初中数学动点问题专题讲解

1、专题一：建立动点问题的函数解析式例1(2000年上海)如图1,在半彳仝为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P,PH±OA, 垂足为H,4OPH勺重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时，线段GO GP GH中，有无长度保持不变的线段 被口果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度.(2)设PH x ,GP y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(3)如果PGH等腰三角形，试求出线段PH的长.解:(1)当点P在弧AB上运动时，OP保持不变，于是线段 GO GR(22 1中，有长度保持不变的线段，这条线段是GH- NH一OP=2.(即自变量x的取值范围).

2、GH(2)在 Rt POH 中， oh J OP2PH 2. 361 一 1 MH OH 、. 36在 RtAMPh#3 ,222MP . PH MH x1 2x412- 36 3x2y=GP=2MP=1j36 3x233(0<x <6).(3) PGK等腰三角形有三种可能情况1 GP=PHt 、36 3x2 x,解得x312GP=GHt %：36 3x22,解得 x3PH=GHt x 2.66 .经检验,0.经检验,x是原方程的根，且符合题意.x0是原方程的根，但不符合题意.综上所述,如果 PGH等腰三角形,那么线段PH的长为、应用比例式建立函数解析式例2 (2006年山东)如图

3、 2,在 ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线 BC上运动.设BD=x,CE=y .如果/BAC=30，/DAE=105 ,试确定y与x之间的函数解析式;(2) 如果/BAC的度数为 ，/ DAE的度数为，当数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在 4ABC 中，AB=AC,/ BAC=30 , /ABC4 ACB=75 ,. . / ABDh ACE=105 . /BAC=30，/DAE=105 , 又 / DAB吆 ADB=Z ABC=75 , ./ CAE=/ ADB, . ADK EAC,. ABCEBDAC / DAB吆 CAE=75 ,满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函

4、(2)由于/ DAB吆 CAE=，又/DAB吆 ADB=/ ABC=90 且2，函数关系式成立90=,整理得 一90 .22当 一 90时，函数解析式y 2成立.2x例 3(2005 年上海)如图 3(1),在4ABC中，/ABC=90 ,AB=4,BC=3. 点。是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D, 交线段OC于点E.作EPL ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.(1)求证：AADE AEP.(2)设OA=X ,AP= y ,求y关于X的函数解析式，并写出它的定 义域.(3)当BF=1时，求线段AP的长.解：(1)连结OD.根据题意，得 ODL AB, -.

5、/ ODA=90 , / ODAW DEP.又由 OD=OE得/ ODE=/ OED. .Z ADE=Z AEP, /.A ADEA'3(2)AEP.(2) / ABC=90° ,AB=4,BC=3,AC=5./ ABC=ZADO=90 ,OD/ BC,OD3x AD x,545“3438 .OD、x ,AD= x .- AE=x -x = -x.55558AE ADx. ADa AEP,AE AD._§_AP AE ' y25一 ).8(3)当 BF=1 时,若EP交线段CB的延长线于点F,如图 3(1),贝U CF=4. Z ADE=/ AEP,/ PD

6、E=Z PEC. / FBP=Z DEP=90 , / FPB=Z DPE,.F=/ PDE,5 - x =4,得 x 5. F=/ FEC,CF=CE.5 一r.可求得y 2,即AP=2.8若EP交线段CB于点F,如图3(2),则CF=2. 类似，可得CF=CE.5- - x =2,得 x5158可求得y 6 ,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP的长为2或6.C三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4 (2004年上海)如图，在 ABC中，/ BAC=90 ,AB=AC=2j2 ,。A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B C不重合),设BO=x , 4人。C勺面积为y .(1

7、)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(2)以点。为圆心，BO长为半彳5作圆 O,求当。与。A相切时， AOC勺面积.解：(1)过点A作AHU BC,垂足为H. / BAC=90 ,AB=AC=212 ,. BC=4,AH=1 BC=2. . OC=4-x .2八1S AOC -OC AH , y x 4 (0x4).AOC2(2)当。O与。A外切时，在 RtAAOH ,OA=x 1 ,OH=2 x,，(x 1)2 22 (2 x)2 .解得 x -.6,_717此时， AOC勺面积y = 4 7 二. 66当。O与。A内切时，在 RtAAOH ,OA=x 1 ,OH=x 2, (x 1

8、)222 (x 2)2.解得 x -.2,_71此时， AOC勺面积y = 4 -.2217 , 1综上所述，当。O与。A相切时， AOC勺面积为17或1.专题二：动态几何型压轴题动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是 中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键 给以点拨。-、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题.1.

9、 （09年徐汇区）如图， ABC中，AB AC 10, BC 12,点D在边BC上，且BD 4, 以点D为顶点作 EDF B,分别交边AB于点E,交射线CA于点F .（1）当AE 6时，求AF的长；（2）当以点C为圆心CF长为半彳5的。C和以点A为圆心AE长为半彳5的。A相切时，求BE的长；（3）当以边AC为直径的。O与线段DE相切时，求BE的长.题型背景和区分度测量点本题改编自新教材九上 相似形24.5（4）例六，典型的一 线三角（三等角）问题，试题在原题的基础上改编出第一小题 当E点在AB边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系（相切问题）的存在性的研究形成了第二小题，加入直线与圆的位置 关系（

10、相切问题）的存在性的研究形成了第三小题.区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，从而利用方程思想来求解.区分度性小题处理手法1 .直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用 d=r建立方程.2 .圆与圆的位置关系的存在性 （相切问题）的处理方法：利用 d=R± r（ R r ）建立方程.3.解题的关键是用含略解x的代数式表示出相关的线段解：（1）证明 CDF sEBD CFBDCD 广，代入数据得BECF8 , AF=2(2)设 BE=x,则 dAC 10, AE10 x,利用(1)的方法CF 32,x相切时分外切和内切两种情况考虑:外切，10 10 x32内切，1010 x

11、 32 x当。C和。A相切时,x 10BE的长为（3）当以边AC为直径的。类题一个动点：09杨浦两个动点：09闸北2后.0x10442 或 10 207.O与线段DE相切时,25题（四月、五月）、25题、09松江25题、BE空309静安25题、09卢湾25题、09青浦25题.（二）线动问题在矩形ABCD中，AB=3,点O在对角线AC上，直线l过点O,且与AC垂直交AD于点E.（1）若直线l过点B ,把 ABE沿直线l翻折，点A与矩形 （2）若直线l与AB相交于点F,且AO = 1AC,设4形BCDEF的面积为S.求S关于x的函数关系式, 围；ABCD的对称中心A7AD的长为x ,五边并指出x的

12、取值范重合，求BC的长;探索：是否存在这样的 x ,以A为圆心，以x3 ,-长为半径的圆与4直线l相切，若存在，请求出 x的值；若不存在，请说明理由.题型背景和区分度测量点本题以矩形为背景，结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到. 一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线 AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆 的位置关系（相切问题）的存在性的研究形成了区分度测量点二.区分度性小题处理手法1 .找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，图形用割补法.2 .直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用 d=r建立方程.3 .解题的关键是用含 x

13、的代数式表示出相关的线段.略解1_(1) .A是矩形ABCD勺对称中心AB= AA= - AC 2. AB= A'B, AB= 3；AC= 6 BC 3<3图1例1题图图2(2) AC 弋X 9 , AO1Jx2 9 , AF 412一 (x2 9), AE124x1S AEF AE AF2(x2 9)2S 3x (x2 9)2, o ox96x96xx4 270x28196x,3x 3 3)0(舍去),x2若圆A与直线l相切，则x 3 1Jx2 9, xi44不存在这样的x,使圆A与直线l相切.类题09虹口 25题.(三)面动问题如图，在 ABC 中，AB AC 5, BC6,

14、 D、E分别是边AB、AC上的O,与x轴的另一个交点为Bo两个动点(D不与A、B重合)，且保持 DE / BC ,以DE为边，在点 A的 异侧作正方形DEFG .(1)试求 ABC的面积；(2)当边FG与BC重合时，求正方形 DEFG的边长；(3)设AD x , ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为 y ,试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(4)当 BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长.专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图1 ,已知抛物线的顶点为A (2, 1),且经过原点求抛物线的解析式；(用顶点式求得抛物线的解析式为若点C在抛物线的对称轴上，点 D在抛物线上，且以

15、O、C、D、四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标;P,使得OBF与4OAB相似？若存连接OA、AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点 在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。分析：1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、 B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论：按OB为边和对角线两种情况2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形 是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三

16、角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。练习4 (2008广东湛江市)如图所示，已知抛物线y x2 1与X轴交于A、B两点, 与y轴交于点C .(1)求A、B、C三点的坐标.(2)过点A作AP/CB交抛物线于点 P,求四边形 ACBP的面积.(3)在X轴上方的抛物线上是否存在一点 M,过M作MG X轴于点G,使以 A、M、G三点为顶点的三角形与 PCA相似.若存在，请求出M点的坐标；否则, 请说明理由.解：(1)令y 0,得x2 1 0 解得x 1令X 0 ,得y

17、1 A( 1,0) B(1,0) C(0, 1)(2) OA=OB=OC=1BAC= ACO= BCO=45o43解得m11 （舍去）m23.2、,2.AP/CB,PAB=45o过点P作PE X轴于E ,则 APE为等腰直角三角形令 OE=a ,贝U PE=a 1 P(a,a 1)点P在抛物线yx2 1 上.a 1 a2 1解得a12 , a21 （不合题意，舍去）PE=3，四边形ACB P的面积S= 1aB?OC+AB?PE=1（3）.假设存在PAB= BAC =45oPA AC MG X轴于点G,MGA= PAC =90o在 RtMOC 中，OA=OC=1AC= .2在 RtAPAE 中，AE=PE=3.AP=3, 2设M点的横坐标为m ,则/2(m, m1)点M在y轴左侧时，则(i )当AMG s pca时,MGPA CA