全国中考数学压轴题精选及解答

1、2003年全国中考数学压轴题精选11、（2003年安徽省）（本题满分14分）如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把这与正三角形的接近程度称 为“正度”。在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。设等腰三角形的底和腰分别为a、b,底角和顶角分别为、。要求“正度”的值是非负数。同学甲认为：可用式子| a b|来表示“正度”，| a b |的值越小，表示等腰三角 形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子| |来表示“正度”，| |的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。探究：（1）他们的方案哪个较合理，为什么？（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；（3）请再给出

2、一种衡量“正度”的表达式第24题图（2003年安徽省）附加题：（共两小题，每小题 10分，共20分）报考理科实验班的学生 必做，不考理科实验班的学生不做）1、要将29个数学竞赛的名额分配给 10所学校，每所学校至少要分到一个名额。（1）试提出一种分配方案，使得分到相同名额的学校少于4所；（2）证明：不管怎样分配，至少有3所学校得到的名额相同；（3）证明：如果分到相同名额的学校少于4所，则29名选手至少有5名来自同一学校。12、（南宁市2003 本题满分12分）如图12所示，已知 A B两点的坐标分别为（28, 0）和（0, 28）,动点P从A点开始 在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点

3、。运动。动直线EF从X轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF/ X轴），并且分别与y轴、线段AB交于E、F点。连结EP,设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为 t秒。（1）当t=1秒时，求梯形 OPFE的面积。t为何值时，梯形 OPFE的面积最大，最大面积是多少？（2）当梯形OPFE勺面积等于三角形 APF的面积时.求线段 PF的长；（3）设t的值分别取t1、t2时（t1 w t2）,所对应的三角形分别为 ARP蜉DA AF2P2。试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断。频率13、 （广州市2003 本题满分 16 分）现计划把甲种货物 1240 吨和乙种货物 880 吨用一

4、列货车运往某地， 已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为 8000 元（ 1）设运送这批货物的总费用为 y 万元，这列货车挂A 型车厢 x 节，试写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）如果每节 A型车厢最多可装甲种货物 35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物 25 吨和乙种货物 35 吨，装货时按此要求安排A、 B 两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？（ 3）在上述方案中，哪个方案运费最省？最少运费为多少元？14、（福建省三明市 2003 14 分）已知：如图，E、F、G H按口AE= CG BF

5、= DH BF= n AE （ n是正整数）的关系,分别在两邻边长a、na的矩形ABC陷边上运动，设 AE= x,四边形EFGH勺面积为S。（1）当n = 1、2时，如图，观察运动情况，写出四边形EFGH顶点运动到何位置，使S = 1%巨形ABCD（3分）2（2）当n = 3时，如图，求 探索S随x增大而变得化的规律；1 Q（6 分）一 S矩形ABCD2（3）当 n = k （ k>1）时，（考生注意：你在本题研究中， 情另加35分）S与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），猜想四边形EFGH各顶点运动到彳S位置使s =你所得到的规律和猜测是否成立，请说明理由。如果能发现新的结论

6、，并说明结论正确的理由，将酌（5分）naHADG15、 （ 2003 年福建省泉州市13 分）周末某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发。设甲、乙两组行进同一段所用的时间之比为2 ： 3。（ 1） 直接写出甲、乙两组行进速度之比；（ 2） 当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰 A处，且A处离山顶的路程尚有1.2千米。试问山脚离山顶的路程有多远？（ 3） 在题（2）所述内容（除最后的问句外）的基础上，设乙组从A 处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B 处与乙组相遇。请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答（要求：。1问题的提出不得再增添

7、其他条件；。2问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件）参考解答11、2003年安徽省（本题满分14分）解：（1）同学乙的方案较为合理。因为 | a - 3 |的值越小，a 与3越接近60°,因而该 等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相 等。2分同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等。如：边长为 4, 4, 2和边长 为 8 ,8 ,4 的两个等腰三角形相似，但|2-4|=2 丰|4-8|=46分a bl la bl（2）对同学甲的方案可改为用 等（k为正数）来表示“正度”10ka kb分（3）还可用600,600,1200,-600 2 26

8、002等来表示“正度”说明：本题只要求学生在保证相似三角形的“正度”相等的前提下，用式子对“正度”作大致的刻画，第（2）、（3）小题都是开放性问题，凡符合要求的均可。理科实验班试题：（共两小题，每小题 10分，共20分）1、解：（1）满足要求的分配方案有很多，如：学校 123456789 10名额 11122233771名，则人数最少的分配方案（2）假设没有3所学校得到相同的名额，而每校至少要有是：每两所学校一组依次各得 1, 2, 3, 4, 5个名额，总人数为 2 （1+2+3+4+5） =30。但 现在只有29个名额，故不管如何分配，都至少有3所学校分得的名额相 同。6分（3）假设每所学

9、校分得的名额都不超过4,并且每校的名额不少于1,则在分到相同名额的学校少于 4所的条彳下，10所学校派出的选手数最多不会超过3X4+3X3+3X2+1X1=28,这与选手总数是29矛盾，从而至少有一所学校派出的选手数不小于 5。10分2、证明：取 A1A5中点 民，连结A3B3、A1A3、A1A4、AA2分A3B1 B1A4S A1A2A3S A1B1A4又 四边形A1A2A 3B1与四边形A1B1A 4B5的面积相等 1231I 145同理 S AlA2A3S A3A4A55分S AlA4A5 S A3A4A5A 3A 4A 5与A1A 4A 5边A 4A 5上的图相等A1A3 /A 4A1

10、0分同理可证 A1A2 /A 3A 5,A 2A 3 AiA4,A3A4 /A 2A5,A5Ai / A 2A 412、（南宁市2003本题满分12分）解：（1）当 t 1 秒时，OE 1 AP 3OP 28 3 25OA OB, EF/ OAEF EB 28 1 27（1 分）C（OP EF）OES梯形OPFE2（25 27） 1226（2 分）S 28 3t J8 t （3 分）2t2 28t2当t 7秒时，梯形 OPFE勺面积最大，最大面积等于98（5分）（2 ） S梯形 opfe（28 3t 28 t） t （56 4t） t当S梯形OPFESAFP时有:（56 4t）t 3t2（6分

11、）56 4t 3t,t 0ti 8 （秒），t2 0 （舍去）（7 分）过点F作FHL AO垂足为H OAB 45AH FH 8PH 3 8 8 1622在 RtFHP中，fp VFHPH （8 分）V82 162（9 分）8, 5（3）相似 （10分）证明：分别过点 Fi、F2作FiHAB, F2Hz±AP,垂足分别为 H、H2OAB 45AH=FH= t1, AH2=EHb= t2AFi. 2L , AF2. 2t2AF1 kaF2 t2（11 分）又 AP3t1 , AP23t2AP 3t1 t1AP2 3t2 t2AP AF1 上AR aF2 t2且 OAB OAB AF1P

12、 s、AF2 P2（12 分）13、广州市2003解：设用A型车厢x节，则用B型车厢(40x)节，总运费为y万元.依题意，得y= 0.6 x + 0.8(40 -x)= 0.2 x +32依题意，得(35x 25(40 x) >1240, 15x 35(40 x) > 880. 化简，得 10 x >240,x24,5201 >20 x; x126.24 <x<26. x取整数，故 A型车厢可用24节或25节或26节.相应有三种装车方案： 24 节A型车厢和16节B型车厢；25节A型车厢和15节B型车厢；26节A型车厢和14 节B型车厢.由函数y=0.2x+

13、32知，x越大，y越少，故当x=26时，运费最省.这时 y= 0.2 X 26+ 32= 26.8(万元)答：安排A型车厢26节、B型车厢14节运费最省.最小运费为26.8万元.(注：若直接算出三种方案的运费来比较，得出正确的最少运费亦给满分。)14、福建省三明市 20031SS矩形ABCD(1)当门=1时，四边形EFGH顶点运动到矩形 ABC格对应边中点，使S= 2当n = 2时，四边形EFGH顶点也运动到矩形 ABC格对应边中点，使S =1二S矩形ABCD2(2)当n=3时，如图，由已知条件知，AE= CG= x, BF= DH= 3x , AH=CF= 3a 3x, BE= DG= a

14、xSRt CGF _ SRt DHGS = S矩形 ABCD _ SRt AEH _ SRt BFE=S 矩形 ABCD 2SRt AEH2SRt BFE=ABX CD> 2x2 AEX Ahk 2x2 BFX BE2. S = 3a x(3a 3x) 3x(a x)=2_ 2=6(xax) 3aa 23 26(x)-a即$=22(owxwa)6>0，二次函数图像的开口向上aa,.规律是：在对称轴x = 2左侧，S随x的增大而减小；在对称轴x = 2右侧，S随x的增大而增大。猜测；四边形 EFG由顶点仍然运动到矩形 ABC格对应边中点。(3)当n = k时，上述规律和猜测是成立的。

15、a、2 k 222 2k(x )a同理可求 S = 2kx 2kax ka =22(o< x < a)由于k >1,所以2k >oa二次函数图像的开口向上，对称轴依然是x = 2 ,根据函数性质知 S随x的aa增大而变化的规律，即：“在对称轴x= 2左侧，S随x的增大而减小；在对称轴x = 2右侧， 矩形 abcd = ka2随x的增大而增大”是仍然成立的。aa3ak 2a当x = 2时，即AE= CG= 2 ,易知BF= Dhk 2 ,又因为S = 2；S矩 >ABCD. S = 2即猜测：四边形EFGH顶点运动到矩形1s巨形ABC略对应边中点，使S= 2ABCD是成立的。15、2003年福建省泉州市解：（