十年高考理科数学真题专题六数列十五等差数列及答案

1、专题六数列第十五讲等差数列2019 年1. （2019全国1理9）记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4 0, a§ 5,则2_.12_A. an2n 5 b.an3n 10 C. Sn2n 8nD. Snn 2n22. （2019全国3理14）记与为等差数列an的前n项和，a产0, a2 3a1，则SoS .* .3. （ 2019江苏8）已知数列an（ n N）是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5 a8 0£ 27 ,则 Sg 的值是.4. （2019北京理10）设等差数列 an的前n项和为Sn,若a23, S10,则a5 . Sn的最小值为.2010-2018

2、年一、选择题1. （2018全国卷I）记5口为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4,a12 ,则a5A.12 B.10C. 10D. 122. （2017新课标I）记Sn为等差数列an的前n项和.若a4 a5 24 , S 48,则an的公差为A. 1B. 2C. 4D. 83. （2017新课标出）等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2, a3, a6成等比数列，则an前6项的和为 A.24B.3C. 3D. 84. （2017浙江）已知等差数列an的公差为d ,前n项和为Sn,则“ d 0”是S4+S62s5” 的A .充分不必要条件C.充分必要条件B .必要不充分条件D.既不充分

3、也不必要条件5. （2016年全国I）已知等差数列an前9项的和为27, a10二8 ,则a100A. 100B . 99C. 98D. 976. （2015重庆）在等差数列an中，若a2 4,a4 2 ,则a6 =A. - 1B. 0C. 1D. 6a3, a4, a8成等比A. ad 0, dS40B. ad 0, dS40C. a1d 0, dS4 0D. a1d 0,dS4 07. （2015浙江）已知an是等差数列，公差 d不为零，前n项和是Sn.若数列，则8. （2014辽宁）设等差数列an的公差为d ,若数列24an为递减数列,A. d 0 B . d 0 C. a1d 0 D.

4、 a1d 09. （2014福建）等差数列an的前n项和Sn,若a1 2§ 12 ,则a6A. 8B . 10C. 12D. 1410. （2014重庆）在等差数列an中，a1 2自 a§ 10 ,则a7A. 5 B. 8C. 10D. 1411. （2013新课标I ）设等差数列则m =A. 3B. 412. （ 2013辽宁）下面是关于公差 dr:数列an是递增数列；P3:数列 龙 是递增数列；n其中的真命题为A. Pi,P2B. P3, P4 an的前 n 项和为 Sn, Sm 1 =- 2, SmC. 5D. 60的等差数列an的四个命题：P2:数列nan是递增数列

5、；P4:数列an 3nd是递增数列;C. P2,P3D , Pi, P4=0,Sm 1 = 3?13. （2012福建）等差数列an中，ai a5 10,a47 ,则数列an的公差为A. 1B. 2C.D. 414.（2012辽宁）在等差数列 an中，已知a4 +a8=16 ,则该数列前11项和&1二15.16.17.18.A. 58B. 88C. 143D. 176（2011江西）则a1A. 18（2011安徽）A. 15（2011天津）设an为等差数列，公差B. 20C. 22若数列an的通项公式是anB. 12C.已知 an为等差数列，其公差为、， 一一 * 一 一 an的刖n项

6、和，n N ,则S0的值为A. - 110B. 90（2010安徽）设数列an的前n项和SnA. 15B. 16C. 49二、填空题19. （2018北京）设an是等差数列，且 a1 32,Sn为其前n项和，若S10 S|1 ,D. 24C.a21）n（3n 2）,则a1 a2 L&。D.2,且a7是a3与a9的等比中项，Sn为90D. 110则a8的值为D. 64a536,则an的通项公式为20.（2018上海）记等差数列an的前几项和为Sn,若a3a6a714，则 S7 =21.（2017新课标n）等差数列an的前n项和为Sn,a3S422.23.24.k1Sk（2015广东）在等

7、差数列（2014北京）若等差数列an的前n项和最大.（2014江西）在等差数列an中，右 a3a4a5满足 a7 a8a90a6a725,则 a2 a8,a7a100,则当 n 时an中，a1 7,公差为d ,前n项和为Sn,当且仅当n 8时Sn取最大值，则d的取值范围25. （2013新课标2）等差数列 an的前n项和为Sn,已知§0 0, Si5 25,则nSn的 最小值为.26. （2013广东）在等差数列an中，已知a3 a8 10,则3% a? .127. （2012北东）已知an为等差数列，Sn为其前n项和.若a1 , S2 83,2贝U a2 ； Sn =.28. .

8、（ 2012江西）设数列an,bn都是等差数列，若a1 b1 7 , a3 b3 21,则a5 b5 . 2-29. （2012广东）已知递增的等差数列 an满足a1 1 , a3 a2 4,则an =.30. （2011广东）等差数列an前9项的和等于前4项的和.若a1 1, ak a4 0, 则 k =.三、解答题31. （2018全国卷n ）记 Sn为等差数列an的前n项和，已知a17, 015 .（1）求an的通项公式；（2）求Sn,并求Sn的最小值.32. （ 2017北京）设an和bn是两个等差数列，记Cn maxb an,b2 a2" ,bn ann （n 1,2,3,

9、）,其中maxx1,x2, , xs表示x1,x2, ?$这5个数中最大的数.（I）若an n , bn 2n 1,求a。的值，并证明g是等差数列；（n）证明：或者对任意正数M ,存在正整数 m ,当n > m时，cn M ；或者存在n正整数m ,使得cm,cm 1,cm 2,是等差数列.233. （2016年山东局考）已知数列an的前n项和Sn 3n 8n , 6是等差数列，且an bn bn 1.（I ）求数列 bn的通项公式；.(an 1)n 1(II)令Cn一4-.求数列 Cn的前n项和Tn.g 2)n一 . 、 . 一 一 、- - . *34.(2016年天津局考)已知an是

10、各项均为正数的等差数列，公差为d,对任意的n N ,bn是an和an 1的等差中项.(I)设Cn b21 b",n N*,求证：数列 Cn是等差数列;(n)设 a12n kd,Tn1 b：,n N*,求证:k 135. (2015四川)设数列an的前n项和Sn 2an a1,且a1，a2 1,a3成等差数列(1)求数列an的通项公式； 11(2)记数列一的刖n项和Tn,求得|Tn 1| 瓦正成立的n的最小值。36. (2015湖北)设等差数列an的公差为d ,前n项和为Sn,等比数列灯的公比为q .已 知。国, b2 2, q d , Sw 100.(I)求数列an, bn的通项公式

11、;(nd 1时，记Cn包，求数列Cn的前n项和Tn.bn237. (2014新课标1)已知 an是递增的等差数列，a2, a4是万程x 5x 6 0的根.(i)求an的通项公式；(n)求数列 a的前n项和.38. (2014新课标1)已知数列an的前n项和为Sn,a=1,an0,anan1 Sn 1,其中为常数.(I)证明：an 2 an ；(n)是否存在 ，使得 an为等差数列？并说明理由.39. (2014浙江)已知等差数列4的公差d 0,设4的前n项和为Sn, a1 1 ,S2 S336.(I)求 d 及 Sn ；* ,(n)求 m, k ( m,k N )的值，使得 am am i a

12、m 2 L am k 65.40. ( 2013新课标1)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3 0 , S55 .(i)求an的通项公式；，一， 1， 一(n)求数列的刖n项和.a2n ia2n 141. (2013福建)已知等差数列an的公差d 1 ,前n项和为Sn.(I)若1,a1，a3成等比数列，求a1；(n)若S5 a1a9,求a1的取值范围.42. (2013新课标2)已知等差数列an的公差不为零，a1 25,且a1，即，a13成等比 数列.(I)求an的通项公式；(n)求 a a4+a7a3n 2.43. (2013山东)设等差数列an的前n项和为Sn,且S44s2,a2n2an

13、1 .(i)求数列 an的通项公式；a, 1*(n)设数列bn的前n项和Tn,且Tn一 (入为常数)，令Cn b2n( n N ) .求2n数列cn的前n项和Rn .44. (2011福建)已知等差数列 an中，a二1, a33.(i)求数列 斗 的通项公式；(n)若数列 斗 的前k项和Sk35 ,求k的值.45. (2010浙江)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为& ,满足 S5S6 +15=0.(1)若 S5=5,求 S6及 a1；(n)求d的取值范围.专题六数列第十五讲等差数列答案部分2019 年1 .解析：设等差数列an的公差为d ,由S40,a5

14、5 ,4al 6d a1 4dai d2.所以 an 2n 5, Sn n 4n ,故选 A.2 .解析设等差数列an的公差为d,则由 a1 0 , a2 3al 可得，d 2a1 ,5010(a1 a10) 2(2 al 9d)2(2 al 18a1)S55(a1 a5)2a1 4d 2a1 8a13 .解析 设等差数列an的首项为a1 ,公差为d ,(ai d )(a1 4d) a1 7d则 9 89a1 d 271 2所以 0 8a1 8-d 6 ( 5) 15 2 16. 2a2 a1d 3/口4 .解析：由题意得，解得S5 a1 5 10d10a1 d所以 a5 a1 4d 0.因为

15、an是一个递增数列，且 a5 0,所以Sn的最小值为S4或S5 , S4S54 34 4 110.22010-2018 年1 . B【解析】通解设等差数列an的公差为d，; 3s3 S2 S4 .3 24 333(3& d) 2a d 4ai -d ,解得 d - ai,s12, . d 3, a5 a14d 2 4 ( 3)10.故选 B.优解设等差数列an的公差为d , 3S3 S2 S4, 3s3 S3 a3 S3 a4, S3322d10 .故选B. a12, d 3,a5a1 4d 2 4 ( 3)2. C【解析】解法由0 3(a1 a6) 3(a3 a,) 48,得 a3

16、a4 16,由(a4 a5) (a3 a,)8 ,得 a5 a38,设公差为d ,即2d 8,所以d 4 .选C.2a 7d 24解法二设公差为d ,则有，解得d 4,故选C.6a1 15d 482一 一 23. A【解析】设an的公差为 d ( d 0),由 a3 a2a6,得(1 2d)(1 d)(1 5d),一6 5所以 d 2, S6 6 1 (2)24 .选 A.24. . C【解析】(& S5)(S5 s4) a6a5 d,当 d0 ,可得 S4+0 2s5 ;当S4+S62s5,可得d0.所以“ d0”是“S4+S62s5”充分必要条件，选C.5. C【解析】设等差数列a

17、n的公差为d ,因为an为等差数列，且S9 9a5 27 ,所以 a53 .又 a10 8 ,解得 5d a10 a§ 5 ,所以 d 1,所以.。a§ 95d98 ,选C.6. B【解析】由等差数列的性质得a6 2a4 a2 2 2 4 0,选B a,2 .27. B【解析】由a3,a4, a8成等比数列可得：(a1+3d) =(ai+2d)?(a 7d),5即 3a1 +5d = 0 ,所以 a( = - - d ,所以 a1d < 0 .又 d& = (aad = 2(2a1+3d)d =- 2d2 <0 .8. C【解析】数列2a1an为递减数列

18、，a1an a1a1 (n 1)d a1dn a1(a1 d),等式 右边为关于n的一次函数，a1d 0 .9. C【解析】 设等差数列an的公差为d ,则S3 3a1 3d ,所以12 3 2 3d ,解得 d 2,所以 a6 12.10. B【解析】由等差数列的性质得a1a7a3a5，因为a12 , a3a510 ,所以a78 ,选B.11. C【解析】有题意知 Sm=m(a am)=0,a1= am= (Sm Sm1) = 2,2am 1 = Sm 1 Sm =3，公差 d = am 1 am =1 ,3= am 1 = 2 m ,m=5,故选 C.12. D【解析】设an a1 (n

19、1)d dn m ,所以p1正确；如果an 3n 12则满足已2知，但nan 3n12n并非递增所以p?错；如果若an n 1,则满足已知，但a1 .1 一,是递减数列，所以 P3错；an 3nd 4dn m ,所以是递增数列，p,正nn确.13. B【解析】由题意有阚a52a310,a35,又,a47 ,a4a32 , . d 2 .11 a1 +a1114. B【解析】a4+a8 =2a6 =16 a6=8 ,而 S11=11a6 =88 故选 B.215. B【解析】由 S10 S11 ,得 a11 S11 S10 0,a1 a11 (1 11)d 0 ( 10) ( 2) 20 ._一

20、,.、10 一 一16. A【解析】a1 a2a1014710(1)(3 102)_9_10_(1 4) ( 7 10)( 1) (3 9 2) ( 1) (3 10 2) 15.217. D【解析】因为a?是a3与a9的等比中项，所以a?a3a9,又数列an的公差为 2,18.19.20.21.22.23.所以(ai 12)2 (a1 4)(a1 16),解得 a1故 an 20 (n 1) ( 2) 22 2n ,14【解析】解得a1 d20,10(科2 a10)5 (20 2) 110 .a8 S8 S7 64 49解法一设an的公差为4 ,2 ,所以 S77 ( 4)3 2 14.2解

21、法二 2a3 7d 14 ,所以 d 2 .故 a4 a3an 6n 3【解析】设等差数列的公差为 d , a?d 6, an 3 (n 1) 6a52nn 1【解析】设等差数列的首项为a1,公差为解得a1Snn所以d 1,na110【解析】n(n 1)212(1 2)由 a3 a4故 a2 + a8 = 2a5 =10 .8【解析】数列ann(n21)L1所以一Sna7 a10 a8 a90(1 1)2 3a5a6a7a 2da 5d2,故 S7a1da14 alk(k 1)2(1a1 6d7a44d2d 310145d 36 ,2nn 125 得 5a5 =25 ,所以 a5 = 5 ,是

22、等差数列，且a7 a5 s9戛0, a8 0 .又,a9 0 .当n=8时，其前n项和最大.d 024. ( 1, 7)【解析】由题意可知，当且仅当n 8时Sn取最大值，可得 as 0，解得8 a§02ai 9d 025. 49【解析】设 an的首项为ai ,公差d ,由§0 0, §5 25 ,得 n3al 21d 52 1 Q O斛信 a13,d 一，. nSn - n 10n ,3 3设 f n1 n3 10n2, f nn2 20 n,33，一20.-20.一*当0 n时f n0,当n，fn0,由nN,33-一 13当 n6时，f66310 364831当

23、 n 7时，f n 73 10 72493n 7时，nSn取得最小值 49.26. 20【解析】 依题意2a1 9d 10 ,所以 3a5 a7 3 a1 4da 6d 4a1 18d 20 .或：3a5 a7 2 a3 a82027. 1, n(n 1)【解析】设公差为d,则2al d a1 2d ,把a1 1代入得d -, 422/1 ，,、a2 1, Sn = -n(n 1) 428. 35【解析】(解法一)因为数列an, bn都是等差数列，所以数列an bn也是等差数列.故由等差中项的性质，得a5 b5a1bl2 a3 4 ,即 a5 b5 7 2 21,解得 a5 b5 35.(解法

24、二)设数列an, bn的公差分别为d1，d2，因为 a3b3(a1 2d1)(b12d2) (a1 bi)2(d1 d2)7 2(d1 d2) 21所以 d1d27 所以 a5b5(a3b3) 2(&d?) 35.22.29. an 2n 1【解析】a1 1,a3 a2 41 2d (1 d) 4d 2an 2n 130. 10【解析】设an的公差为d ,由S9 S4及ai 1,一 9 84 31得9 1d 4 1d，所以d .又ak a40 ,22611所以1 (k 1) ( -) 1 (4 1) ( -) 0, 66即 k 10.31.【解析】(1)设an的公差为d,由题意得3a1

25、 3d 15.由 a17 得 d=2.所以an的通项公式为an 2n 9.一一 2 一一 2 一(2)由得 Sn n 8n (n 4)16 .所以当n 4时，Sn取得最小值，最小值为-16.32 【解析】(I)易知 & 1 ,a22 ,a33 且白 1,b23,b35所以 c1 b1 a11 1 0,c2maxn2a1,b22a2max12 1,32 21,C3maxbi3a1，b23a2,4 3a3max13 1,33 2,53 32 .下面证明：对任意 n N*且n>2,都有cn bi a n .当k n*且20k&n时，(bk ak n) (b1 a- n)(2 k

26、 1) nk 1 n(2 k 2) n(k 1)(k 1)(2 n) k 1 0且2 n0 0(bkakn)(b1a1n)< 0(匕a1n) > (bkak n).因此对任意n N*且n>2,cnb1 a n 1 n ,贝U cn 1cn1 .又 c2 a 1,故Cn 1 Cn1对n N*均成立，从而Cn是等差数列(n )设数列an和 bn的公差分别为da，db ,下面我们考虑Cn的取值.b a1n , b2 a2 n , bn an n ,考虑其中任息项 b ai n (i N且1 w i w n),b d n b (i 1)db a (i 1)da n(b1 a1 n)

27、(i 1)(db da n)下面分da 0, da 0, da 0三种情况进行讨论.(1)若 da 0,则 biain(ban) (i 1)db若 dbw。，则(bain)(b1a1n) (i 1)db< 0则对于给定的正整数 n而言，cn b1 a1 n此时Cn 1 Cna1，故Cn是等差数列db 0,则(bi ai n) (bn an n) (i n)db < 0则对于给定的正整数 n而言，Cn bn an n bn a1 n此时Cn 1 Cn db a1，故 Cn是等差数列此时取m 1,则01,02,0,是等差数列，命题成立.(2)若da 0,则此时 da n db为一个关于

28、n的一次项系数为负数的一次函数.故必存在 m N ,使得当n>m时，da n db 0则当n>m时，*(bi ai n) (b1 a1 n) (i 1)( da n db) < 0 (i N ,1 < i < n)因此，当 n> m时，Cn bi a1 n .此时Cn 1 Cna1，故Cn从第m项开始为等差数列，命题成立.(3) da 0,则此时 da n db为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数.故必存在s N ,使得当n>s时，dan db 0则当n> s时，(b ai n) (bn an n) (i n)( da n db)< 0

29、 (i N ,1< i< n) 因此当n > s时，cn bn an n .此时员bn ann anbndan (da ai db)bL_dbn nnn令 da A °, da ai db B, bi db CcC下面证明 _ An b 对任意正数 M ,存在正整数 m ,使得当n> m时, nncn M .n若C>0,则取m |M-B1 1 (x表示不等于x的最大整数) A当nm时，cn|M B|M B-n> An B > Am B A(|l 1) B A B MnAA此时命题成立.若C 0,则取m 的一C-B1 1A当nm时cn->

30、 An B C> Am B C A(|M C-B1 1) B CnA> M C B B C M此时命题成立.因此，对任意正数 M ,使得当n> m时，cn M . n综合以上三种情况，命题得证.233.【解析】(I)因为数列an的前n项和Sn 3n 8n,所以a, 11 ,当n 2时，an Sn Sn 1 3n2 8n 3(n 1)2 8(n 1) 6n 5,又an 6n 5又n 1也成立，所以an 6n 5 .又因为bn是等差数列，设公差为 d ,则% bn bn 1当 n 1 时，2bl 11d ;当 n 2时，2b217 d解得d3,所以数列bn的通项公式为bnand2

31、(n)由 Cn(an 1)”(bn 2)n(6n 6)n 1(3n3)n(3n3)于是Tn6 229 231224(3n3)两边同乘以2 ,得2Tn 6239 24(3n)2n 1(3n3)2n两式相减，得Tn62223 3242n 1(3n3)2n2222(1 2n)(3n 3) 2nTn12 3 22(12n)(3n 3) 2n 23n2n34 【解析】（I）由题意得b2anan 1 ,有 Cnb：1b2an 1an 2anan2dan1 ,因此cnCn2d(an 2an 1) 2d所以数列 Cn是等差数列.(n )Tnb2b2)(b"bfn)2d(a2a4a2n )2dn(a2

32、 a2n)2d 2n(n1).LL n 1所以 一k1Tk2d2 k 1k(k 1)1 n2d2 k1六）12d235 【解析】（1）由已知Sn 2ana1 有 anSnSn 12an 2an从而 a2 2a1,a3 4a1 .又因为a1,a2 1,a3成等差数列，即a1a32(a21).所以 a1 4al 2(2al 1),解得 a1 2 .所以，数列an是首项为2,公比为2的等比数列.故an2n.(2)由(1)/日1得一an所以Tn12211 c21 夕由|Tn1|10001|1000 '1000.因为29512 1000 102421°,所以10.于是,一1使|Tn 1

33、| 1000成立的n的最小值为10.36 【解析】(I)由题意有,10a1 ad45d100解得a1 1d 2a1anbn2a1ad9d 20(n)由 d1,知an2nTn11 Tn2322523724925-可得1 Tn237 【解析】(I)方程x25x设数列an的公差为所以an(H)设an2nSn3222n2nbnanbn-(2n92 n9 (g)79)2n1,故2n 12n 12n 1 nn2nn22n 12n2nn2故Tn2n 3nn-20的两根为2,3,由题意得a23.d,则 a4 a22d,故 d1 的通项公式为an -n 1 .2的前423n项和为Sn,由（I）知an2n2n 1

34、，则n 12nn 22n 1所以snn 42n 13 11 n 24 4(1 J) 一134 n 1n22& 2324. 2n 12n2.两式相减得1311 n 22sn4 (23 . 2n 1)2n 2Sn1 1.1.38.【解析】(I)由题设，anan 1Sn 14冏2两式相减得an 1( an 2 a) an 1.由于an 10 ,所以an 2 an(n)由题设，S1 1, a1a2S1 1,可得 a2由(i)知，a31.令 2a2 a1 a3,解得 4.故an 2 an 4 ,由此可得a2nl是首项为1,公差为4的等差数列，a2nl 4n 3；a2n是首项为3,公差为4的等差数列，a2n 4n 1.所以 an 2n 1, an 1 an 2.因此存在4,使得数列 an为等差数列.39【解析】(I)由题意，(2a1 d)(3a1 3d) 36,将a1 1代入上式得d 2或d 5,因为 d 0,所以 d 2,从而 a。 2n 1 , Sn n2 ( n N )(n)由(1)知，an an 1an k (2m k 1)(k 1),所以(2m k 1)(k 1) 65,由 m,k N 知，(2m k 1)(k 1) 1 ,所以2m k 1k 1 513,所以n(n 1)40.【解析】(i)设