向量加法运算及其几何表示课件

1、向量加法运算及其几何表示2.2.1向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何表示 上海上海台北台北香港香港上海上海台北台北香港香港【创设情境】【创设情境】 CAB向量加法运算及其几何表示【问题【问题1】位移求和时，两次位移的位置关系是什么？】位移求和时，两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？如何作出它们的和位移？上海上海台北台北香港香港两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点ABC向量加法运算及其几何表示【问题【问题2 2】如图所示，对于向量】如图所示，对于向量 和和 如何求解它们的和如何求解它们的和呢？呢？ab

2、和物理中的位移求和问题有所不同的是，在数学中任和物理中的位移求和问题有所不同的是，在数学中任意两个向量相加时，他们未必是首尾相连的啊，应该如何意两个向量相加时，他们未必是首尾相连的啊，应该如何处理呢？处理呢？在平面内任取一点在平面内任取一点A，平移，平移 使其起点与使其起点与 向量的终点重合，再连接向量向量的终点重合，再连接向量 ba的起点与向量的起点与向量 的终点的终点 b使其起点为点使其起点为点A，平移，平移aaababCAa+bB在平面内任取一个起点在平面内任取一个起点向量加法运算及其几何表示【向量的加法【向量的加法 】abba abCAB ,abAABa BCbACabababABBC

3、AC 、内点 ，则与，记 则 这称为 已知非零向量在平面任取一作 已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即向量叫做的和作即种求向量和种求向量和向量加法的三角向量加法的三角方法，方法，形法形法的。的。首尾相连首尾相连,由起点指终点由起点指终点向量加法运算及其几何表示思考思考1：如图，当在数轴上两个向量：如图，当在数轴上两个向量共线共线时，加法的时，加法的三角形法则三角形法则是否还适用？如何作出两个向量的和？是否还适用？如何作出两个向量的和？abab（1）（2）ABCBCAabab首尾相连首尾相连,由起点指终点由起点指终点向量加法运算及其几何表示, a b 非零向量处于什么位置时？ab ， 共线

4、且同向abab ， 反向且abab ， 反向且| )3(| )2(| ) 1 (abbababababa 当向量当向量 不共线时，和向量的长度不共线时，和向量的长度 与向量与向量 的长度和的长度和 之间的大小关系如何？之间的大小关系如何？a b 、|abab、|ab三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边abab_,abab (, ,)|bababa有不共线时，、当向量向量加法运算及其几何表示例例1.如图，已知向量如图，已知向量a,b, 求作向量求作向量a+b.BabC向量的加法向量的加法bBCaAB ,(2)作作法作法: :(1)(1)在平面内任取一点在平面内任取一点A AbaA

5、C则还有没有其他的做法？还有没有其他的做法？A A A A三角形法则三角形法则首尾相连首尾相连,由起点指终点由起点指终点向量加法运算及其几何表示F1F2F向向 量量 加加 法法 EOOE例如例如:橡皮条在力橡皮条在力F1与与F2的作用下的作用下,从从E点伸长到了点伸长到了O点点.同时橡皮条在力同时橡皮条在力F的作用下也从的作用下也从E点伸长到了点伸长到了O点点.力力F对橡皮条产生的效果，与力对橡皮条产生的效果，与力F1和和F2共同作用产共同作用产生的效果相同，物理学中把力生的效果相同，物理学中把力F叫做叫做F1和和F2的合力的合力.向量加法运算及其几何表示F1F2F1F2F FEOOE例如例如

6、:橡皮条在力橡皮条在力F1与与F2的作用下的作用下,从从E点伸长到了点伸长到了O点点.同时橡皮条在力同时橡皮条在力F的作用下也从的作用下也从E点伸长到了点伸长到了O点点.问问:合力合力F与力与力F1、F2有怎样的关系？有怎样的关系？F1+F2=FF是以是以F1与与F2为邻边所形成的为邻边所形成的平行四边形的对角线平行四边形的对角线向量加法运算及其几何表示aBabAaOC向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则起点相同，对角为和起点相同，对角为和如图，以同一点如图，以同一点O为起点的两个已知向量为起点的两个已知向量a，b为邻边为邻边OACB，则以，则以O为起点的对角线为起点的对角线OC就是就

7、是a与与b的和。我的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四向量加法的平行四边形法则边形法则向量加法运算及其几何表示例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求做向量，求做向量 。, a b abab作法作法2：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，O作作 ， ，OAa OBb aABbOAOB、以以 为邻边做为邻边做 ，OACBC.OCOAOBab 连结连结OC，则，则ba 平行四边形法则平行四边形法则起点相同，对角为和起点相同，对角为和向量加法运算及其几何表示向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则:1.将向量平移使得它们将向量平移使得它们首尾相连首

8、尾相连方法巩固方法巩固:2.和向量即是第一个向量的和向量即是第一个向量的首首指向第二个向量的指向第二个向量的尾尾向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则:1.将向量平移到将向量平移到同一起点同一起点2.和向量即以它们作为邻边和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线平行四边形的共起点的对角线（位移的合成）（位移的合成）（力的合成）（力的合成）向量加法运算及其几何表示探究探究:数的加法满足交换律和结合律，即对任意数的加法满足交换律和结合律，即对任意 ，有有,a bR,abba()().abcabc 那么对任意向量那么对任意向量 的加法是否也满足交换律的加法是否也满足交换律和结合律？

9、请画图进行探索。和结合律？请画图进行探索。,a b 向量加法运算及其几何表示abbaABDCabba ab验证交换律验证交换律如图，作如图，作AB=a，AD=b，以，以AB、AD为邻边作为邻边作 ABCDab则则BC= ，DC= 。ab向量加法运算及其几何表示ba abccb cba ACD验证结合律验证结合律()().a b c a b c A向量加法运算及其几何表示abba()a bcabc ( + )+向量加法满足交换律和结合律向量加法满足交换律和结合律(1)向量加法交换律：向量加法交换律：(2)向量加法结合律：向量加法结合律：以上两个运算律可以以上两个运算律可以推广推广到任意多个到任意

10、多个向量向量.向量加法运算及其几何表示例例2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进 行运输，如图所示，一艘船从长江南岸行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；度；2 3ADBC,ADABADABABCDAC 图， 、为 邻 边则实 际.解解 ：（ 1 1） 如如所所 示示表表 示示 船船 速速表表 示示 水水

11、速速以以作作表表 示示 船船航航 行行 的的 速速 度度向量加法运算及其几何表示例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表

12、示）。角来表示）。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(2 3)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船实际航行速度为答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为方向与水的流速间的夹角为60。ADBC向量加法运算及其几何表示ADDE PMMC CFFG ABAO ABEB AB AE PC CG OB AE ADDB 1 1、用适当的向量填空：、用适当的向量填空：首尾相接，首尾连首尾相接，首尾连1、2、3、4、5、6、2、化简： DCCABDABCBACBNMABCCDAB ) )( () )( () )( (321ADMN

13、 0向量加法运算及其几何表示课堂小结：课堂小结：向量加法的定义向量加法的运算律三角形法则平行四边形法则向量加法的运算向量加法运算及其几何表示1.1.两个向量的和仍然是向量。两个向量的和仍然是向量。小结:尾首相连，尾首相连，由起点指向终点由起点指向终点起点相同，对角为和起点相同，对角为和2.2.向量加法法则向量加法法则: :ababababba3 运算性质运算性质:aaacbacbaabba 00) )( () )( (向量加法运算及其几何表示2.根据图示填空：根据图示填空： (1) a + b = (2) c + d = (3) a + b + d = (4) c + d + e =DACBgfcf课堂练习课堂练习1.根据图示填空根据图示填空bcda)2() 1 (向量加法运算及其几何表示课堂练习（一）课堂练习（一）.如图如图, ,已知已知a a、b b，用向