第二节 分离变量法

1、1可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程齐次方程齐次方程 一阶微分方程包括：一阶微分方程包括：第七章第七章 微分方程微分方程2xxyyd)(d)( 如果一阶微分方程如果一阶微分方程等式的每一边仅是一个变量的函数与这个等式的每一边仅是一个变量的函数与这个 可分离变量的方程可分离变量的方程)()(ygxfy 0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM或或可以写成可以写成0),( yyxF的形式的形式,易于化为形式易于化为形式特点特点变量的微分之积变量的微分之积.两端积分可得通解两端积分可得通解.一阶微分方程一阶微分方程第二节第二节 可分离变量的微分方程可

2、分离变量的微分方程3可分离变量的方程求通解的步骤是可分离变量的方程求通解的步骤是: :分离变量分离变量,两边积分两边积分其中其中C为任意常数为任意常数.),(Cxyy 就是方程的通解就是方程的通解分离变量法分离变量法. .的形式；的形式；把方程化为把方程化为xxyyd)(d)( 1.2.由上式确定的函数由上式确定的函数(隐式通解隐式通解).这种解方程的方法称为这种解方程的方法称为将上式将上式一阶微分方程一阶微分方程;d)(d)( Cxxyy 4一阶微分方程一阶微分方程例例 求方程求方程 的通解的通解.0d)1(d)1(22 yxyxyx解解 分离变量分离变量xxxyyyd1d122 两端积分两

3、端积分 yyyd12)1ln(21)1ln(2122xy )1(ln)1ln(22xCy )1(122xCy 为方程的通解为方程的通解.Cln21 隐式通解隐式通解 xxxd125一阶微分方程一阶微分方程解解xxyyyd1dln1 xxyyd1lndln1Cxylnlnlnln Cxln Cxy lnCxey 通解为通解为.ln 的通解的通解求方程求方程yyyx 6注注 应用问题建立微分方程的方法应用问题建立微分方程的方法:方法大体有两种方法大体有两种第一种方法第一种方法常见的物理定律有力学、热学、光学、电学常见的物理定律有力学、热学、光学、电学直接利用物理定律或几何条件列出方程直接利用物理定

4、律或几何条件列出方程,的定律的定律;第二种方法第二种方法取小元素分析取小元素分析,然后利用物理定律列出然后利用物理定律列出方程方程(类似于定积分应用中的元素法类似于定积分应用中的元素法).一阶微分方程一阶微分方程7两端积分两端积分解解,ddtM由题设条件由题设条件)0(dd衰变系数衰变系数 MtMtMMdd ,dd tMM ,00MMt 代代入入,lnlnCtM 即即00CeM 得得C teMM 0分离变量分离变量负号是由于当负号是由于当 t 增加时增加时M单调减少单调减少,tCeM 通解通解特解特解例例 衰变问题衰变问题. . 衰变速度与未衰变原子含量衰变速度与未衰变原子含量M成成正比正比,

5、00MMt 已已知知求衰变过程中铀含量求衰变过程中铀含量 M (t)随时间随时间 t 变化的规律变化的规律.一阶微分方程一阶微分方程衰变规律衰变规律衰变速度衰变速度8有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器, 解解 由由力学知识力学知识 得得,水从孔口水从孔口流出的流量为流出的流量为流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度ghStVQ262. 0dd 一阶微分方程一阶微分方程水面的高度水面的高度h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时间随时间t的变化规律的变化规律.开始时开始时容器内盛满了水容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里求水从小孔流出过程中容器里

6、流出流出, 例例小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米 (如图如图). 水从它的底部小孔水从它的底部小孔 h9hhhd)200(2 ,d262. 0tgh ,d)200(262. 0d3hhhgt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求规律为所求规律为一阶微分方程一阶微分方程可分离变量方程可分离变量方程10一般一般,未知函数含于未知函数含于变上限的积分变上限的积分中时中时,常可常可通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出初始条件而解之初始条件而解之.解解 )(xf)(2)(xfxf fx222 可分离变量方程可分离变量方程xxfxfd2)()(d 两边积分两边积分Cxxfln2)(ln xCexf2)( 由原关系式由原关系式2ln)0( f, 2ln C得得得得. 2ln)(2xexf 分离变量分离变量一阶