中考类比探究专项

1、几何类比探究是河南中考数学的重点、难点，虽是考试难点，但依然有法可破!【知识点睛】构、旋转结构、中点结构.构、类比思路来解决类比探究问题.3.常见结构:几何类比探究 （一）1.类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查.常见结构有:平行结构、直角结2.类比是解决类比探究问题的主要方法.往往会类比字母、类比辅助线、类比结平行结构直角结构旋转结构中点结构B Af / 0平行夫中点中位线（类）倍长中线【例题精讲】例1. （2015?潜江24.）已知/ MAN=135 ,正方形ABCD绕点A旋转.（1）当正方形ABCD旋转到/ MAN的外部（顶点A除外）时，AM, AN分别与 正方形ABCD的边CB, C

2、D的延长线交于点 M, N,连接MN .如图1,若BM=DN,则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；如图2,若B隹DN,请判断中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证 明；若不成立，请说明理由；（2）如图3,当正方形ABCD旋转至I / MAN的内部（顶点A除外）时，AM, AN 分别与直线BD交于点M, N,探究：以线段BM, MN, DN的长度为三边长的三 角形是何种三角形，并说明理由.例2. (2015?&港26.)已知： ABCg等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直 线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ其中/ PCQ=90 ,探究并解决下列问 题：(1)如图，若点P在线段A

3、B上，且AC=l+j, PA=,则:线段 PB=, PC=;猜想：pA, p pQ三者之间的数量关系为 ；(2)如图，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请 你利用图给出证明过程；(3)若动点P满足理=,求里的值.(提示：请利用备用图进行探求)FB AC例3.在等腰直角三角形 ABC, Z BAG90° , AB=AC,直线MN±点A且MN BC.以 点B为一锐角顶点作 RtABDE /BDE=90° ,且点D在直线MN1 (不与点A重 合).如图1, DE与AC交于点P,易证：BD=DP(1)在图2中，DE与CA的延长线交于点P,则BD=DP

4、是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.(2)在图3中，DE与AC的延长线交于点P,BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明.图2图3例4.在正方形ABCDK 对角线AC与BD交于点Q在RtAPMN, / MPN90。(1)如图1,若点P与点。重合且P业AR PNNIAB,分别交AD, AB于点E, F, 请直接写出PE与PF的数量关系.(2)将图1中的Rt/XPM啜点。顺时针旋转角度a (00 <a<45° ).如图2,在旋转过程中(1)中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成 立，请说明理由.如图3,旋转后，若RtPMN勺顶点P在线段OB上移

5、动(不与点Q B重合), 当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明.当BD=mr BP时，请直接写出PE与PF的数量关系.(3)在(2)的条件下，当/DPM15。时，连接EF,若正方形的边长为9时，请直接写出线段EF的长.图1【练习】1、（2015?齐齐哈尔26. （8分）如图1所示，在正方形ABCtJ口正方形CGE叶, 点B、G G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM勺延长线交EF于点N,连 接FM易证：DM=FMDML FM （无需写证明过程）（1）如图2,当点B、C、F在同一条直线上，DM勺延长线交EG于点N,其余条 件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出

6、猜想，并给予证明；（2）如图3,当点E、B、C在同一条直线上，DM勺延长线交CE的延长线于点N, 其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想.2.如图，在RtzXABC中，/ACB=90° , /A=30° ,点O为AB的中点，点P为 直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC, OP,将线段OP绕点P 顺时针旋转60° ,得到线段PQ,连接BQ.（ 1）如图1，当点 P 在线段 BC 上时，请直接写出线段BQ 与 CP 的数量关系：2）如图2，当点P 在 CB 延长线上时， （ 1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由

7、;(3)如图3,当点P在BC延长线上时，若/ BPO=15° , BP=4,请求出BQ的长.E, P作BC的平行EFQP的面积为S2,EF+PQ=BC.3如图，4ABC中，点E, P在边AB上，且AE = BP,过点 线，分别交AC于点F, Q,记4AEF的面积为S,四边形 四边形PQCB的面积为S.(1)若 EP=2AE, WJ EF:PQ:BC=;求证：一 PE ,(2)若Si+$=S,求的值.AE(3)若&-§=$,直接写出PE的化 AEBP .4、在 ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE = nEA,连 接CE并延长交AB于点F.(1)如

8、图如图2,.FB . .当/BAC=90 , / B=30 , DE = EA 时，求一的值; FA当 ABC为锐角三角形，DE = EA时，求更 的值;FA(3)如图3,当 ABC为锐角三角形，DE = nEA时，求 职 的值.FA图3第六讲几何类比探究（二）例1.如图1, /QPN勺顶点P在正方形ABCD5条对角线的交点处，/ QPN=, 将/ QPNS点P旋转，旋转过程中/ QPN勺两边分别与正方形 ABCD勺边AD和CD 交于点E和点F （点F与点C, D不重合）.（1）如图1,当a =90°时，DE, DF, AD之间满足的数量关系是;（2）如图2,将图1中的正方形ABC畋

9、为/ ADC=120的菱形，其他条件不变，1当a =60时，（1）中的结论变为DE+DF=1 AD ,请给出证明；2（3）在（2）的条件下，若旋转过程中/ QPN勺边PQ与射线AD交于点E,其他 条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE, DF, AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明.图2BADC图3例2.已知直线m / n,点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线 m, n不垂直，点P为线段CD的中点.(1)操作发现：直线l，m, Un,垂足分别为A, B,当点A与点C重合时(如图1所示)，连接PB,请直接写出线段PA与PB的数量 关系：(2)猜想证明：在图1的情况下

10、，把直线l向上平移到如图2的位置，试问(1) 中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理 由.(3)延伸探究:在图2的情况下，把直线l绕点A旋转，使得/ APB=90 0 (如 图3所示)，已知两平行线 m, n之间的距离为2k.求证：PA PB k AB .例 3 在 RtACB 和 RtAAEF 中，/ ACB= / AEF=90 ° ,若点 P 是 BF 的中点, 连接PC, PE.特殊发现：如图1,若点E, F分别落在边AB, AC上，则结论：PC=PE成 立(不要求证明).问题探究：把图1中的4AEF绕着点A顺时针旋转.(1)如图2,若点E落在边

11、CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立,请给予证明；若不成立，请说明理由.（2）如图3,若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请 给予证明；若不成立，请说明理由.、.AC（3）记"AC k,当k为何值时，CPE总是等边三角形（请直接写出k的BC值，不必说明理由）？E例4. (2017洛阳一模)(10分)如图，C为线段BE上的一点，分别以BC和 CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG , M、N分别是线段AF和 GD的中点，连接MN(1)线段MN和GD的数量关系是,位置关系是;(2)将图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90° ,其他条件不变，

12、如图,(1)的结论是否成立？说明理由；(3)已知BC=7, CE=3,将图中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件 不变，直接写出MN的最大值和最小值.例5 （2017开封）如图所示，平行四边形 ABCD中，/ B=60 ° ,将一块含60 °的直角三角板如图放置在平行四边形 ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点 始终与点C重合，角的两边所在的两直线分别交线段 AB、AD于点E、F （不包 括线段的端点）.（1）问题发现：如图1,若平行四边形ABCD为菱形，试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系 ,请证明你的猜想.(2)类比探究:如图2,若AB: AD=1 : 2,过点C作CHLAD于点H,求AE : FH的比值;(3)拓展延伸：如图3,若AB: AD=1 : 4,请直接写出(AE+4AF): AC的比值为.图图203例6 (2017新乡)如图1,过等边三角形 ABC边AB上一点D作DE / BC交边AC于点E,分别取BC, DE的中点M, N ,连接MN .B M C B _W C S M C图1图2图3(1)发现：在图1中，*=；(2)应用：如图2,将4ADE绕点A旋转，请求出 黑的值；(3)拓展：如图3, ZXABC和4ADE是等腰三角形，且 /BAC=/DAE