2020届普通高考(天津卷)适应性测试数学试题(解析版)

1、2020届普通高考（天津卷）适应性测试数学试题一、单选题1,已知全集 U 2, 1,0,1,2,集合 A 2,0,1,2, B 1,0,1,则 AI QB（ ）A. 0,1B. 2,2C. 2, 1D. 2,0,2【答案】B【解析】先利用补集的定义求出Cu B ,再利用交集的定义可得结果.【详解】因为全集 U 2, 1,0,1,2, B 1,0,1,所以 CuB 2,2,又因为集合A 2,0,1,2,所以 AI CUB 2,2.故选：B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A且不属于集合B的

2、元素的集合.2.设 a R,则 a 2”是 “a2 3a 2 0”的（）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】利用一元二次不等式的解法化简a2 3a 2 0，再由充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】a2 3a 2 0”等价于a 1 或a 2”，a 2”能推出a 1或a 2，而3 1或a 2”不能推出a 2”，所以a 2”是a2 3a 2 0”的充分非必要条件,故选：A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄#条件P和结论q分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 p q,qp.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助

3、集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理B.C.A根据函数有两个极值点，可排除选项【解析】23.函数y 2r的图象大致是（C、D；利用奇偶性可排除选项B,进而可得结果因为y2xx ,所以e2x x2 y - e令y 0可得，x0,x 2,即函数有且仅有两个极值点，可排除选项C、D;2又因为函数y 与即不是奇函数，又不是偶函数，可排除选项B,ex故选：A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的

4、变化趋势；从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.如图，长方体ABCD ABC。的体积是36,点E在CG上，且CE 2EC1，则三棱锥E-BCD的体积是()5GABA. 3B. 4C. 6D. 12【答案】B1【解析】由锥体的体积公式可得三棱锥的体积为-BC CD CC1 ,结合长方体9ABCD AiBiCiDi的体积是36可得结果.【详解】 因为长方体 ABCD ABQ1D1的体积是36,点E在CCi上，且CE 2EG ,所以 BC CD CC1 36,三棱锥E-BCD的体积是11 BC CD EC32112“11BC CD-CC1- BCCDCC1-

5、36 432399故选：B.【点睛】本题主要考查柱体的体积与锥体的体积，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.5.某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量（单位：吨），其频率分布表和频率分布直方图如图，则图中 t的值为（）分组频数频率0,0.5)40.040.5,1)80.081,1.5)15a1.5,2)220.222,2.5)m0.252.5,3)140.143,3.5)60.063.5,4)40.044,4.5)20.02合计1001.00A. 0.15B. 0.075C. 0.3D. 15【答案】C【解析】由频率和为1可求得a 0.15,再除以组距即

6、可得结果【详解】因为 0.04+0.08+a+0.22+0.25+0.14+0.06+0.04+0.02=1 ,所以a 0.15,又因为组距等于 0.5,所以t的值为015 0.3, 0.5故选：C.直方图的主要性质有：(1)直方图中各矩形的面积之和为 1; (2)组距与直方图纵坐标组距相乘后的乘积为该组数据的频率；(3)每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、求和可得平均值；(4)直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数6,已知f (x)是定义在R上的偶函数且在区间0,)单调递减，则(A . f log2.1.f log2-f 2B.10g2 3f log 2C. f 2一 1一f lOg 2

7、 -f lOg 23D.10g2,1f 10g 23【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性判断出10g210g23 2,再利用函数f(x)的单调性与奇偶性可得结果 ,1因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以 f 10g 2 glog 2 3根据对数函数的单调性可得10g 210g2 3 10g2 21,根据指数函数的单调性可得 0 220 1,所以 log 2 1og2 3 2因为f(x)在区间0,)单调递减,所以f 2f log23 f log 2r1即 f 2 f log 2 g f log 2故选：C.【点睛】解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间(一般是

8、看三个区间 ,0 , 0,1 , 1,)；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问 题也可以两种方法综合应用22,2x y .7 .抛物线x2 2py(p 0)的焦点与双曲线 一 工1的右焦点的连线垂直于双曲线的169一条渐近线，则 p的值为()15A .2B.40320C. 3D.近3【解析】先求出抛物线x22py(p0)的焦点与双曲线2 x161的右焦点，再利用直0,一16线垂直斜率相乘等于-1可得结果.抛物线x22py(p 0)的焦点为Fpx20,：,双曲线161的右焦点为Fi 5,0 ,所以kFF1所以kFp10p八3,又因为双曲线的渐近线为 y =? x,104故选：B.本

9、题主要考查抛物线与双曲线的焦点，考查了双曲线的渐近线方程以及直线垂直斜率之 间的关系，属于基础题8 .已知函数f (x) sin x cosx ,则下列结论错误的是()A. f(x)的最小正周期为2、5，一b. y f(x)的图象关于直线 x 对称C.乙是f(x)的一个零点43、, 一.D. f (x)在区间 ,单倜递减2【答案】D【解析】利用辅助角公式化简 f(x) /sin x ,再利用正弦函数的周期性、对4称性、单调性以及函数零点的定义逐一判断即可f (x) sin x cosx . 2 sin x 一 42对于A, f (x)的取小正周期为 2 ,正确;15对于b, x 时，y4 51

10、为最小值，y f(x)的图象关于直线x , 对称，正确; 4对于C,x 乙时，y 0,乙是f(x)的一个零点，正确;44对于D, f(x)在区间32上不是单调函数，错误,故选：D.【点睛】 本题通过对多个命题真假的判断，综合考查正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函 数的零点的定义，属于中档题 .这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题,尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然 后集中精力突破较难的命题29.已知函数f (x)x 2x, x, 02x 4,若函数F(x) f (

11、x) |kx 1|有且只有3个零,x 0x点，则实数k的取值范围是()A.B.16C.D.【答案】D2x 4【解析】回出函数图象，分两种情况讨论，分别求出直线与曲线y x 0相x切时的斜率，结合函数图象的交点个数，即可判断函数F(x) f(x) |kx 1|有且只有3个零点时实数k的取值范围.【详解】0时，y kx1过0,k1 ,设y kx 1与y2x 42K 4 八x 0切于 K,因为yxx12xi 4 1则 x14x1 0 x12xi8,k旦316画出f x的图象，由图可知，当 k90，石时，y f x与y kx 1有二个交点k 0 时，y kx 1 y kx 1 , ykx 1 过 0,

12、1 ,设y kx 1与2x 42x2 切于x2,一x24所以 k F,X22x2 4 1可得 乂2x2 041k k16_1,168-2-x2x2【答案】4画出f x的图象，由图可知，当 k1 r-1.，0, ，即 k 一,0 时，y f x 与1616kx 1有三个交点,综上可得,1 ck ,0160,时,16与y kx 1有三个交点,故选：D.kx 1有三个零点.本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量

13、关系提供了 形”的直观性.归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有:1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质.二、填空题3 2i10. i是虚数单位，复数 1 i15.i2 2利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轲复数，化简求解即可.3 2i1 i3 2i 1 i1 5i215. .i ,2 2故答案为:5.i .2复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的 理解，掌握纯虚数、共辗复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简

14、单 问题出错，造成不必要的失分11 .已知直线x 2y 5 0与圆x2 y2 9交于点A,B两点，则线段 AB的长为【解析】 求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得结果【详解】r 3,兽卮.1 4因为x2 y2 9的圆心为0,0，半径0,0到直线x 2y 5 0的距离d所以线段AB的长为2 J9万 4 ,故答案为：4.【点睛】本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式l Ji k2 xi X2 ,结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半 径构成直角三角形，利用勾股定理求解412 .在3/X - 的展开式中，常数项是 X4【解析

15、】 写出 次 2 的展开式的通项公式，让 x的指数为零，求出常数项 X【详解】Tr 1 C；(3x)4 r ( -)r C4 ( 2)r x4 4rx 3 ,4因为 皈 2 的展开式的通项公式为:x4 4r_1_1所以令0 ri,常数项为C4 ( 2)18.3【点睛】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的问题，考查了运算能力13 .已知某同学投篮投中的概率为2,现该同学要投篮 3次，且每次投篮结果相互独3立，则恰投中两次的概率为： ;记*为该同学在这3次投篮中投中的次数，则随机变量X的数学期望为.-4【答案】429【解析】由独立重复试验的概率公式可得恰投中两次的概率；分析题意可得随机变

16、量2，一“ EX B 3,2 ,利用二项分布的期望公式可得结果.3【详解】 由独立重复试验的概率公式可得，恰投中两次的概率为X 可取 0, 1, 2, 3,P(X 0) C； 23127p(x i) c3 230 2 2 1P(X 2) C3 33P(X3)C33827XB n, p ),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E X np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.14.已知 a 0, b22 3. 30 ,则a一4b 2ab的最小值为a b【解析】化简原式为ab ,两次运用基本不等式可得结果223, 3a 4b a b2. 2a bab则随机变

17、量X B 3,23,2所以 EX np 3 - 2, 3,4故答案为：4,2.9【点睛】 求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望.对于某些实际问题中的 随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布,22a 2当且仅当b a ,即等号成立,4b 1 abab所以,23. 34b a b-22a b的最小值为4,故答案为：4.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握 匚正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二 定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等

18、号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.15.如图，在 VABC 中，AB 3, AC 2,BAC 60 , D,E分别边AB,AC上的uur uuir 1点，AE 1 且 AD AE -2uuu，则|AD|，若P是线段DE上的一个动点,uuu uuu -则BP CP的取小值为【答案】116uur uuir 1uuir由AD AE -利用数量积公式可求| AD |的值为1,设DP的长为x ,则PE 1 xBD 2,EC 1,利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则,uuu uuu 2 X可得BP CP x再利用配方法可得结果【详解】u

19、uurQ ADuurAEuuruuurAD AEocos60uuurAD 1uuurAD又因为AE 1且BACADE为正三角形,DE1 ADBDPCEP120，BD2,EC 1,设DP的长为x （1),则PE1 x,uuu uuuBP CPuuurBDuuurDPuuu uuuCE EPuuirBDuuuCEuuirBDuurrEPuurDPuuuCEuuirDPuuuEPuuuBPuuuCP的最小值为故答案为:工16116116116时取等号,3510向量的运算有两种方法,是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,；(2)算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量

20、的和与差） 三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和） 平面向量数量积的计算问题, 往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几 何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.三、解答题2216.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3（ac）23b22ac(1)求cos B的值(2)若 5a 3b(i)求sin A的值(ii)求 sin 2A 9 的值.【答案】（1） 2； （2）迤；（ii）心3【解析】(1)化简原式，直接利用余弦定理求cos B的值即可；(2) (i)由(1)可得sin B,再利用正弦定理求sin

21、A的值；(ii)利用二倍角的余弦公式求得 3sin A,可得cos A 52 5 . 一,再由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得 5结果.【详解】(1)在ABC中，由22 A23 a c 2 3b2 2ac ,整理得-c2ac又由余弦定理，可得 cosB(2)由(1)可得sin b,又由正弦定理3asin AbsinB及已知5a 3b ,可得sin Aa sin Bb(ii)由(i)可得 cos2 A 12sin 2 A由已知5a 3b ,可得 a b故有AA为锐角，故由sin A痣，可彳c cos A52/55从而有sin 2A2sin Acos Asin 2A 一 6sin2Acos

22、 cos2Asin 一4 3 310以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具,对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心17.如图，在四好B P ABCD中，已知AB BC 瓜 AC 4, AD DC2五,2,点M为PC的中点.(1)求直线PB与平面ADM所成角的正弦值;(2)求二面角 D-AM-C的正弦值；(3)记棱PD的中点为N,若点Q在线段OP上，且NQ/平面ADM ,求线段OQ的长.【答案】(1

23、) 7届;(2) 110 ; (3) 4.55113uur uuur uur【解析】以。为原点，分别以向量 OB,OC,OP的方向为x轴,y轴,z轴正方向，可以建立空间直角坐标系，(1)求出直线PB的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面ADM的法向量，可求直线PB与平面ADM所成角的正弦值；(2)由已知可得OB uuu平面AMC ,故OB是平面AMC的一个法向量，结合(1)中平面ADM的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求二面角D-AM-C的余弦值，从而可得正弦值；(3)设线段OQ的长为h 0 h 2，则点Q的坐标为0,0,h，由已知可得点N的坐标为1,0,1 ,uuu 利用直线NQ

24、与平面的法向量数量积为零列方程求解即可.【详解】uur uuur uur依题意，以。为原点，分别以向量 OB,OC,OP的方向为x轴,y轴,z轴正方向，可以建立空间直角坐标系(如图)，可得 O(0,0,0), A(0, 2,0), B(1,0,0), C(0,2,0),D( 2,0,0),P(0,0,2), M (0,1,1).uuuruuur(1)依题意，可得 AD ( 2,2,0), AM(0,3,1),x,y,z为平面ADM的法向量，则v uuvv AD 0 v uuuv , v AM 02x 2y3y z 01,1, 3 ,uuu 又PBuuu r1,0, 2 ,故 cos(PB,nj

25、uuu rPB nuuur-r| PB |n|557 55直线PB与平面ADM所成角的正弦值为7-.55 .,55(2)由已知可得OB AC,OB PO,所以OB 平面AMC ,uuu故OB是平面AMC的一个法向量,uur依题意可得OB 1,0,0 ,uuur r 因此有cos： OB, nuur rOB nuuur-r-OB |n|,11uuu r，于是有 sin OB,n11二面角D-AM-C的正弦值 510 ;11(3)设线段OQ的长为h 0 h 2 ,则点q的坐标为0,0, h ,由已知可得点N的坐标为uur1,0,1 ,进而可得 NQ 1,0,h 1 ,uuu r uuur r由 N

26、Q/平面 ADM ,故 NQ n, NQ n 0,即 1 3 h 10,解得 h f 0,2 ,3线段OQ的长为-.3【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：(1)观察图形，建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；(3)设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；(4)将空间位置关系转化为向量关系；(5)根据定理结论求出相应的角和距离.x2y2.6 318.已知椭圆-2彳1 (a b 0)的离心率为、6,点T 2V2在椭圆上 a2 b233(1)求椭圆的方程；(2)已短直线y J2x m与椭交于A、B两点，点P的坐标为(2J2,

27、0),且uur uirPA pb 1,求实数m的值. 22【答案】(1) 土上1 ； (2) m 3.93【解析】(1)根据题意，结合性质 a2 b2 c2 ,列出关于a、b、c的方程组,求出a、b,即可得椭圆的方程；(2)直线与曲线联立，根据韦达定理，利用平面向uir uur1列方程求解即可(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有cy 2 ,又由a2 a23b2可得a2 = 3b2,由点T 2反3 在椭圆上,313 b2由此可得a2 9,b22 x3, 椭圆的方程为一(2)设点A的坐标K, y1，点B的坐标X2, y2 ,量数量积公式，结合条件 pa pby . 2x m由方程组x2y2，消去y,

28、整理可得7x2672mx3m29 0，193由求根公式可得x1 x26ym,x1x2 3m产，由点P的坐标为urn,可得PA_ uuu2 2,0,PBx22x/2, y2 ,uuu uuu故 PA PBx12 .2 x2 2.2y1 y2x1 x2 2、. 2x1x2又 Q y J2x1 m, y2 72x2 m,y1y2 2x1x2 72m x1 x2m2,uur uuu代入上式可得PA PB 3x1x2（、2m 2.2） x1 x2由已知uur uirPA PB1,以及，可得33m2 9（, 2m 2、. 2）（ 6、. 2m）2 /m 81，77整理得m2 6m 9 0,解得m 3,这时

29、，的判别式_212m252 144 0,故 m3满足题目条件,m 3.求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于 a,b,c的方程组，解出 a,b,从而写出椭圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用决差法”解决，往往会更简单19.已知数列 an是公差为1的等差数列，数列bn是等比数，且b2m 1, n 3m 2a3aa7Mb4b5,a44b2b3数列 g 满足cnb2m,n 3m 1 其中am, n 3m* m N .（1）求an和bn的通项公式*（2）

30、记 tn C3n 2c3n 1 QnGn C3nQnnN,求数列 七 的刖 n 项和.【答案】（1） an n,bn 2n 1；（2） 16n 匣上 4n .15315【解析】（1）利用a3a4a1，b2b4b5,a44b2b3列方程求出，等差数列的首项、b2m 1, n 3m 2等比数列的首项与公比，从而可得结果；（2）先根据cnb2m,n 3m 1得am, n 3mtn22n 222n122n 1 n n22n24n 33n22n1,再根据分组求和与错位相减求和法，结合等比数列的求和公式可得结果.【详解】bi q4,（1）设数列 an的公差为d,数列bn的公比为q,则d 1,由徭a4a7,

31、可得a1d 1 ,由b2b4b ,可得b；q4又Qb10,q 0,故可得b1 1,再由 a4 4b2 b3,可得 q2 4q 4n 1an n,bn 2 n NC2 m 22,n3m2m 1(2)cn2,n3mm,n3m2n 2 02n 1 o2n 1tn 222 nn记 Tntk, Ank 121，其中n N，n 22n 24n 3 3n 22n 1 ,n24 k 3k 1nBn k 22k 1,k 14n则An-16n15252 16n 11521 21 2415Bn 1 232n 22n 1,d故有4Bn32(n1) 22n 122n-可得3Bn322n 122n22n236n4n由此可

32、得3Bn 史一2 32由Tn An 3Bn ,故可得Tn 1516n6n4n815错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q.20.已知函数f（x）2xln xa2函数 g(x) x (ln x) x其中aR, xo 是 g (x)的一个极值点，且 gxo2.(1)讨论f （x）的单调性(2)求实数xo和a的值(3)n证明k 1 .4k2 11 ln(2 n*1) n N【答案】（1） f x在区间0,单调递增；（2） xo 1,a1； (3)证明见解析.【解析】（1）求出