极化恒等式在数量积中的应用(教师版)

1、极化恒等式在数量积求值中的应用【教学目标】1 . 了解极化恒等式概念，理解极化恒等式的几何意义;2 .能利用极化恒等式解决数量积中的求值问题.【教学过程】1,极化恒等式的概念：极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这个极化恒等式降维至二维平面即得：r r 1 r r 2 r r 2极化恒等式：设a,b是平面内的两个向量，则有 a ba b a b4uur uuu o o极化恒等式的几何意乂：在ABC中，AD是BC边上的中线，AB AC AD2 BD2.我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与

2、几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.2,极化恒等式在数量积求值中的应用：极化恒等式对研究数量积问题有着怎样的帮助呢？我们通过对比几道例题的解题思路 来思考这个问题.例1. （2016年江苏数学高考第13题）如图，在ABC中，D是BC的中点，E,F是uur uurA D上的两个三等分点，BA CAuur4, BFuurCFuur uurXAB法一：（坐标法）解：以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,如图：设 A(3a,3b),B( c,0) ,C(c,0),贝U有 E(2a,2b), F(a,b)BA CAuuu uun

3、BF CFuur uuuBE CE222,3a c,3b3a c,3b9a c 9b 4(a c, b)g(ac,b)a2c2 b21,则 a2b2 - ,c2 1388_ 一._一.22.272a c,2b2ac,2b4a2c24b28uur uuuBE CEWEUD提UDIJIUDC UD 提 UD2InDUE42uunBC2WDUF6 12Inc UB上面的解法采用基向量的思想，将平面内向量用FD, BC表示.而这样一个转化的过程可以用“极化恒等式”直接描述.如下:法二:(基向量)uuu2uuu2uiH2ui«2解:uu uuBA CAuuuDAuuu DBuuu DAuuu

4、DC4ADBC36FD BC444uuu BFuuuCFuuu DFuuu DBuuu DFuuu DCuuu2 4FDuuu2 BC1 ,因此uuu2FD5 uuf2 ,BC81342设 BD x, DFuur uurBA CA9y2uur4 , BFuuu 222CF y x 1,则有 y25 28,X13uur uuuBE CE4y2当题目需要从中线与底边这我们看到极化恒等式其实是一种基向量思想的公式化表达, 两个方向寻找基向量时，运用极化恒等式可以更好，更快的达到解题的目的从前面的题目，我们看到极化恒等式对研究共起点（终点）向量数量积问题有很大的帮 助，但是对于有些不共起点（终点）向量

5、数量积问题，我们是否可以用极化恒等式来探索呢?比如：例2 （南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市 2013届高三三模第13题改编）在平面四边形 ABCD中，点E, F分别是边AD,CD 5uuu urnuuu uuu若AD BC 15 ,贝U AC BD的值为法一:（坐标法）解：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ,设 A(0,0), B(1,0),D(Xi,yi),C(X2,y2)uuuQBCuuuOCuurOB (x2i,y2)uuu ADuurBC("%)处2i,y2) X1X2Vi V215uuuQBDuuu ODuurOB (X11，Vi)uuuACuurBD(X2, V2)

6、gXi1, Vi)X1X2V1V2X215 X1 X2uuu2 QEFX2怎y)2则（X1X21)22(V1V2)8 ， (X1X2)2(V12V2)2(X1 X2) 1 8uuu 2 又QCD(X12 ,X2)(V12V2)uuuACuuuBD15X1 x2 14法二：（基向量）uuu uuu uuu解：Q2EF AB DCuuu2 uiu2 uuut4EF AB DCuur 2ABuuu DC又AB=1, DC= 5, EFuurABuuu DCuuuQADuurBC15uuu (ACurnurnCD)g(BDuuuDC) 15uuuurn则 ACgBDuuuACuuu DCuuu uuu

7、 uuu2CDgBD DC 15uuuuuu可化为ACgBDuur ABuuu uuu uuu uuu BC DC CDg BCuur CDB 15Fuuu uuu uuu uuuuuu urnACgBD AB DC 15,故ACgBD =14法三（极化恒等式）解：如图，取 AB,AC,CD,BD 中点 H,I ,J,K .四边形ABCD中，易知EF,KI ,HJ三线共点于Ouuu uuuQAD BC 15uutrHKuurHI1522HO IO4uuu 又Q ACuuuBDuuu4HEuuuHFHO2 FO2在EFI中,Q EF5 行,FI由中线长公式知IO°,从而HO24uuu

8、uur 1AC BD =4(4)214.本题对于学生来说思路较难发现，但从极化恒等式的角度对条件、目标进行探索，思路清晰，过程自然，很轻松就解决了问题。3 .巩固练习:是边 BC 的中点2 , A 60 ,若点P满足1 .（2012 浙江高考 uur uuuAM 3, BC 10, ABgACurn uuu 22解：ABgAC AM BM2 . （2017苏锡常镇一模）在4uuo uuuuuu uur uirAP ABAC ,且 BP CP解：取BC的中点D,连接DP由 AB 1 AC 2 A 60uur uir22BP CP 1 OP BO ,）在 ABC 中,M.1故1或-一4B3 .（2

9、017南通二模）如图，在平面四边形 ABCD中，O为BD的中点，且OA 3, OC 5.若AB AD 7,则 BC , DC的值是.解：AB AD AOOP 三uir uuu则 2，又BP AC BO27,又 OA 3则有 OB 4,BC DC CO2 BO2 25 16 9uiu uuuuuu uuu4 .（自编）在梯形 ABCD 中，满足 AD/BC, AD 1,BC 3 , ABgDC 2,则 ACgBD=解：过A点作AE平行于DC,交BC于E,取BE中点F连接AF,过D点作DH平行于AC,交BC延长线于H,取BH中点G,连接DG,uuu uuu uur uurABgDC ABgAE A

10、F2 BF2 AF2 1 2,uuu uuu uur uuir222ACgBD DBgDH BG DG 4 DG又FG BG BF 1,AD/BC,则四边形ADGF为平行四边形uuu uuuAF DG , ACgBD 1极化恒等式在数量积求最值中的应用【教学目标】1 .能利用极化恒等式解决数量积中的求最值问题：2 .思考使用极化恒等式解决数量积最值问题时，有何区别【教学过程】例1 （2016届南通、扬州、泰州二模第12题）如图（2）,在同一平面内，点 A位于两平行直线m,n的同侧，且A到m,n的距离分别为1, 3 .点B,C分别在m,n ,uuu uuu iuur uuiu ,_ ,法一:（坐

11、标法）解：以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,如图：则 A（0,3）, C（c,0）, B（b,2）,urnuuu则 AB （b, 1）, AC （c, 3）,从而（b c）2 （ 4） 2 52 ,2uur uuu（b + c）221即（b c）2 9,又 ABgAC bc+3 +3=,44当且仅当b c时等号成立.法二.（极化恒等式）解：连接BC ,取BC的中点Duui uuu 22AB AC AD BD又ADuuu一 ABuuuACuuu 故AB2 urn AC254BD252254又因为1 BC24 uuu umBCmin 31 2 ,

12、所以（AB AC）max214OABymxCC nmBDAB AC 5 ,则AB AC的取大值是例2中我们注意到所求目标为共起点向量数量积的最大值，而条件告诉我们 BC边上的中线长为5 ,故易联系到极化恒等式，只需求底边BC的最小值即可2例2 （2016届南京三模第13题）在半径为1的扇形AOB中，/ AOB = 60。，C为弧上的动点，AB与OC交于点P,则OP-BP的最小值是 法一.（坐标法）解：以直线OB为x轴，过点A且垂直于OB的直线为y轴, 建立如图所示的平面直角坐标系，如图:则 A(0,-23),O( 2,0), B(2,0)可得AB直线方程为2xurnOP (x2x)2 3 y3

13、uir BP(x设 P (x,l(1213-,(1 2x)2 22x)um uurOP BP3.2 14x -3x+ -=4(x-)-2816, N f f 一一，.，一当x= 3时，OP BP的取小值是8116法二：（基向量）uuu uuu uir解：OP OB BP, BP x,x 0,1uuu uir 则 OP BPuur uir uirOB BP BP所以当1一时，取得最小值4116法三：（极化恒等式）解:如图取OB的中点D ,连接PDuurOP山r22BP PD ODPD即求PD的最小值.由图可知：当PD AB时PDminB则OP - BP的最小值是 .16极化恒等式从中起到例1与例

14、2通过将数量积的最值问题转化为几何线段的最值问题, 重要的桥梁作用.但区别于例1,例2将数量积的最值问题转化为相应三角形的中线长最值问 题.例2中求PD的最小值还可以看成“以 D为圆心的圆与线段 AB有公共点，求圆半径最 小值”.从这种角度看较类似的还有 2016届盐城市三模第11题：uur uir例3.已知线段 AB的长为2 ,动点C满足CA CB （为常数），且点C总不在以点1 一，B为圆心，一为半径的圆内，则负数的最大值是2解析：如图，取AB的中点D ,连接CDuir uurCA CB CDCD .1, 1 _1 , 又由点C总不在以点B圆心，1为半径的圆内,D21. .一 ,，一31

15、,则负数 的最大值是 324uur uir本题我们将条件“线段 AB的长为2 ,动点C满足CA CB （为常数）”通过极化恒等式转化为C点的轨迹为圆，题目就转化为圆与圆的位置关系问题，较易解决例4.设。是 ABC外接圆的圆心，a, b,c分别为角A, B,C对应的边，已知2 一 2b 2b cuur uur0 ,则BC AO的范围是解析一：设D为BC的中点,uuur uuu则 AO ADuuuDOuuir uur uur uur 得 BC AO BC (ADuuur uur uuuDO) BC ADuur uuur uuirBC DO) BCuuuADuur uur 又由BC ACuuur u

16、urAB, AD1 uuurAC 2uurABuuruuu uur 1则 BC AD ACuurABuurACuur ABuuur2 ACuuu2 AB2(2b b2)b22b b2uuur 合BCuurADb2可求得uurBCuurAD<2 ,解uur BC析uuuAOuur uuuCB OAuur(OBABC uuur OC)外uuu OA接圆uuu uuu半径uuur uuuOB OA OC OA2R cosAOB R2cosAOCR2cos2 c2R cos2B_ 2_2 _ 2R2(1 2sin2C) R2(12sin 2B)2R2sin2又因为b2 2b0,所以2bb2uur

17、所以BCuurAO1 h2 一 b214l(2b 2(b 2)2b2)b2(b2)2(24(0 uur 故BCb 2)uurAO的范围是4,2).解析三：设ABC外接圆的半径为R,分别取AB、AC的中点E、F ,则依题意可得uur BCuuuAOuurCBuuu uur uuurOA (OB OC)uuuOAuum uuuOB OAuuur uuuOC OAuuu 因为OBuurOA1 uur uuu o uur (OB OA)2 (OB4uur o 1 1OA)2 4(4OEUUU2uur2AB ）（极化恒等式）uur2 OE同理可得1 2 c4 uur OCR2uuuOA_212-2AE2

18、 c2 R24 1 uur uuu o 4(OC OA)21 2-c 4 uuur (OC ': 1-c4uuuOA)2R21 2 c2 uuui21 - -(4OF4uur 2AC )uuur 2OFuuu 所以BC1 h2b4uuurAOR2R2又因为b22bAF21b24R21buur所以BCuurAO1 h2b21(R22 b2)41 h2b21 h2 b41 2 c2R2二 b20,所以2bb22(2b(b 2)2b2)b2(b2)2(22)24(0uurb 2)uur1AO的范围是,2).4由0 b24巩固练习:1.正方体 ABCD A B1C1D1的棱长为2,MN是它内切

19、球的一条弦（把球面上任意两点之间uuur uuu的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦 MN最长时，PM gPN的最大值为 _222.PO2 MO2 PO2 1uuir uuu解：设球心为 O,当弦MN最长时，MN过O,此时PM gPNuuur uuu又PO最大值为 点，故PM gPN的最大值为22 . （2013北京市朝阳区二模）点P是棱长为1的正方体ABCD ABQ1D1的底面A1B1CQ1上uir uuu一点，则PAgPC的取值范围是解;取AC中点O,连接PO如皿 22216PAgPCPO2AO2PO2一,又 PO1,-622uur uur1PAgPC的取值范围是 -113 .

20、设正方形 ABCD的边长为 4,动点P在以AB为直径的圆弧 APB上（如图所示），则uuu uuuPDgPC的取值范围是A解：取CD的中点uuu uuuPDgPCPE222DE PE 4 ,又 PE 2, . 5uur uuuPDgPC0,1E,连接PE4 .如图放置的边长为1的正方形ABCD顶点分别在x轴，y轴正半轴（含原点）滑动，则解：取BC中点E,连接OEuun uuuOBgOC的最大值为uuu uuru 9OBgOC OE2由条件知O在以AD为直径的半圆上,取AD中点F连接OF,EFOE OFEFuur uuuOBgOC的最大值为25.（自编）在平面直角坐标系xOy中，A,B分别在x,

21、 y正半轴上移动，AB 2 ,若P点满足uur uirPAgPB 2，则OP的取值范围为解：取AB中点为C,连接PCuir uir222-PAgPB 2 PC2 AC2 PC2 1, PC 3故P在以C为圆心， .为半径的圆上由条件知O在以AB为直径的半圆上则 OP 3 1, 3 1极化恒等式在数量积问题的综合应用【教学目标】3 .能利用极化恒等式解决数量积中较复杂的综合问题：4 .反思使用极化恒等式解决数量积最值问题的好处【教学过程】例1. （2015年盐城市高三数学调研 14题）正方形ABCD边长为1,中心为O,直线l经 uuuurnuur过中心O,交AB于M ,交CD于N, P为平面上一

22、点，且 20P OB （1 ）OC ,则uuu uuuPM PN的最小值为.法一.（坐标法）解：建立如图所示的平面直角坐标系,如图：则 B( 1, 1),C(L 1),设 P(x,y)2222uuu 因为20PuuuOB (1uuu )OC所以(2x,2y)(2, 2)1又令M(, 21、a),N( ,a),a221 0,211 21),则 P(1ADNMCuuir uuu则 PM PN =(1 2 )2161616当且仅当1一，a2法二.（极化恒等式）解：如图连接OP并延长交BC线段于因为B,H,C三点共线uuu 所以20PuuuOB (1uuu )OCuuur OHuuur uuuPM P

23、NPO2OMOH 22OM 2uuir (PMuuuPN )minOH 2)min_2(OM )max1616练习:（2012南京模拟）在线EF上，若ABC的面积为2,ABC中，点E , F分别是线段 uur uuu uiu2则PBgPC BC的最小值是AB, AC的中点，点P在直解：取BC的中点D,连接PDULT uuu uur2PBgPC BC PD BD 4BD，又 ABC 的面积为 2uir uuu UIU24_设ABC中bc边上的高为h, PBgPC BCh2 3 4收h问题也可以从“已知向量数量积的最值求相关参数”的角度发问，比如：例2 （扬州市2015届高三上学期期末考试第14题

24、）已知A（0,1）,曲线C：y logax恒uiu uur过点B ,若P是曲线C上的动点，且ABgAP的最小值为2,则a =-法一：（坐标法）UUU UUU解：由条件知：当0 a 1时，（ABgAP）min 0,故a 1又由 A(0,1),B(1,0)，设 P(x,logax)则有：UUU UUU ABgAP (1, 1)g(x,loga x 1) x loga x 1;令 f (x) x loga x 11j1 x iTa1f (x) 1 ln-a0,xxln a xin a一、，1，一 ，1因为 0 x , f (x) 0,故 f(x)在(0,)上减；ln aln a1 一 .1x,f (

25、x) 0,故£(*)在(，+ )上增； ln aln a11所以 x 时，f (x)min +log a (ln a) 1=2ln aln a令 ln a t,有 ln t t 1=0,易知 t 1,则 a e.法二：(极化恒等式)解：易知a 1,如图B（1,0） 则AB 盘,连接BP,取BP的中点C,连接ACUIU ULU因为ABgAP的最小值为2,则有（AC2 BC2）min 2 （ 2）2 AB2等价于 AB2 BC2 AC2,即 ABP 90°当且仅当P与B重合时，取等号此时曲线C在B处的切线斜率为1,即 '=1 ln a例2需要抓住题目中隐含条件AB也，通

26、过极化恒等式将数量积的最值转化为角的最值，理清等号成立的条件，从而求出参数有的时候题目的条件会告诉数量积的最值对应的位置，然后求相关的量，比如:1例3.（2013年浙江局考第7题）在ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B AB4，uir urn uuu uuu且对于边 AB上任意一点P,恒有PBgPC RBgPC则下列选项中正确的是 （）A ABC 90°B BAC 90°C AB AC.D. AC BC法一:（坐标法）解：以AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy,不妨设 AB 4,C（a,b）,P（x,0） （ 2 X 2）则 BP0 1,A( 2,0), B(2,0), P°(1,0)1 uuuuiruuu RB (1,0) , PB (2 x,0) , PC uir urn 对于边AB上任意一点P,恒有PBgPC(2 x)(a x) a 1 对 2 x 2 恒成立整理可得x2 (a 2)x a 1 >0恒成立令 f (x) x2 (a 2)x a 12,必有f( 2) 9 3a 0,无解;2 ,必有f (2)a2 0, a 0；即C在AB的垂直平分线上AC BC ,故 ABC为等腰三角形，故选D .PP0法二：（极化恒等式）解：取BC边中点D ,连接PD , P0Duir uur uuu