实际问题与二元一次方程组经典例题-针对各类型题型

1、实际问题与二元一次方程组经 典例题-针对各类型题型实际问题与二元一次方程组经典例题目标认知学习目标:1 .能够借助二元一次方程组解决简单的实际问题， 再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用2 .进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量 关系，体会代数方法的优越性3 .体会列方程组比列一元一次方程容易4 .进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析 问题，解决问题的能力5 .掌握列方程组解应用题的一般步骤； 重点：1 .经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的 过程。2 .进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效 数学模型。难点：正确找出问题中的两个等量关系知识要点梳理知识点一：列方程组

2、解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的 重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找 出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出 几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同 类量；（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相 等.知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1 .行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种， 它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段，用图 便于理解与分析。其等量关系式是：两者的行程差=开始.原度=路程 时间=路程时两者相距的路程；路程二速度时间； A丽；一谢(2)相遇问题：相遇问题也是行程问

3、题中很重要的一 种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而 也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是： 双方所走的路程之和=总路程。(3)航行问题：船在静水中的速度+水速=船的顺 水速度；船在静水中的速度一水速=船的 逆水速度；船的顺水速度-船的逆水速度= 2X水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航 行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2 .工程问题：工作效率X工作时间 =工作量.3 .商品销售利润问题：-t、r.利润率=售叱承价K1。%(1)利润=售价成本(进价)；(2) 阚 ； (3)利润=成本(进价)X利润率；（4）标价=成本（进价）X（1+利润率）；（5

4、）实际售价=标 价x打折率；注意：“商品利润=售价一成本”中的右边为正时， 是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分 之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分 之八即五分之四或者百分之八十）4.储蓄问题：（1）基本概念本金：顾客存入银行的钱叫做本金。利息:银行付给顾客的酬金叫做利息。期本息和：本金与利息的和叫做本息和。数：存入银行的时间叫做期数。利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利 率。利息税：利息的税款叫做利息税。（2）基本关系式利息=本金X利率X期数本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期数=本金X （1+利率X期数）利息税=利息X利息税率=本金X利率X期 数X利息税率。

5、税后利息=利息X （1利息税率）年利率=月利率x 12月利率年利率x_L12 。注意：免税利息=利息5 .配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的 比例=每一套各部分之间的比例。6 .增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量X （1+增长 率）=增长后的量；原量x （1减少 率）=减少后的量.7 .和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是： 较大量=较小量+ 多余量，总量=倍数X倍量.8 .数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶 数等有关概念、特征及其表示。如当 n为整数时，奇数 可表示为2n+1（或2n-1）,偶数可表示为2n等，有关两 位数的基本等量关系

6、式为：两位数 二十位数字工10+个位 数字9 .浓度问题：溶液质量x浓度=溶质质量.10 .几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几 何图形的性质、周长、面积等计算公式11 .年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年 龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12 优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。注意： 方案选择题的题目较长， 有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为 “审

7、、设、找、列、解、检、答”七步 .即：（ 1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数；（ 2）设：根据题意设元（ 3）找：找出能够表示题意两个相等关系；（ 4）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（ 5）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（ 6）检：检查所求的解是否符合实际问题;（ 7）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案 .要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答” ，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2) “设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就

8、应该列出几个方程并 组成方程组.解答步骤简记为：问题 分析一，方程组- 解 答(4)列方程组解应用题应注意的问题弄清各种题型中基本量之间的关系； 审题 时，注意从文字，图表中获得有关信息； 注意用方 程组解应用题的过程中单位的书写， 设未知数和写答案 都要带单位，列 方程组与解方程组时，不要带单位； 正确书写速度单位，避免与路程单位混淆； 在寻 找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件； 列方程组 解应用题一定要注意检验。 经典例题透析 类型一：列二元一次方程组解决一一行程问题01.甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆 拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，

9、汽车在相遇处停留 1小时后 调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖 拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨：画直线型示意图理解题意：EE1二寸时时甲地(1)这里有两个未知数：汽车的行程；拖拉机 的行程.(2)有两个等量关系：,1相向而行：汽车行驶5小时的路程+拖拉机行驶5小时的路程=160千米；同向而行：汽车行驶；小时的路程=拖拉机行 驶”小时的路程.解：设汽车的速度为每小时行x千米，拖拉机的速 度为每小时千米.-4-(A+历=1加根据题意，列方程组13=”工=9。解这个方程组，得：1”现如.33=165 (千衿 3口-占13=85(千米3 23 2答：汽车行驶了 16

10、5千米，拖拉机行驶了 85千米. 总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解 决策略。眇2在某条高速公路上依次排列着 A B、C三个加油 站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120 千米.分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团 伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场， 正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立 即以相同的速度分别往 A C两个加油站驶去，结果往 B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡 逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻 车追赶上.问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多 少？【分析】

11、设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则3(x y) 120 x y 120 整理得x 丫 40 , x y 120 >解得x 80,y 40因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时.点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走 的时间，具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路 程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路 程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离.举一反三：【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如 果甲比乙先走2小时，那么

12、他们在乙出发2.5小时后相 遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时 后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲、乙两人每小时分别行走x千米、了千米。 根据题意可得：4 5+2 5j = 363五 +5y解得：1答：甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米。【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行， 顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度 和水流速度。分析：船顺流速度=静水中的速度+水速 船逆流速度=静水中的速度水速解：设船在静水中的速度为 x千米/时，水速为y千米/时,fl4(i+j>230卜=17则12Q(x-加 28Q,解得：答：船在静水中的速度为17千

13、米/时，水速3千米 /时。跟踪训练1、 甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的 西边300米，若甲、乙两人同时向东走 30分钟后，甲 正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少？甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每 隔两分钟相遇一次；同向而行，每隔 6分相遇一次，已 知甲比乙跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈？ 类型二：列二元一次方程组解决一一工程问题01 一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙 加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天， 甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做 多少个机器零件？分析：由题意得甲做12天，乙做8天能够

14、完成任务； 而甲做9天，乙做13天也能完成任务，由此关系我们 可列方程组求解.设甲每天做x个机器零件，乙每天做 y个机器零件，根据题意，得(4 8)x 8y 8409x (4 9)y 840解得:x 50y 30答：甲每天做50个机器零件，乙每天做30个机器零件02某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在 规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力， 每 天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要 求的期限内只能完成订货的4;现在工厂改进了人员组5织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产 25 套，求订做的工作服是几套？要求的

15、期限是几天？ 分析：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，.、一、 ，一4依题意，得150y r ,200( y 1) x 25解得x 3375y 18点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基 本量的关系，即“工作量=工作时间X工作效率”以及 它们的变式“工作时间=工作量+工作效率，工作效率= 工作量+工作时间”.其次注意当题目与工作量大小、 多少无关时，通常用“ 1”表示总工作量.举一反三：【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两 个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单 独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需 9周完成，需 工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节

16、约开支 的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明 理由.解：设甲、乙两公司每周完成总工程的 工和上 由题 意得：-叱+如3，解得：所以甲、乙单独完成这项工程分别需要10周、 15周。设需要付甲、乙每周的工钱分别是&万元，&万 元，根据题意得：&+68 = 52卜=?4"+汕= 48,解得：名故甲公司单独完成需工钱： 侬=6 （万元）；乙 公司单独完成需工钱：=4 （万元）。答：甲公司单独完成需6万元，乙公司单独完成需 4万元，故从节约的角度考虑，应选乙公司单独完成 .跟踪训练1、一千零一夜中有这样一段文字：有一群鸽子， 其中一部分在树上欢歌，另一部分在

17、地上觅食，树上的 一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3,若从树上飞下 去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。 "你知道树 上、树下各有多少只鸽子吗？类型三：列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题01 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价 是多少？ 分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此, 设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元）获利（0.9x-y）元）因此得方程 0.9x-y=20%y ;打八折时的卖出价为 0.8x元，获利 （0.8x-y）元，可得方

18、程 0.8x-y=10.解方程组0.9x y 20%y0.8x y 10)解得x 200y 150 1因此，此商品定价为200元.总结：利润率是相对于进价而言的，利润的计算一般有 两种方法，一是：利润=售价-进价；二是：利润=进价 X利润率.特别注意“利润”和“利润率”是不同的两 个概念.2有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为 5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。价格调整后，甲商 品的利润率为4%乙商品的利润率为5%共可获利44 元，则两件商品的进价分别是多少元？思路点拨：做此题的关键要知道：利润=进价X利润率解：甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元， 由题意得：平壮+ 5%蚱44,解

19、得:k - 600y =的。600元和400元。李大叔去年承包了 1018000元，其中甲种答：两件商品的进价分别为举一反三：【变式1】（2011湖南衡阳） 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利 蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？解：设李大叔去年甲种蔬菜种植了 R亩，乙种蔬菜种植了少亩，则：/+v = 10，2000+1500y = 18000答：李大叔去年甲种蔬菜种植了 6亩，乙种蔬菜种 植了 4亩.【变式2】某商场用36万元购进A B两种商品， 销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：进价（元/件）12001000售价（元/件）1380

20、1200（注：获利=售价一进价）求该商场购进A B两种商品各多少件；解：设购进A种商品件，B种商品件，根据题意 得：200jr+l 000=360000,（1380-1200）1 + （1200-100。）尸=60000F6a 4-5j - I860,% = 200,化简得：N+lOy = 3。解得：» = 3答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件。跟踪训练1、打折前，买60件A商品和30件B商品用了 1080元, 买50件A商品和10件B商品用了 840元，打折后，买 50件A商品和50件B商品用了 960元，比不打折少花 多少钱？2、 有甲、乙两种债券，年利率分别是

21、 10%与12%, 现有400元债券，一年后获利45元，问两种债券各有 多少？类型四：列二元一次方程组解决 一一银行储蓄问题04 ,小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了 2000元钱，一种是 年利率为2.25 %的教育储蓄，另一种是年利率为2.25% 的一年定期存款，一年后可取出 2042.75元，问这两种 储蓄各存了多少钱？（利息所得税=利息金额X20%教育储蓄没有利息所得税）思路点拨：设教育储蓄存了 x元，一年定期存了 y 元，我们可以根据题意可列出表格：教苜储蓄一年定期台谛现在¥Y1年后:峪.2531什F*匕益粉30%£042 %解：设

22、存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存 款的钱为y元，则列方程：y - 2000 1500。22山+疝+。但"。2小2。42.75解得：卜=50Q答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱 为500元.总结升华：我们在解一些涉及到行程、收入、支出、 增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关 系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的 数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.举一反三：【变式1】李明以两种形式分别储蓄了 2000元和 1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为 3.24%,问这两种 储蓄的年利率各是百分之几？

23、（注：公民应缴利息所得 税=利息金额X 20%思路点拨：扣税的情况：本金X年利率X （1-20%） X年数=利息（其中，利息所得税=利息金额X20% .不扣税时：禾I息=本金x年利率x年数.解：设第一种储蓄的年利率为xx,第二种储蓄的年 利率为y,根据题意得：五二 2.25%= 0.99%芜十 p = 3.24%0_2O%)2OQOx + l。川= 43,92 ,解得：答：第一种储蓄的年利率为2.25%,第二种储蓄的 年利率为0.99%.【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用， 在银行同时用两种方式共存了 4000元钱.第一种，一年 期整存整取，共反复存了 3次，每次存款数都相同，这 种

24、存款银行利率为年息2.25%;第二种，三年期整存整 取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得 禾I息303.75元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存款 各存入了多少元？解：设第一种存款数为X元，则第二种存款数为y 元，根据题意得：”1500y = 2500y = 4000-73c 22空"乂3"27班=会不，解得:答：第一种存款数为1500元，第二种存款数为2500生产中的配套问题类型五：列二元一次方程组解决01.某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身 3个或衣袖5只.现计 划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损 耗），应

25、分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配 套？思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出： 衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的 得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量 等于衣身的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反了）.解：设用K米布料做衣身，用尸米布料做衣袖才能使 衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：a - 132=60=72答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能 使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母 的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身 与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知 数，用未知数可把它们之间的

26、数量关系表示出来，从而 得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的 关键.伊2某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺 栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一 套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产 螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？ 分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来 的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓 与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数X 2=每天生产y人生产20 y个，依题的螺母数X 1.因此，设安排x人生产螺栓, 螺母，则每天可生产螺栓 25x个，螺母 意，得x 20y 100 -100人生产螺:。=2 1,解之，

27、得 故应安排20人生产螺栓,母.总结：解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相 等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：“二合一”问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一 套，那么一套中甲乙的数量比为 a:b,要想生产出来的 所有产品配套，就得满足甲乙的总数量之比也为 a:b.举一反三：【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做 8 个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完 整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？思路点拨：两个未知数是制盒身、盒底的铁皮张数， 两个相等关系是：制盒身铁皮张数 +制盒底铁皮张数 =190;制盒身个数的2倍=制盒

28、底个数.解：设x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，由题意 得：rr+y = 190y = §0'解得'2x8H = 22y答：用110张制盒身，80张制盒底，正好制成一批 完整的盒子.【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺 栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母， 才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。解：由一个螺栓套两个螺母的配套产品，可设生产 螺栓的有x人，生产螺母的有y人，则：LXX,解得：道答：生产螺栓的有25人，生产螺母的有35人。【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成， 如果1立方米木料可以做桌

29、面50个，或做桌腿300条。 现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面， 用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配 成方桌？能配多少张方桌？解：设用x立方米的木料做桌面，用y立方米的木 料做桌腿，根据题意，得：解得：.可做50X3= 150张方桌。答：用3立方米的木料做桌面，用2立方米的木料 做桌腿，可做成150张方桌。类型六：列二元一次方程组解决一一数字问题。8.两个两位数的和是68,在较大的两位数的右 边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两 位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已 知前一个四位数比后一个四位数大 2178,求这两个两位 数。思路点拨：设较大

30、的两位数为 x,较小的两位数为V。问题1:在较大的两位数的右边写上较小的两位数， 所写的数可表示为：100x+y问题2:在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为：100y+x解：设较大的两位数为x,较小的两位数为V。依 题意可得：k 十 1y - 68Jl - 45+解得：人23答：这两个两位数分别为45, 23.举一反三：【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的 3倍，结果是23;这个两位数除以它的各位数字之和， 商是5,余数是1,这个两位数是多少？解：设十位数为x,个位数为V,则：10左十y 3G十力二23x-5= *+中+1 ,解得：b=6答：这两位数为56【变式2】一个两位数，

31、十位上的数字比个位上的 数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位 置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数？解：设个位数字为x,十位数字为y,根据题意得：R 二工+ 5"=刎+一解得：闾答：这个两位数为72.【变式3】某三位数，中间数字为0,其余两个数 位上数字之和是9,如果百位数字减1,个位数字加1, 则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列， 求原三位数。解：设原三位数的百位数字为 x ,个位数字为y, 由题意得：10Q(x-l)+(j+l) = 100+xx = S 解海，二。答：所求三位数是504。跟踪训练1、 一个两位数字，个位数字比十位

32、数字大5,如果把 这两数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是 143,求这个两位数.2、 甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出 10 个放入乙盒，则乙盒球就是甲盒球数的 6倍，若从乙盒 中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的 3倍 多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？ 类型七：列二元一次方程组解决一一增长率问题。6.某工厂去年的利润（总产值一总支出）为200 万元，今年总产值比去年增加了 20%总支出比去年减 少了 10%今年的利润为780万元，去年的总产值、总 支出各是多少万元？思路点拨：设去年的总产值为 x万元，总支出为y 万元，则有总产值 （万元）总支出 （万元）利润（

33、万元）去年xy200今年120%x90%y780根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值一总支出和表格里的已 知量和未知量，可以列出两个等式。解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元, 根据题意得：或二 2000j = 1S00x- y - 20012则.9。”78。解之得:答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万 元总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图 形进行分析。举一反三：【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？解：设今年的总产值为x万元，总支出为y万元， 由题意得：A-y = 780-=200 120% 90%,解得:答：今年的总产值为20

34、00万元，总支出为1800万 元思考：本问题还有没有其它的设法？【变式2】某城市现有人口 42万，估计一年后城镇 人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口增 加1%求这个城市的城镇人口与农村人口。思路点拨：由题意得两个等式关系，两个相等关系 为：(1)城镇人口 +农村人口 =42万；(2)城镇人口 X (1+0.8%)+农村人口 X ( 1+1.1%) =42 X (1+1%解：设现在城镇人口为x万，农村人口为y万，由 题意得：”式十二42。4 0.2%)并+(1+1 1%) = 42(1 + 1%)解得"a = 14答：现在城镇人口 14万人，农村人口为28万人 类型八

35、：列二元一次方程组解决一一年龄问题01.今年父亲的年龄是儿子的 5倍，6年后父亲 的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多 少？思路点拨：解本题的关键是理解“ 6年后”这几个 字的含义，即6年后父子俩都长了 6岁。今年父亲的年 龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根 据这两个相等关系列方程。解：设现在父亲x岁，儿子y岁，根据题意得： - 5y定二30解得： 彳+8 =3(7+ 6)y = 6答：父亲现在30岁，儿子6岁。总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的 年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小， 并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。举一反三：

36、【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一. 小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一. 试求出今年小李的年龄.思路点拨：本题的关键是两句话，第一句：小李的 年龄是他爷爷的五分之一；第二句：他的年龄变成爷爷 的三分之一。把未知数设出来，已知量和未知量根据这 两句话列两个方程。解：设今年小李的年龄为x岁，则爷爷的年龄为y 岁。根据题意得：# = %卜=12+ g 解得：b = 60答：今年小李的年龄为12岁。类型九：列二元一次方程组解决一一和差倍分问题01. （2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心” 帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共 9千顶， 现某地震灾区急需帐篷14千顶

37、，两厂决定在一周内赶 制出这批帐篷.为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了 原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务.求 在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷 厂各生产帐篷多少千顶？思路点拨：找出已知量和未知量，根据题意知未知 量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数关系 由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的 方程组。解：设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x千顶，“温 暖”帐篷厂生产帐篷y千顶，由题意得：笈十y = 91皈山”14 ,解得:所以：1.6x=1.6 5=8, 1.5y=1.54=6答：“爱心”帐篷厂生产帐

38、篷 8千顶，“温暖”帐 篷厂生产帐篷6千顶.举一反三：【变式1】（2011年北京门头沟区中考一模试题）“地球一小时”是世界自然基金会在 2007年提出的一 项倡议.号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分一21时30分熄灯一小时，旨在 通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气 候变化，倡导低碳生活.中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多 少个城市参加了此项活动.解：设中国内地去年有x个城市参加了此项活动， 今年有y个城市参加了此项活动./+ y = 119,依题意得Ik3x73.

39、,解得：1-6答：去年有33个城市参加了此项活动，今年有 86 个城市参加了此项活动【变式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游 泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红 色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红 色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？思路点拨：本题关键之一是：小孩子看游泳帽时 只 看到别人的，没看到自己的帽子。关键之二是：两个等 式，列等式要看到重点语句，第一句：每位男孩看到蓝 色与红色的游泳帽一样多；第二句：每位女孩看到蓝色 的游泳帽比红色的多1倍。找到已知量和未知量根据这 两句话列两个方程。解：设男孩x人，女孩y人，根据题意得：x- 1 -y1无二4】

40、237 =工解得：民3答：男孩4人和女孩有3人。类型十：列二元一次方程组解决一一几何问题10 ,如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少?60cm思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关 系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条 长相等，我们设每个小长方形的长为 X,宽为y,就可 以列出关于x、y的二元一次方程组。解：设长方形地石专的长xcm,宽ycm,由题意得：& + V=60定=45解得：十工一 21yy = 15答：每块长方形地砖的长为 45cm宽为15cmi总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些 图形的性质中，解答这类问题时应

41、注意认真分析图形特 点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。举一反三：【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将 此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一 个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？思路点拨：此题隐含两个可用的等量关系，其一长 方形的周长为铁丝的长48厘米，第二个等量关系是长 方形的长剪掉3厘米补到短边去，得到正方形，即长边 截掉3厘米等于短边加上3厘米。解：设长方形的长为x厘米，宽为y厘米，根据题 意得：2x+2y=4B b=15解归； 齐一3=>+31y=9所以正方形的边长为：9+3=12厘米正方形的面积为：12x12 =144厘米2长方形的面积

42、为：159=135厘米2答：正方形的面积比矩形面积大 144-135=9厘米a总结升华：解题的关键找两个等量关系，最关键的 是本题设的未知数不是该题要求的，本题要是设正方形 的面积比矩形面积大多少，问题就复杂了。设长方形的 长和宽，本题就简单多了，所以列方程解应用题设未知 数是关键。【变式2】一块矩形草坪的长比宽的 2倍多10ml 它的周长是132ml则长和宽分别为多少？解：设草坪的长为y m宽为x m,依题意得： 区+2"1巴解得：号 56H2答：草坪的长为- m,宽为二:m类型十一：列二元一次方程组解决 一一优化方案问题：012.某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销 售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润 可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜 140吨，该公司加工 厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加 工16吨；如果进行细加工，每天可加工 6吨.但两种 加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须 在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公 司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及 加工的蔬菜在市场