勾股定理逆定理八种证明方法

1、证法1作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D E、F在一 条直线上(设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为c.)。过点C作AC 的延长线交DF于点P. D、E、F 在一条直线上， 且 Rt GEF也 Rt EBD / EGF = / BED / EGF + / GEF = 90°, / BED + / GEF = 90°， / BEG =180 90° = 90 °又 AB = BE = EG = GA = c ， ABEG是一个边长为c的正方形。 / ABC + / CBE = 90° Rt ABC也 Rt EB

2、D / ABC = / EBD. / EBD + / CBE = 90° 即 / CBD= 90又 / BDE = 90°,/ BCP = 90°， BC = BD = a. BDPC是一个边长为a的正方形。同理，HPFG!个边长为b的正方形. 设多边形GHCB的面积为S,贝U证法2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b (b>a)，做一个边长为c的正方形。斜边长为c.再把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、 C三点在一条直线上. 过点Q作QP/ BC，交AC于点P.过点B作BML PQ垂足为M；再过点F作FN!PQ垂足为N. / BCA

3、 = 90°，QP/ BC， / MPC = 90°, BM 丄 PQ / BMP = 90°, BCPM是一个矩形，即/ MBC = 90°。 / QBM +/MBA = / QBA = 90°,/ ABC + / MBA = / MBC = 90°,- /,又 / BMP = 90°,/ BCA = 90°, BQ = BA = c , Rt BMW Rt BCA. 同理可证 Rt QNF Rt AEF即卩= CZ证法3作两个全等的直角三角形，同证法 2,再作一个边长为c的正方形。把它们拼成 如图所示的多边形.

4、分别以CF, AE为边长做正方形FCJI和AEIG, EF=DFDE=b-a, EI=b, FI=a,G,I,J在同一直线上，CJ=CF=a CB=CD=,c/ CJB = / CFD = 90°, Rt CJB 也 Rt CFD, 同理，Rt ABG Rt ADE Rt CJB 也 Rt CFD也 Rt ABG也 Rt ADE/ ABG = / BCJvZ BCJ +/ CBJ= 90°,/ ABG +/ CBJ= 90°,vZ ABC= 90 , G,B,I,J在同一直线上，a3+b3 = c2证法4于点L.v AF = AC , AB = AD, FAB 也

5、 GADv FAB的面积等于，矩形ADLM勺面积=. v正方形ADEB的面积即a3+b2 = c2作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结 BF、CD.过C作CL± DE 交AB于点M交DEZFAB = ZGAD GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半, 同理可证，矩形MLEB勺面积=.=矩形ADLM勺面积+矩形MLEB勺面积证法5几何原本中的证明在欧几里得的几何原本一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设 ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至 对边，使其垂直于对边上的正方形。 此线把对边上的正方形一分为二，

6、 其面积分 别与其余两个正方形相等。在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形 的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅 助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四 边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。其证明如下：设厶ABC为一直角三角形，其直角为 CAB其边为BC AB和CA依序绘成四方形CBDE BAGF和ACIHo画出过点A之BD CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交

7、于K、L。分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF BDA Z CAB和Z BAG都是直 角，因此C A和G都是线性对应的，同理可证B、A和HoZ CBDffiZ FBA皆为 直角，所以Z ABD等于Z FBC因为AB和BD分别等于FB和BC,所以 ABD必 须相等于厶FBC因为A与K和L是线性对应的，所以四方形 BDLK必须二倍 面积于 ABD因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAG!必须二倍面积于 FBC 因此四边形BDLK必须有相同的面积BAGF= AB&sup2。同理可证，四边形CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2; o把这两个结果相加， AB2;+ AC2; =

8、 BD X BK + KLX KC 由于 BD=KL BDX BK + KLX KC = BD（BK + KC） = BD X BC 由于 CBDE 是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2;。此证明是于欧几里得几何原本一书 第1.47节所提出的证法6 (欧几里得(Euclid )射影定理证法)如图1, Rt ABC中，/ ABC=90 , BD是斜边AC上的高通过证明三角形相似则有射影定理如下：(1)( BD 2;=AD - DC3( AB 2;=AD - AC ,3( BC) 2;=CD- AG由公式+(3)得：(AB 2;+ (BC) 2;=AD - AC+CD AC =(AD+C

9、D AC=(AC 2;, 图 1 即(AB 2;+ (BC 2;= (AC 2,这就是勾 股定理的结论。图1证法6 在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形 ABDE是由4个相等的直角三 角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为 ab/2 ;中间 懂得小正方形边长为b-a，则面积为(b-a) 2。于是便可得如下的式子： 4X(ab/2) + (b-a) 2;=c2 ；化简后便可得：a2;+b2;=c2; 亦即：c=(a2;+b2;)1/2勾股定理的别名 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的 应用。正因为

10、这样，世界上几个 文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究， 因此有许多名称。中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数 学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为 勾，另一直角边称为股，斜边称 为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。 在公元前1000多年，据记载，商高(约 公元前1120年)答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之， 外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此， 勾股定理在中国又称“商高定理”。 在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经 给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。在法国和比

11、利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。 还有的国家称勾股定理为“平方定理”。在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。 为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.前任美国第二十届总统 伽菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。1周髀算经，文物出版社，1980年3月，据宋代嘉定六年本影印，1-5页。2. 陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与 出入相补原理的关系。刊於汉学研究, 1989年第7卷第1期，255-281页。3. 李国伟：论周髀算经“商高曰数之法出于圆方”章。刊於第

12、二届科学史研讨会汇刊，台湾，1991年7月，227-234页。4. 李继闵：商高定理辨证。刊於自然科学史研究，1993年第12卷第1期,29-41 页。5. 曲安京：商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。刊於数学传播 20卷, 台湾，1996年9月第3期，20-27页 证法7 达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后 仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等， 就能得出一个新的关系式一一勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共 同点。观察纸片一，因为要证的是勾股定理，那么容易知道EB丄CF,又因为纸片的两边是对称的，所以

13、能够知道四边形ABOF和CDE嘟是正方形。然后需要知 道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结 AD,因为对称的缘 故，所以/ BADM FAD=/ CDAM EDA=45，那么很明显，图三中角 A'和角D'都 是直角。证明：第一张中多边形 ABCDE的面积S仁S正方形ABOF+正方形CDEO+2SBCO=OF2+OE2+OOE 第三张中多边形 A'B'C'D'E'F'的面积 S2=S正 方形 BCEF+2 C'D'E'=E'F'2+C'D' D'E' 因为 S仁S2所以 OF2+OE2+OFOE二E'F'2+CD D'E'又因为 C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以 OF2+OE2二E'F'2因为 E'F'=EF所以