D101一致收敛ppt课件

1、第十章函数项级数机动 目录 上页 下页 返回 完毕 函数项级数函数项级数一致收敛性一致收敛性幂级数幂级数收敛性收敛性性质性质函数的幂级数展开函数的幂级数展开函数项级数的一致收敛性函数项级数的一致收敛性第一节第一节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念二、函数项级数的一致收敛性二、函数项级数的一致收敛性 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第十章 一、一、 函数项级数的概念函数项级数的概念设121)()()()(nnnxuxuxuxu为定义在区间 I 上的函数项级数 .对, I0 x若常数项级数10)(nnxu敛点敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;若常数项级数10)(nnxu为定义在区间

2、 I 上的函数, 称收敛,发散 ,所有0 x称为其收 0 x称为其发散点, ),2, 1()(nxun发散点的全体称为其发散域 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 , )(xS为级数的和函数 , 并写成)()(1xuxSnn若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余项)()()(xSxSxrnn则在收敛域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函数项级数前 n 项的和, 即在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例如例如, 等比级数等比级数它的收敛域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的发散域是或

3、写作.1x又如又如, 级数级数, )0(02xnxxnnn,)(limxunn级数发散 ;所以级数的收敛域仅为. 1x,)1,1(时当x有和函数 ,1时收敛当x,10时但当 x机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、函数项级数的一致收敛性二、函数项级数的一致收敛性机动 目录 上页 下页 返回 完毕 对于有限个函数的和,有以下的性质：(1) 有限个连续函数的和仍是连续函数;(2) 有限个连续函数的和的积分等于各函数积分的和;(3) 有限个可导函数的和仍是可导函数,其导数等于各函数导数的和.问题的提出问题的提出:对于函数项级数, 是否有上述的性质?更具体地更具体地, 机动 目录 上页 下页 返回

4、完毕 设)()(1xuxSnn, Ix记)()(1xuxSnkkn1)假设)(xun为I上的连续函数,问)(xS是否仍为I上的连续函数,即对于,0Ix ?)(lim)(lim1100 xuxunnxxnnxx(或者?)(limlim)(limlim00 xSxSnxxnnnxx2)假设)(xun为I上的连续函数,问)(xS是否在I上可积,且?)()(11xdxudxxunInInn(或者?)(lim)(limdxxSdxxSnInnnI机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3)假设)(xun为I上的可导函数,问)(xS是否在I上可导,且?)()(11nnnnxudxdxudxd(或者?)(lim

5、)(limxSdxdxSdxdnnnn上述问题的答案是否定的！上述问题的答案是否定的！例如例如, 级数级数)()()(1232nnxxxxxxx每项在 0,1 上都连续, 其前 n 项之和为,)(nnxxS和函数)(lim)(xSxSnn10 x, 01x, 1该和函数在 x1 连续.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 22222sin22sin1sinnxnxx又如又如, 函数项级数函数项级数在 (, +)收敛,但逐项求导后的级数 xnxx22cos2coscos其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .定义定义1.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 设)(xSn为区间 I 上的函数,

6、若对于任意 0,都有一个只依赖于 的自然数 N , 使得 当n N 时, )()(xSxSn对区间 I 上的一切 x 都有则称该函数序列在区间 I 上一致收敛于函数S(x) .记为)()(xSxSIn注注:假设),()(xSxSIn那么.),()(limIxxSxSnn说明：说明：假设 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )(xSn为级数 )(1xunn在区间 I 上的部分和, S(x) 为和函数,),()(xSxSIn则称该函数项级数在区间I 上一致收敛于和函数S(x) .显然, 在区间 I 上 )(1xunn一致收敛于和函数S(x)部分和序列)(xSn一致收敛于S(x) 余项 )(xrn一

7、致收敛于 0 几何解释几何解释 : (如图如图) )(xSy)(xSyIx)(xSy , 0,ZN当n N 时,表示)()(xSxSn曲线 )()(xSyxSy与总位于曲线)(xSyn)(xSyn之间.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理1. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 设)(xSn为区间 I 上的函数序列,则以下的三个条件是等价的:(1);()(xSxSIn(2) 记|,)()(|supxSxSSSnIxn那么; 0limSSnn(3) 对任意的数列,Ixn成立. 0| )()(|limnnnnxSxS证证: (1)(2)(3)(1)证明证明 (1) (2)定理2 目录 上页

8、 下页 返回 完毕 ),()(xSxSIn, 0),(NN 使得 当n N 时, )()(xSxSn对区间 I 上的一切 x 都有即此时有,| )()(|supxSxSSSnIxn故; 0limSSnn(2)(3)对,Ixn显然,SSxSxSnnnn| )()(|)(0n. 0| )()(|limnnnnxSxS证明证明 (3) (1)定理2 目录 上页 下页 返回 完毕 用反证法. 假设)(xSn在区间 I 上不一致收敛于),(xS那么, 00对任意的正整数N,存在 nN 和, Ixn使得 .)()(0nnnxSxS因而,取, 1N, 11n,1Ixn使得 .)()(0111nnnxSxS取

9、,1nN ,12nn ,2Ixn使得 .)()(0222nnnxSxS 取,knN ,1kknn, Ixkn使得 .)()(0kkknnnxSxS . 0| )()(|limkkknnnkxSxS矛盾！ 例例1. 设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 nnxxS)(在 0,1 上不一致收敛 . ,证明)(xSn证证: )(lim)(xSxSnn10 x, 01x, 11| )()(|sup1 , 0 xSxSSSnn在 0,1 上不一致收敛 . 故)(xSn说明说明: 从这个例子可以看出,当x越靠近0,nnxxS)(的收敛速度越快,而越靠近1,其收敛的速度越慢.这种收敛速度不同是造成“不一致性的原因,而一致收敛就是要保证在整个的区间上的收敛速度保持一个整体的“一致性”.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 注注: 例1中,如果把区间改成0, c, 0c K 时, 3| )()(|,3| )()(|0000 xSxSxSxSkknNnN此时, | )()(|)()(0 xSxSxSxSNnNnnNkkk.| )()(| )()(|0000 xSxSxSxSNnk机动 目录 上页 下页 返回 完毕 又)(xSn对于每个固定的,bax关于n是单调的,所以 当nN，k K 时, 0)()()()(kkkknnNnnnxSxSxSxS这与假设矛盾！例例4.在 0,1 上一致收敛 . 证明)1