全国大学生数学竞赛预赛试题

1、第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题 5 分，共 20分）1计算_轴所围成三角形区域 .，其中区域 由直线 与两坐标2设是连续函数，且满足3曲面平行平面 的切平面方程是 .4设函数由方程 确定，其中 具有二阶导数，且 ，、（ 5 分）求极限，其中 是给定的正整数 .三、（ 15 分）设函数连续，且求 并讨论 在处的连续性 .， 为常数，四、（15 分）已知平面区域， 为 的正向边界，试证：（1）2）五、（10 分）已知， ，数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程 .六、（ 10 分）设抛物线过原点 . 当时, 又已知该是某二阶常系抛物线与 轴及直线 所围图形的面积为 . 试

2、确定 , 使此图形绕 轴旋转 一周而成的旋转体的体积最小 .七、（15 分）已知 满足 , 且 , 求函数项级数之和 .大量.八、（10 分）求时, 与 等价的无穷第二届全国大学生数学竞赛预赛试题、（ 25 分，每小题 5 分）1）设其中 求3）设 ，求4）5）设函数 有二阶连续导数，与直线求直线，求的距离。15 分 ） 设 函 数 在 上 具 有 二 阶 导 数 ， 并 且且存在一点 在 恰有两个实根。，使得 , 证明：方程三、（ 15 分）设函数 由参数方程 所确定，其中 具有二阶导数，曲线 与 在 出相切，求函数 。四、（ 15 分）设 证明：1）当 时，级数（ 2）当且 时，级数 发散

3、。五、（ 15 分）设 是过原点、方向为 ，（其中 的直线，均匀椭球 ，其中（密度为 1）绕 旋转。（ 1）求其转动惯量；（ 2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。的 值 为 常 数 。 （ 1） 设 为 正向 闭 曲 线六、（15 分） 设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分（2）求函数；（ 3）设 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 。证明第三届全国大学生数学竞赛预赛试题 计算下列各题（共 3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）1） . 求2） . 求（3）已知二（ 10 分）求方程 的通解。三（ 15 分）设 函 数 f（x） 在 x=0 的 某邻 域

4、内 具有 二阶连 续导 数，且均不为 0，证明：存在唯一一组实数，求 。，使得设 ， 其 中 ， 为 与 的交线，求椭球面 在 上各点的切平面到 原点距离的最大值和最小值。四 （ 17 分 ）五（16 分）已知 S是空间曲线部分（ ）取上侧， 是 S 在点处的切平面，绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半是原点到切平 面 的 距离，表示 S 的正法 向的方向余弦 。计 算： （1）2）六（ 12 分）设 f（x） 是在 内的可微函数，且，其中 ， 任取 实 数 ， 定 义 证明 ：绝对收敛。七 （ 15 分 ） 是 否 存 在 区 间上 的 连 续 可 微 函 数 f（x） ， 满 足，？请说明理由

5、。第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一. 每题 6 分共 30 分2. 求 极 限3. 求通过直线 的两个相互垂直的平面 ，是其中一个平 面过点（ ）；4. 已知函数方程 ；5. 设函数连续可微，与路径无关，求 ；且 ，确定常数 和 ，使函数 满足在右半平面上10分）计算三. （ 10分）求方程的近似解，精确到 ；四. （12 分）设函数二阶可导，且 ，求，其中 是曲线 上点 处切线在 轴上的截距；五. （12 分）求最小实数 ，使得对满足 的连续的函数 ，都有 ；六. （12 分）设为连续函数， ，区域 是由抛物面 和球面所围起来的上半部分，定义三重积分 ， 求；七. （14 分）设 与 为正

6、项级数那么（ 1）若，则收敛；（ 1）若，则若 发散， 收敛。第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷解答下列各题（每小题 6 分共 24 分）1. 求极限 . 2. 证明广义积分 不是绝对收敛 的3. 设函数 由 确定，求 的极值。4.过曲线 上的点 A 作切线，使该切线与曲线及 轴所围成的平面 图形的面积为 ，求点 A 的坐标。12 分）计算定积分三、（ 12 分）设 在 处存在二阶导数 ，且 。证明 ：级收敛。四、（ 12 分）设，证明五、（ 14 分）设 是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面 ，使积分 I 的值最小，并求该最小值。14 分 ） 设六、， 其 中 为 常

7、 数 ， 曲 线 C 为 椭 圆，取正向。求极限七（14 分）判断级数的敛散性，若收敛，求其和。第六届全国大学生数学竞赛预赛试题一 填空题 （ 共有 5 小题，每题 6 分，共 30 分 ）1. 已知 和 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是2. 设有曲面 和平面 是_则与 平行的 的切平面方程3. 设函数 由方程所确定4.设。则5. 已知。则12 分）设 为正整数，计算三 （14 分）设函数在 上有二阶导数，且有正常数 使得。证明：对任意 ，有 。四 （ 14分）（ 1）设一球缺高为 ，所在球半径为 。证明该球缺体积为。球冠面积为；（ 2）设球体所截得小球缺为 ，记球冠为 ，被平面方向指向球外。求第二型曲面积分五 （15 分）设 在 上非负连续，严格单增，。求且存在 ，使得六 （15 分）设。求第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷、填空题（每小题 6 分，共 5 小题，满分 30 分）1）（3）曲面 是的切平面与曲面所围区域的体积（ 2）设函数由方程导数，且 。则在点所决定，其中 具有连续偏（4） 函 数 是在 的 傅 立 叶 级 数 在 收 敛 的 值（ 5）设区间 上的函数 数表达式是 . 二、（ 12 分）设 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。三 、（12 分 ）设 在定义域为的，则 的初等函，有 ，则内二次可导，且存在常数 ，使得 对于在 内无穷