分式运算中的常用技巧与方法

1、分式运算中的常用技巧与方法1在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当 的运算方法，常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明2例1.化简：-<a-1 a 1分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。222a - (a 1)(a 1) = a (a 1) = 1i 1 a 1 a 1 a 122解:a-1 =(a+1)=a 1 a 1二逐项通分法例2.计算2b 4b2a2 b2 a4 b4分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法解:312b 4b (a b) (a b)a b a b a2 b2 a4 b4a2 b2b

2、 4b3a2 b2 a4 b42b 2b 4b _2b(a b ) 2b(a b )4A A a2 b2 a b a ba b322224b3a4 b4她！ 4b =Qa4 b4 a4 b4三、先约分，后通分22例3.计算：乙+一一a2 4a 4分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算22解:a 6a + a4= a(a 6) +(a 2)(a 2) =a 6 +aa2 2a a2 4a 4 a(a 2) (a 2)2 a 2 a 2 a2 _2a 4=2-2四、整体代入法2 1 1-2() 5 x x y-rrr 2 5 5_5xy例4 .已知1 +_L=5求2x 5xy 2y的值x

3、yx 2xy y解法 1：1+1=5AxyzO,.所以 2x5xy2yjxy解法2:由- + -=5得,xy3=5, x+y=5xy xy.2x 5xy 2y_2(x y)5xy 2x 2xy y (x y) 2xy 5xy 2xy 7xy5xy 5xy _ 5xy _ 57五、运用公式变形法例5 .已知a2-5a+1=0,计算a4+Aa解：由已知条件可得azO,a+_L=5a + -4 =似 +_2)-2_(a+ & aa产2 22=(5 2-2) a之2=527六、设辅助参数法例6 .已知口二处 , a bbcaca角星：设二二=心，计算：也 cbb)(b c)(cabca)二 k

4、,贝 U b+c=ak； a+c=bk； a+b=ck； c把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若 a+b+c=O, a+b= -c,贝 U k= -1若 a+b+cz 0,则 k=2(a b)(b c)(c a) = ak bk ck 二 FLabcabc当k=-1时，原式二当k=2时，原式二8七、应用倒 数变换法2例7.已知一=7,的值aa1aa1解：由条件知azO,fl,即a+l = 8a742a a 12a211 2.15a4 a21=4915二a + - -d=(a+ JL)-1aa八、取常数值法例 8 .已知：xyz 工 O,x+y+z=O,计算-_ + _ +

5、x y z解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2.则U+-+=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数xyz九、把未知数当成已知数法2 22 例 9 .已知 3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算:8ab be ac解：把c当作已知数，用c表示a,b得,a=3c, b=2c.a2 b2 c2 =14c2 =142.ab be ac 11 c 11十、巧用因式分解法例10.已知a+b+c=O,计算肓+2八一 c2a be 2b ac 2c2 ab角星军：-a+b+c=O, a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b2222 2a +bc=a +a +bc=a +a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)2同理可得 2b2+ac=(b-c)(b-a),2c+ab=(c-a)(c-b)2,22-J ?_+2 22 2 2aFF2a be 2b ac 2c ab (a-b)(a-c)(b-c)(b-a) (c-a)(c-b)222222abc _a (b c) b (a c) c (a b)_1(a-b)(a-c) (a-b)(bc)(c-a)(c-b) (a b)(a c)(b c)222222a(bc)babccacb = a (b c) a(b c)(b c) bc(b c) (a b)