显然函数的增区间为显然函数的增区间为x2,x3,x4,x5,减减区间为区间为x1,x2,x3,x4,

10、x5,x6.（ 2）利用图象求函数单调区间是最基本、最直观的方）利用图象求函数单调区间是最基本、最直观的方法，只要作出图象，求单调区间很容易，如法，只要作出图象，求单调区间很容易，如y=f(x).图象图象如下图所示：如下图所示：返回返回 整理课件求函数求函数y=-x2+2|x|+3的单调区间的单调区间.“脱去脱去”绝对值符号，画出函数图象，如图所示，从图象绝对值符号，画出函数图象，如图所示，从图象观察得出观察得出.当当x0时，时，y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当当x0时，时，y= -x2-2x+3=-(x+1)2+4.如图所示，在如图所示，在(-,-1，0,1上，上，函数是增函数；

11、在函数是增函数；在-1,0,1,+)上，函数是减函数上，函数是减函数.返回返回 整理课件学点四学点四 利用单调性求变量范围利用单调性求变量范围(一）在具体函数中利用单调性求变量范围一）在具体函数中利用单调性求变量范围（1）已知）已知f(x)=x2+2(1-a)x+2在在(-,4上是减函数，求实上是减函数，求实数数a的取值范围的取值范围;（2）已知）已知f(x)=-x3+ax在在(0,1)上是增函数，求实数上是增函数，求实数a的取的取值范围值范围.【分析】二次函数是我们最熟悉的函数，只要遇到二次二次函数是我们最熟悉的函数，只要遇到二次函数就画图象，也可以不将图象画出，而在脑海中出现，函数就画图象

12、，也可以不将图象画出，而在脑海中出现，就会给我们研究问题带来方便就会给我们研究问题带来方便.对于不熟悉的函数，可以对于不熟悉的函数，可以利用单调函数的定义去研究与单调性有关的问题利用单调函数的定义去研究与单调性有关的问题.返回返回 整理课件【解析】【解析】（1）要使）要使f(x)在在(-,4上是减函数，由二次函数的上是减函数，由二次函数的图象可知，图象可知，只要对称轴只要对称轴x 即可，即可，解得解得a5.（2）设）设0 x1x20,f(x2)-f(x1)=(- +ax2)-(- +ax1)=( - )+a(x2-x1)=(x1-x2)( +x1x2+ -a)0,f(x)在在(0,1)上是增函

13、数上是增函数,又又x2-x10, +x1x2+ -a +x1x2+ ,又又0 x1x21, +x1x2+ 0时，要使时，要使f(x)在在1,+)上是增函数，上是增函数， a0 1 （ 3）当当af(a-1)+2，求，求a的取值范围的取值范围.【分析】【分析】从两点考虑：一是常数从两点考虑：一是常数2与与f(3)是什么关系？是什么关系？可由可由f(xy)=f(x)+f(y)找出；二是在不等式找出；二是在不等式f(a)f(a-1)+2中怎样中怎样“脱脱”去去“f”.【解析】【解析】f(xy)=f(x)+f(y)，且，且f(3)=1,f(9)=f(33)=f(3)+f(3)=2f(3)=2.又又f(

14、a)f(a-1)+2, f(a)f(a-1)+f(9),即即f(a)f9(a-1),返回返回 整理课件【评析】（【评析】（1）抽象函数不等式的一般解答方法是利）抽象函数不等式的一般解答方法是利用单调性用单调性“脱号脱号”.（2）“脱号脱号”时莫忘定义域对自变量的限制时莫忘定义域对自变量的限制.由单调函数的概念得由单调函数的概念得解得解得1a .a的取值范围是的取值范围是1a0,求求实数实数m的取值范围的取值范围.由由f(m)+f(2m-1)0得得f(m)-f(2m-1),f(-x)=-f(x)，f(m)f(1-2m).由由f(x)是是(-2,2)上的减函数可得上的减函数可得解得解得- m .所

15、求实数所求实数m的取值范围是的取值范围是- m x11，则，则f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+ =(x2-x1)（1- ）.x2x11,x2-x10,x1x21, 1,212x1)2x12x1(1221x2x121x2x1学点五学点五 利用单调性研究函数最值利用单调性研究函数最值【分析】【分析】利用函数单调性求函数最值利用函数单调性求函数最值.已知函数已知函数f(x)= ,x1,+).(1)当当a= 时时,求函数求函数f(x)的最小值；的最小值；(2)若对任意若对任意x1,+),f(x)0恒成立恒成立,试求实数试求实数a的取值范围的取值范围.xa2xx221返回返回 整理课件【评析】函

16、数【评析】函数f(x)在区间在区间a,b(a0,f(x2)-f(x1)0,f(x)在区间在区间1,+)上为增函数上为增函数,f(x)在区间在区间1,+)上的最小值为上的最小值为f(1)= .(2)在区间在区间1,+)上上,f(x)= 0恒成立恒成立x2+2x+a0恒成立恒成立. 设设y=x2+2x+a ,x1,+),则则y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1递增递增. 当当x=1时时,ymin=3+a, 于是于是,当且仅当当且仅当ymin=3+a0时时,函数函数f(x)0恒成立恒成立,故故a-3.21x2x127xa2xx2返回返回 整理课件求函数求函数f(x)=x2-2ax-1在区间在区间

17、0,2上的最值上的最值.由由f(x)=(x-a)2-a2-1，因为，因为x0,2,(1)当当0a2时，时，f (x) min=f(a)= -a2-1.当当0a1时，时，f (x) max=f(2)=22-4a-1=3-4a；当当1a2时，时，f (x) max=f(0)=-1.(2)当当a2时，时，f(x)min= f(2)=3-4a, f(x) max=f(0)= -1.返回返回 整理课件（1 1）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言，有的函）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言，有的函数在整个定义域内具有单调性，如一次函数数在整个定义域内具有单调性，如一次函数y=2x+6y=2x+6等

18、等. .有有的函数分别在定义域内的某些区间上单调，但在整个定义的函数分别在定义域内的某些区间上单调，但在整个定义域上却不单调，如反比例函数域上却不单调，如反比例函数y= y= 等，所以函数等，所以函数f(x)f(x)在给在给定区间上的单调性，反映了函数定区间上的单调性，反映了函数f(x)f(x)在区间上函数值的变化在区间上函数值的变化趋势，是函数的局部性质趋势，是函数的局部性质. .（2 2）函数在某一点处的单调性无意义，书写函数的单调区）函数在某一点处的单调性无意义，书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间. . （3 3）函数定义中的）函数定义中的x x1 1,x ,x2 2应深刻理解，一是任意性，即应深刻理解，一是任意性，即“任任意取意取x x1 1,x ,x2 2”,“”,