基于压缩传感的图像重构研究与实现

第3章基于压缩传感理论的图像重构算法3.1最小L0范数模型从数学的角度，基于CS理论的信号重建问题的关键在于找出欠定方程组(其方程的数量比待解的未知数少)最简解的问题，L0范数表示的就是信号中非零元素的个数，可以结果尽量稀疏。正常情况下用下式来描述最小L0范数的最优化问题：s.t.(3﹣1)实际中是允许存在着一定误差的，与此同时把最开始的最优化问题简化成了更简单的近似形式求解，是一个很小的常量：s.t.(3﹣2)但从另一方面来说，这种问题的求解数值计算式是不稳定的，不容易直接求解。匹配追踪类稀疏重建算法就是来解决此问题的，也最先提出有PM算法和OPM算法的。3.2匹配追踪算法本实验中所用到的匹配追踪算法是在每一次的迭代过程中，在传感矩阵中选择与信号匹配度最高的原子进行稀疏逼近并求出余量，从中找出与信号余量最匹配的原子。经过很多次迭代以后，这个信号就可以用一些原子线性表示。但因为信号本身在传感矩阵的列向量上是非正交性的投影，这便使得每一次迭代后的结果有可能不是最优解（次最优），所以为了得到更好的收敛效果需经过很多次迭代才能满足要求。对于匹配追踪类算法它是通过求余量r同传感矩阵中各个原子之间内积的绝对值，用于计算相关系数u：(3﹣3)同时采用最小二乘法进行信号逼近以及余量更新:(3﹣4)(3﹣5)3.3正交匹配追踪算法(OMP)本文仿真采用的算法是通过压缩传感的正交匹配追踪算法进行重建图像。以下将着重阐明本算法的原理、实现步骤和基于OPM算法实现流程。3.3.1OMP算法原理正交匹配追踪算法其实是应用原子选择准则，把所选的原子用Gram-Schmidt正交化方法进行正交处理，然后把采样信号投影在这些正交原子所构成的空间上，得到的其信号在已选原子上的分量和余量，同样的方法来分解余量。每一步的分解之中，原子都需满足一定条件，所以余量会随着分解的过程减小的快。用递归的方式既保证了迭代的最优性，又解决了匹配追踪算法中为了得到更好的收敛效果通常需要经过很多次迭代的问题。一定的迭代次数是正交匹配追踪算法的重建前提，强制迭代过程停止的方法让OMP保证足够多的线性测量结果进而保证精确重建。总之，用贪婪迭代的方法所选择每一次迭代的列与当前冗余向量最大程度相关，并在测量向量中减掉相关的部分，多次迭代达到稀疏度后，进行强制迭代停止。3.3.2OMP算法实现步骤OMP算法的具体步骤如下：(1)首先初始余量，迭代次数，索引值集合，；(2)计算相关系数u,并将u中最大值对应的索引值存入中；(3)更新支撑集，其中；(4)应用(式3﹣4)就可得到，同时用(式3﹣5)对其余量进行更新；(5)若，令，，转步骤(2)；否则，停止迭代。3.3.3OMP算法的实现流程OMP算法只可对稀疏信号做精确重构，为了仿真OMP首先需要把观测图片转换成稀疏信号，例如FFT、DCT和小波变换等方式。本文在Matlab软件中编程来进行OMP算法的仿真分析。具体流程为读入图片的同时及时获取图片的大小，并转化成为稀疏信号进行压缩，在系统中生成测量矩阵，最后通过OMP算法在接收端解码为原信号，形成一个传输的整体流程。3.4本章小结本章介绍了正交匹配追踪的重建算法，得出了最小L0范数的模型，并阐述了匹配追踪的算法大概，着重介绍了正交匹配追踪这一分支算法，详细介绍了他的算法原理，实现步骤和实现流程，为后文的仿真做算法基础。第4章图像重构及试验结果的分析4.1不同采样率下的仿真结果4.1.1OMP算法对一维信号的仿真应用Matlab编写的正交匹配追踪算法来进行仿真实验。首先，我们选取一组一维的正弦信号，即。原始信号生成图如图4-1所示：图4-1原始信号其中原始信号x的值为f1=50，f2=100，f3=200，f4=400的混频，其中采样间隔fs=800的256长度的序列，其稀释度为7。之后令观测向量M的长度为64，即采样率M/N=0.25来对其进行重建仿真。重建信号生成图如图4-2所示：图4-2M=64时，原始信号、重构信号对比图由图4-2中仿真后原始信号和重构信号的效果对比可知，当M=64时，较好的恢复出原始信号。经计算可知二者的相对误差在6.8680e-014左右。由于测量值M必须满足，当M取最小值即M=40时，OMP的重构算法的恢复效果如图4-3所示：图4-3M=40时，原始信号、重构信号对比图由仿真的结果，可知应用OMP算法对一维信号的重构效果更好，当采样值较低时也可以精确的恢复原始信号，误差小、收敛性好的特点，其相对误差在5.9352e-014左右。以下将采用二维图像来进一步分析其效果。4.1.2OMP算法对二维图像的仿真通过上述OMP算法的Matlab编程分析可知，在图像处理的过程中需进行如FFT、DCT、小波变换等的图像变换，把图像转换成对应基下的稀疏系数，之后对系数矩阵按列处理，并把处理得到的系数反变换得到稀疏重构的图像。重构算法仍然采用正交匹配追踪算法。原始图像如图4-4所示：图4-4原始图像仿真生成图如图4-5所示：图4-5OMP二维原始、恢复图像对比图为了使图像更为稀疏，对原图像进行小波变换，并做一个N*N的正交矩阵，在应用正交矩阵时查阅并分析了大量的文献，找到了其原因是正交基矩阵与原图像并不相关，在重构时相应地减少了迭代次数。原始信号在小波变换后，变得更为稀疏，其高频段的信息所剩无几，这样变换后图像会缩小很多。之后对小波变换信号进行相应测量和重构，并在其重构信号后，经小波逆变换输出复原图像（过程中测量数取值为M=190）。由此看出，正交匹配算法对二维信号的重建效果较为清晰。为了使OMP算法在不同采样率下的效果更为直观，实验中还给出了OMP算法在不同采样率位0.1，0.3，0.5，0.7，0.9时重建后的PSNR值，如表4-1所示：表4-1不同数据下实验结果值比较加噪后信噪比（dB）噪声系数重构后峰值信噪比（dB）重构时间(s)1106.13050.112012.62800.313026.80540.514030.13590.715030.61270.9从以上表格中可知，随采样率M/N值逐渐的增大，PSNR值也会逐渐增大。接下来，我对Lena256*256图像在采样率（M/N）分别为0.9，0.7，0.5，0.3和0.1的情况下又分别做仿真分析，其恢复图像如图4-6所示：恢复的图像,恢复的图像,采样率=0.9恢复的图像,恢复的图像,采样率=0.7恢复的图像,采样率=0.5图4-6OMP在不同采样率下恢复图像对比图4.2（OMP）算法与多种压缩传感算法的仿真比较在图像重建过程中，本文同时采用了基追踪重构算法、正交匹配追踪算法和分段正交匹配追踪FDR阀值算法，进行了相应的仿真，并对仿真结果做以对比。对于基追踪算法(BP)，其观测数比信号长度要小，所以在信号重构时需要解决求解欠定方程组这一关键问题。通常，欠定方程组是解不出来的，但正因信号是可压缩的或者说信号是稀疏的，以此可求解，在观测矩阵中具有有限等距性(RIP)，这是精确恢复观测值信号的一种理论支撑。BP算法就是基于以上的原理达到重构与对白噪声去噪的操作。它的目的是为了运作此定方程的解。正交匹配追踪算法需要在重构时的每一次迭代中得到支撑集的一个原子，这是通过递推原理对已选择的原子几何做正交化来选择迭代的最优性解，同时也减少了迭代的次数。分段正交匹配追踪FDR阀值算法同前两种算法相比迭代次数更少，并且该算法对OMP算法还有一定程度上的优化，通过采用逼近精度，能够进一步提高运算速度，从而在整个恢复原始图像的过程中节约了更多的时间。

表4-2不同数据下实验结果值比较加噪后信噪比（dB）噪声系数重构后峰值信噪比（dB）重构时间(s)11031.93142.686012027.82711.248413023.97030.70514025.58281.80115039.843857.038本文选用的原始图片如图4-7所示：图4-7原始图像在选好原始图片后,需要对图片读取数据x=imread('lena.bmp')；[m,n]=size(x)。其方法是对原始数据的每列作小波变换后再对每一列做压缩传感，同时采用BP，OMP，STOMP_FDR算法进行仿真分析。仿真结果如下图4-8所示：图4-8原始图像与BP、OMP、STOMP_FDR恢复对比图在图4-8中图像的重构质量上可见，OMP算法的重建效果不如BP算法，但相比于STOMP_FDR算法稍好。可是从重建时间来看，OMP算法却不如STOMP_FDR但比BP算法好很多。由此表明：OMP算法是一种能够兼顾重构时间和重构质量的优化算法，实用性强。4.3本章小结本章在MATLAB软件中进行一维信号和二维图像的重构的仿真实验，为得到较好的图像重构效果，本章应用了加噪后图像的稀疏分解方法从而对原始图像和噪声进行分块化，对于去噪后的重构图像，对比观察其与原始图像的差异，最后得出了OMP算法的重构精度较高。

结论目前科技发展日新月异，人们对压缩传感的研究也越来越深入，随着技术的成熟，现在来看过去的普通采样定理技术面对目前的数据更新要求和科技水平要求已经显得力不从心，面对对数据数量和速度要求高的传输框架上已经满足不了实际应用的要求。目前通过本文的简要介绍研究，也可以对比出压缩传感理论相较普通采样的优点，最明显的是对带宽和频率要求限制放宽了许多，并且压缩传感理论的实质就是能够在采集信号的时候直接进行压缩，这样首先避免了如果分为两个步骤可能丢失信号的情况，还能减少采集的时间和成本，打破了采集信号固有的步骤衔接。压缩传感在稀疏信号和正交匹配算法研究上都具有很广阔的研究前景和良好的研究价值，这也是目前大多学者对其倾注心血的重要依据。本文对算法和压缩传感理论进行了研究仿真，经过以上从一维信号到二维图像的压缩传感重建仿真实验结果可以得出下述结论：（1）正交匹配算法对一维信号的还原恢复能力较强。（2）正交匹配算法对二维图像信号的重构效果不是最理想的，但其具有重建时间短的特点。对于基追踪算法来说，其还原图像效果是最为清晰的，但其重建时间相比于其它两种算法要长很多。对于分段正交匹配追踪FDR阈值算法来说，其重建时间虽然很短，但其恢复图像的能力是很差的。（3）正交匹配算法是一种能够兼顾重构时间和重构质量的算法，通常来讲正交匹配追踪算法对图像重建要求不高的情况下还是比较实用的。

参考文献化瑞．基于压缩传感的图像重构算法与研究［D］．江苏大学．2016．王琳，贾晓璐，聂伟等．基于平衡Gold序列的压缩感知测量矩阵的构造［J］．仪器仪表学报．2014(01)于华楠，杜瑶，马聪聪．电力系统信号与数据的压缩传感技术综述［J］．仪器仪表学报，2017，38(08)：1943-1953．赵爱罡．基于新型多形态稀疏表示的压缩感知图像重构算法研究［D］．燕山大学．2012．蒋业文，于昕梅．基于DWT的多尺度分块变采样率压缩感知图像重构算法［J］．中山大学学报自然科学版．2013(03)．Y．TsiagandD．Donoho，＂Extensionsofcompressedsensing［J］＂SignalProcessing，vol.86，pp．533－548，March2006．Therestrictedisomotrypropertyanditsimplicationsforcompressedsensing［D］．EmmanuelJ．Candes．Competesrendus－Mathematique．2008(09)．任倩倩．传感器网络中感知数据压缩技术研究［D］．黑龙江大学．2006．郭振龙．基于MCA图像表示的压缩传感图像处理［D］．江西理工大学．2016．林梦然．基于压缩传感的核磁共振成像方法研究［D］．重庆大学．2016．杜瑶．基于压缩传感的同步相量测量算法研究［D］．东北电力大学．2018．张格森．压缩传感理论及若干应用技术研究［D］．哈尔滨工程大学．2012．李志林．图像压缩感知重建算法研究［D］．北京交通大学．2012．郎利影，王勇，李思骞．基于压缩感知OMP改进算法的图像重构［J］．电视技术．2015(06)．郑梅军．压缩传感理论的重建算法研究［D］．华中科技大学，2013．致谢在本文的实验及撰写过程中，学校为我提供了巨大的帮助，更要感谢我的指导老师于华楠老师，在我遇到难题时能够耐心的指引我完美的完成了毕业设计的相关工作。同时于老师治学和学术科研的态度也对我产生了很深刻的影响。踏实认真，实事求是，是我毕业设计中最为重要的收获，为我将来的人生打下了深厚的基础，并且于老师在专业知识和视野的开拓上也给予我深深的启迪。另外，我还特别感谢学长学姐以及同学们的帮助。他们的认真努力，勤劳善良，乐观开朗我都会铭记于心。四年的本科生活有他们的陪伴，我觉得很幸福。同时，我也要感谢我的父母，是他们在背后一直默默地支持着我，二十多年的关心和鼓励，是我一直坚定前进的动力。真心感谢他们的付出，才会成就今天的我，我会用我的努力来报答他们的。另外，我要感谢我的朋友们，在我遇到困难和挫折时，是他们在认真地倾听，并且帮助我走出困境，感谢他们的陪伴。最后，我要感谢各位专家和评委们，感谢在百忙中对我提出的宝贵意见！附录程序1：一维原始信号的生成程序：clc;clear%%1.时域测试信号生成K=7;%稀疏度(做FFT可以看出来)N=256;%信号长度M=64;%测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)f1=50;%信号频率1f2=100;%信号频率2f3=200;%信号频率3f4=400;%信号频率4fs=800;%采样频率ts=1/fs;%采样间隔Ts=1:N;%采样序列x=0.3*sin(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*sin(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*sin(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*sin(2*pi*f4*Ts*ts);%完整信号plot(x,'r')%原始信号

程序2：一维重建信号的生成clc;clear%%1.时域测试信号生成K=7;%稀疏度(做FFT可以看出来)N=256;%信号长度M=64;%测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)f1=50;%信号频率1f2=100;%信号频率2f3=200;%信号频率3f4=400;%信号频率4fs=800;%采样频率ts=1/fs;%采样间隔Ts=1:N;%采样序列x=0.3*sin(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*sin(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*sin(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*sin(2*pi*f4*Ts*ts);%完整信号%%2.时域信号压缩传感Phi=randn(M,N);%测量矩阵(高斯分布白噪声)s=Phi*x.';%获得线性测量%%3.正交匹配追踪法重构信号(本质上是1-范数最优化问题)m=2*K;%算法迭代次数(m>=K)Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N);%傅里叶正变换矩阵T=Phi*Psi';%恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵)hat_y=zeros(1,N);%待重构的谱域(变换域)向量Aug_t=[];%增量矩阵(初始值为空矩阵)r_n=s;%残差值fortimes=1:m;%迭代次数(有噪声的情况下,该迭代次数为K)forcol=1:N;%恢复矩阵的所有列向量product(col)=abs(T(:,col)'*r_n);%恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值)end[val,pos]=max(product);%最大投影系数对应的位置Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)];%矩阵扩充T(:,pos)=zeros(M,1);%选中的列置零（实质上应该去掉，为了简单我把它置零）aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s;%最小二乘,使残差最小r_n=s-Aug_t*aug_y;%残差pos_array(times)=pos;%纪录最大投影系数的位置endhat_y(pos_array)=aug_y;%重构的谱域向量hat_x=real(Psi'*hat_y.');%做逆傅里叶变换重构得到时域信号%%4.恢复信号和原始信号对比figure(1)holdon;plot(hat_x,'k.-')%重建信号plot(x,'r')%原始信号legend('Recovery','Original')norm(hat_x.'-x)/norm(x)%重构误差

程序3：二维图像OMP重建functionWavelet_OMPclc;clearX=imread('lena256.bmp');%读文件X=double(X);[a,b]=size(X);ww=DWT(a);%小波变换矩阵生成X1=ww*sparse(X)*ww';%小波变换让图像稀疏化（注意该步骤会耗费时间，但是会增大稀疏度X1=full(X1);M=190;%随机矩阵生成R=randn(M,a);Y=R*X1;%测量%OMP算法X2=zeros(a,b);%恢复矩阵fori=1:b%列循环rec=omp(Y(:,i),R,a);X2(:,i)=rec;endfigure(1);%原始图像imshow(uint8(X));title('原始图像');figure(2);%变换图像imshow(uint8(X1));title('小波变换后的图像');figure(3);%压缩传感恢复的图像X3=ww'*sparse(X2)*ww;%小波反变换X3=full(X3);imshow(uint8(X3));title('恢复的图像');%误差(PSNR)errorx=sum(sum(abs(X3-X).^2));%MSE误差psnr=10*log10(255*255/(errorx/a/b))%PSNR%OMP的函数%s-测量；T-观测矩阵；N-向量大小functionhat_y=omp(s,T,N)Size=size(T);