专题直线参数方程中t的意义理解高中数学精华

1、专题:直线参数方程中的几何意义几点分析与解析一.知识点概述： 若倾斜角为a的直线过点M(x。，y。)，t为参数，则该直线的参数方程可写为 若直线过点M直线与圆锥曲线交于两点P、Q,则|MP| 、|MQ|的几何意义就是:|MP| 1tl |,|MQ|，|;|MP|+|MQ|的几何意义就是：|MP| | MQ | | ti | &|;|MP| |MQ|的几何意义就是：|MP| |MQ| |ti t2 | ;|PQ|的几何意义就是：|PQ|tit2 |,即 |PQ|tit2 |j'(tit2)24tit2. 若过点Mx。，y。)、倾斜角为a的直线l与圆锥曲线交于A、B两点，则弦的中点

2、坐标XiX2(xoti cos )(xo12 cos)公式为：x22 yiy2(y。ti sin )(y。t2 sin)y22, xi x2 (x。 piti) (x。 pit2)包t xXo(ti t2 )或 222 I ' , pi, p2为常数，均不为零yi y2 ( y0 p2ti) (y0 p2t2 )P2 ,y 22y。 2 (ti t2)(其中中点m的相应参数为t,而t 匚如，所以中点坐标也为：x x。 Pit ) 2y y。p2t 若过点M(x。，y。)、倾斜角为a的直线l与圆锥曲线交于 A B两点，且M恰为弦AB中占I 八,则中点M的相应参数：t Lt2=02（因为X

3、0 " P",而Pi, P2均不为0,所以t=0）V。 V。 P2t体会一：教学中一定要讲清楚直线参数方程白推导过程，并且一定要强调其中参数T的由来。实际上由新课程标准人教A版数学选修课本中坐标系与参数方程的内容我们知道，平x x tcos面内过定点P0（X0, y。）、倾斜角为 的直线l的参数方程的标准形式为。（t为y y0 tsin参数）,其中t表示直线l上以定点P°为起点，任意一点P （x, y）为终点的有向线段PP的数量，当P点在P0上方时t为正，当P点在P0下方时t为负。体会二：教学中必须要强调参数 T的几何意义及两个结论的引导应用示范。实际上在教学中我

4、们知道，由直线参数方程的推导过程及向量模的几何意义等知识，很容易彳#参数t具有如下的两个重要结论： 如果我们假设直线l上两点A、B所对应的参数 分别为tA和tB ,则：第一：A B两点之间的距离为|AB| |tA tB| ；（tA tB）2 4tA?tB ,特别地，A、B两点到p0 的距离分别为|tA |,|tB |.第二：A、B两点的中点所对应的参数为 "，若P0是线段AB的中点，则tA tB 0,2反之亦然。在解决坐标系与参数方程这一选考题，特别是直线的参数方程与曲线的参数方程或是极坐标方程有关的内容的题目，最典型的是涉及直线与圆锥曲线相交所得的弦和弦长、或是求一点到某点的距离为

5、定值、求弦的中点等有关方面的题目时，如果我们能够充分利用参数t的上述两个重要结论的话，我们的解题速度和解题正确率、得分率将得到的大大提 高，我们的解题水准也必将得到巨大的提升。1、例如在求解与距离有关的题目时我们可以用结论一：例1、直线l过点Po( 4,0)，倾斜角为一,且与曲线C:77相交于A、B两点。6(1)求弦长 AB.(2)求 P0A 和 P0B 的长(3) P0A?P0B解：(1)因为直线l过点F0( 4,0),倾斜角为,所以直线l的参数方程为63x 4 tcos= 即x 4 Tt, (t为参数),而曲线C是圆x2 y2 7,于是将直线的参数1y 0 tsiny t62f方程代入圆C

6、的方程，得(4 t)2 (-t)2 7,整理得t2 4a 9 022有参数T的几何意义设A B所对应的参数分别为t1,t2 ,则t1 t2 4痴，11t2 9,所以 |AB|t1 t2 I (t1 t2)2 4t1t22 3.(2)解：由第一问解方程t2 4j3r 9 0得，t1 3向2 J3 ,有参数的几何意义同理可得 P°A |t1 | 3近,P°B |t2 | 百(3)由于是由第一问的求解过程可知 P0A P0B=t1t2 92、再如在求解与点的坐标有关的题目时可以用结论二：例2、已知直线l过点P°(4,8)，倾斜角为一，求出直线l上到点P。的距离为5的点的

7、坐 3标。1t2，一2厂，（t为参数），（1）2解：因为直线l过点P£4,8），倾斜角为一,所以直线l的参数方程为 3x4t cosx3 ,即y8tsin-y3y设直线l上与已知点8（4,8）相距为5的点为P点，且P点对应的参数为t,则| PoP | |t | 5,所以t 5 ,将t的值代入（1）式，当t=5时，M点的坐标为（£,8 逆）；当t = 5时，M点的坐标为J,8且3）,2222综上，所求P点的坐标为（,8 遍）或（3,8 竭）. 2222点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求P点的坐标需要将直线方程代入曲线方程，消元后再用根与系数的关系，中点坐标公式

8、来求解，相当麻烦，而我们使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求P点的坐标就显得比较容易。3、解决有关弦的中点问题时也可以用性质二,. . . x t .、,.例3、过点Po（1,0）,倾斜角为一的直线l和曲线线2相父于M N两点，求线段MN4y 2t的中点P的坐标。解：直线l过点F0（1,0）,倾斜角为一，所以直线l的参数方程为41 3_2 , (t为参数)，因为直线1和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程 二t2y22x 中，得：(三2t)22(1 卫 t),整理得 1t2 v12t 2 0,222c 1(J2)2 4 ( 2) 6 0,设这个二次万程的两个根为心上, 2由韦达

9、定理得tit22匿,由P为线段MN勺中点，根据t的几何意义，得tp t1y殳 V2,易知中点M所对应的参数为tM J2 ,将此值代入直线的参数方程得， M点的坐标为(2, 1)点评：对于上述直线l的参数方程，M N两点对应的参数为t1,t2,则它们的中点所对应的参数为t U2.将参数值代入直线参数方程后很快就可得到答案，这将十分方便快 2捷。再如例4:过双曲线三 ,1的右焦点F作倾斜角为45的直线L与双曲线交于A,B两 916点，M是AB的中点,求|MF|。如果用传统的解法则是解：方法一 依题意a=3, b=4, c=5所以F(5 , 0),又直线l的倾斜角为45度 所以k=1l的方程为y x

10、 5整个解答过程将会比较繁琐，因为传统的解法必须要将直线方程与曲线方程联立，消元后 用根与系数的关系及终点坐标公式才能求解。解法2:依题意l的参数方程为:小结：方法二：用参数方程求解，且灵活运用参数 t的几何意义，使求解过程变得简 洁，不容易出错，如果我们在教学中能多引导学生从这些方面思考， 那么我们教起来轻松, 学生学起来也将会更容易。体会三：两个性质在用的过程中要注意参数 T取非单位向量时候的处理转化。从上面的例子不难看出，这两个性质的确好用，但是我们在教学中一定要要注意下面 例子中的问题就需要对参数 T所取的单位长度作转化：x 1 4t例如：已知曲线的万程是J2cos(-),直线L的方程

11、是若直线与曲4y 13t线相交与A、B两点，求AB弦长。AB次方程:解法1:解：直线方程可以化简为：3x 4y 1 0,而曲线的方程可化简为：x2 y2 x y 0 将直线方程代入曲线方程，消去一个未知数 y后可得关于x的一元二次方程，由点到直线的距离公式及，弦心距，半径，半弦长之间构成直角三角形可以解得 解法2:将直线的参数方程代入曲线方程，则可以得到一个关于 t的25t2 7t 0如果还是用以前的有参数t的几何意义的话将会求得AB的弦长为|AB| |tA tB | ,(tA tB)2 4tA?tB72 0.25725这一结果与上述结果为何会不一样呢？两种解法所得的结果是哪一种对呢？当然答案

12、是第一种解法的对，实际上这就是在推导直线的参数方程时一定要注意到直线参数方程中参数T的几何意义的问题，实际上，在上述题目中我们的参数 T是选取了模为5的向量当作了单位向量，而非模为1的向量为单位向量，但是在解题过程中多数同学甚至是老师也不会注意到这一细节，所以在涉及到直线参数方程，曲线的极坐标方程的问题时我们一定x 1 4t要注意到直线参数方程中参数 T的几何意义的探究，如上题中的直线方程x 中由y 1 3tx x t cos于直线的参数方程标准形式0中t的系数无论是y y0 tsinsin还是cos ，都只能在 1,1上取信一旦t的前面的系数超过了区间1,1则要考虑参数t是多少个单位长度为单位向量。于是在上面的解答