解析几何基本理论

1、解析几何基本理论例1、（2015全国1卷20）在直角坐标系中，曲线与直线交与两点。（）当时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）轴上是否存在点P，使得当变动时，总有OPM=OPN？说明理由。例2、（2014高考山东卷21）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.（）求的方程；（）若直线，且和有且只有一个公共点，（）证明直线过定点，并求出定点坐标；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.结论1、（1）过抛物线的对称轴上的一点(t,0)的直线与抛物线交于两点，则， 。（2）过抛物线的对称

2、轴上的一点(0，t)的直线与抛物线交于两点，则， 。（3）过抛物线的对称轴上的一点(t,0)的直线与抛物线交于两点，则， 。（4）过抛物线的对称轴上的一点(0，t)的直线与抛物线交于两点，则， 。证明：设过点(t,0)的直线的方程为，代入抛物线，得。故；结论2：为坐标原点，是抛物线上异于的两个动点，设的斜率分别是，且，则直线过定点。例3、（2011年自主招生华约数学试题14）已知双曲线，分别为C的左、右焦点。P为C右支上一点，且 的面积为（）求C的离心率；（）设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数,使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由结论3、设为圆锥曲线焦

3、点，其相应准线为，作一直线交圆锥曲线于两点，交于，则平分（或其外角）。例4、（2014年北大实名制数学测试）双曲线与椭圆有共同焦点，为双曲线在椭圆内的弧上一点，设双曲线在点处的切线为，求证：直线经椭圆反射后仍为双曲线的切线。（圆锥曲线的光学性质，到角公式，角分线分对比成比例定理的逆定理）例5、(2014华约5）已知椭圆与圆，过椭圆上一点做圆的两条切线，切点弦所在直线与轴，轴分别交于点、，求面积的最小值.例6、已知椭圆（ab0)和圆O： ，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B.（1）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；若椭圆上存在点P，使得APB=90°，求椭圆离心率

4、的取值范围；（2）直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证： 为定值。结论4、切线方程公式设点在曲线上，则在点存在曲线的唯一切线，可知：（1）若曲线为，则切线方程为；（2）若曲线为，则切线方程为；（3）若曲线为，则切线方程为；（4）若曲线为，则切线方程为，即 （归纳：，）证明：（2）设切线为，代入椭圆方程得：，由直线与曲线相切，得，可解得，又由，可得切线方程为。例7、（1）曲线在点处切线为 ；（2）曲线在点处切线为 ；（3）曲线在点处切线为 。例8、点在椭圆外，直线与椭圆切于点，则直线的方程为 。结论5、切点弦所在直线方程公式设点在曲线外，过点存在曲线的两条切线，设两条切线与曲线的切点分别为

5、，称线段为曲线的切点弦。设切点弦所在直线为。（1）若曲线为，则切点弦所在直线为；（2）若曲线为，切点弦所在直线为；（3）若曲线为，切点弦所在直线为；（4）若曲线为，切点弦所在直线的方程为，即。（归纳：，）证明：（2）设，由公式1知道，曲线在点处的切线是，而点在直线上，则知道，而这说明点在直线上。同理可得点也在直线上。所以切点弦所在直线的方程为。（1）、（3）、（4）等可类似证明。例9、已知抛物线的焦点为F，A、B是曲线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明为定值；（II）设的面积为S，求S的最小值。例10、已知抛物线的焦点为，过焦点且不平行于x轴的动直线交抛物线

6、于，两点，抛物线在、两点处的切线交于点（）求证：，三点的横坐标成等差数列；（）设直线交该抛物线于，两点，求四边形面积的最小值例11、点在椭圆内，过点的直线交椭圆于点，椭圆在点的切线交于点，则点的轨迹方程为 。结论6：例12、已知椭圆的离心率是，且经过点直线与椭圆相交于，两点 （1）求椭圆的方程；（2）求的内心的横坐标结论7、设为椭圆上一定点，为它的任意两条弦，斜率分别为，若，则直线的斜率是定值。ADCBxOylEF例13、如图，椭圆短轴的左右两个端点分别为，直线与轴、轴分别交于两点，与椭圆交于两点.设直线的斜率分别为，若，求的值.结论8、例14、若椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是

7、 。结论9：（1）从椭圆上的点P看长轴两端点的视角达最大时，点P位于 ；（2）从椭圆上的点P看两焦点的视角达到最大时，点位于： ；（3）从椭圆上的点P看短轴两端点的视角达到最小时，点P位于 。例15、为椭圆上一点，点P为轴上一定点，设的最值。若点的坐标为呢？例16、对于抛物线上任意一点，点都满足，则的取值范围是 。例17、对于曲线上任意一点，点都满足，则的取值范围是 。结论10、点与圆锥曲线：（1）当时，点距较近长轴端点最近，距较远长轴端点最远；（2）当时，点距较远长轴端点最远，但距较近长轴端点不是最近的。（另：轴上的点的分界处是）。类似的抛物线、双曲线也有这样的问题。结论11、设曲线：抛物线

8、，为圆锥曲线上一定点，为它的任意两条弦，分别是直线的斜率，分别是直线的倾斜角。（1）若，是定值，则直线所过定点是（）。（2）当（），是定值时，直线过定点（）。（3）当（是定值，存在且不为0）时，则直线过定点（）。（4）当（即）时，直线AB有定向(即斜率是常数)。例18、过定点A(1，2)做ABC，使BAC=90°，且动点B、C在对应的曲线M上移动（B、C不在坐标轴上），则直线BC过定点 。例19、已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.（）求椭圆的标准方程；（）已知过点的直线与椭圆交于，两点.若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果

9、不存在，请说明理由.结论12、设为椭圆上一定点，为它的任意两条弦，斜率分别为。 （1）若，则直线过定点（）；（2）若（注：），则直线过定点（）。（3）若，则直线有定向（当斜率存在时，有）结论13、设为双曲线上一定点，为它的任意两条弦，分别是的斜率。（1）若，则直线斜率是常数：；（2）若，则直线有定向（当斜率存在时，有）（3）若，则直线过定点（）；（4）若（注：），则直线过定点（）。结论14、圆锥曲线基本理论：设为圆锥曲线上一定点，为它的任意两条弦，分别是直线的斜率，若，则直线可能过定点或为常数。例20、（2015部分学校联考）如图，已知椭圆W：的左焦点为，过点作一条斜率大于0的直线与椭圆W交于

10、不同的两点、，延长交椭圆W于点.（）求椭圆W的离心率；（）若，求直线的斜率. 结论15、极点极线定理：自圆锥曲线外一点向曲线引割线，交点分别为，（点不一定在曲线内），则点的轨迹是切点弦所在的直线。例21、如图，自点向椭圆引割线，交点分别为，为椭圆短轴端点，求点的轨迹。例22、椭圆两顶点、，过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点直线与直线交于点（I）当时， 求直线的方程；（II）当点异于两点时，求证：为定值。分析：为什么是定值？ 短轴方向是，长轴方向是，这些为什么？例23、（2014卓越）已知双曲线(,)的两条渐进线的斜率之积为，左右两支上分别由动点和（1）设直线的斜率为1，经过点，且，求实

11、数的值（2）设点关于轴的对称点为若直线，分别与轴相交于点，为坐标原点，证明结论16、圆幂定理：若非圆圆锥曲线C与两条相交直线交于四点，则四点共圆的充分必要条件是：将四点任意分为两组，分别作过每一组两点的直线，这两条直线的平分线与C的各对称轴都垂直（或平行）例24、已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点。(1)求椭圆的方程；(2)是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。例25、已知椭圆的离心率为，直线过点，且与椭圆相切于点. （）求椭圆的方程； （）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得?若存在，试求出直线的方程；若不

12、存在,请说明理由.例26、（2014高考全国卷21）已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.（I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.例27、已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于两点，以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值例28、已知点M(2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|PN|=2.记动点P的轨迹为W.()求W的方程;()若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.练习1、为坐

13、标原点，是抛物线上异于的两个动点，设的斜率分别是，且，（1）求证直线过定点。（2）求的最小值。2、点A、B为抛物线上原点以外的两个动点，已知，求点M的轨迹方程。3、设为抛物线上位于轴两侧的两点。（1）若，求证直线恒过一个定点；（2）若，是钝角，求直线在轴上的截距的取值范围。4、P是曲线上动点，直线L过点P且与抛物线C交于另一点Q。若直线L不过原点且与x轴交于点S，与y 轴交于点T，试求的取值范围。5、一道题是怎么编出来的？如题：过的直线交抛物线于E、F两点， A/(t,0)。求证：直线A/E，A/F的斜率之和是定值。6、在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点.（）求动点的轨迹的方程

14、；（答案：）（）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一个定点，并证明你的结论.7、自点A(0,)向抛物线C:作切线AB，切点为B，且点B在第一象限，再过线段AB的中点M作直线L与抛物线C交于不同的两点E、F，直线AF、AE分别交抛物线C于点P、Q。（1） 求切线AB的方程及切点B的坐标；（2） 证明8（2011全国联赛）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方（1）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求的面积9、已知椭圆M：，点，分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交M于两点。（1）求M的离心率及短轴长；（2）是否存在

15、直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。10、已知椭圆两焦点坐标分别为,，且经过点（）求椭圆的标准方程；（）已知点，直线与椭圆交于两点若是以为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线的方程11、已知是抛物线上的两个点，点，直线的斜率为k， 为坐标原点.（）若抛物线的焦点在直线的下方，求k的取值范围；（）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为，求的最小值.12、（2013卓越联盟）设椭圆的离心率为斜率为的直线过点且与椭圆相交于两点（1）求椭圆方程；（2）若直线与轴相交于点，且求的值；（3）设为椭圆的下顶点，分别为直线的斜率 证明对任意的，恒有1

16、3、（2010年北京大学夏令营）点在椭圆上，直线l的方程为（）证明：点P是椭圆与直线l的唯一交点；（）设分别是椭圆的左、右焦点，点关于直线l的对称点为点Q，证明：三点共线14、椭圆的右准线与轴的交点为， 是椭圆右准线上异于点的任意一点，分别是椭圆的左、右顶点，直线与椭圆的另一个交点分别为。求证直线过定点。15、已知椭圆的离心率为以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。（I）求椭圆C的方程；（II）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴交于定点Q；（III）在（II）条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求

17、的取值范围。16、已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.17、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。（）求椭圆C的标准方程；（）若直线与椭圆C相交于A,B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.18、已知曲线（）（）若曲线C是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（）设，曲线与轴的交点为（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，直线与直线交于点求