理论力学第十五章2

1、 第十五章第十五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理( (动静法动静法) ) 15-1 15-1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理NFFam0amFFN令令amFI惯性力惯性力有有0INFFF 质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理: :作用在质点的主动力、作用在质点的主动力、约束力和虚加的惯性在形式上组成平衡力系约束力和虚加的惯性在形式上组成平衡力系. . 例例15-1 15-1 用达朗贝尔原理求解例用达朗贝尔原理求解例10-310-3已知已知:60,m3 . 0,kg1 . 0lm求求:.,TFv解解:2sinnInvFmaml0ITFFgm0cos, 01mgFFb0sin, 0n

2、ITnFFF解得解得N96. 1cosmgFTsm1 . 2sin2mlFvT 15-2 15-2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理记记)(eiF为作用于第为作用于第i i个质点上外力的合力个质点上外力的合力. .)(iiF为作用于第为作用于第i i个质点上内力的合力个质点上内力的合力. .则有则有 00000IiiieiIiiieiFMFMFMFFFniFFFIiNii, 2 , 10质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理:质点系中每个质点上作用的主动质点系中每个质点上作用的主动力力, ,约束和它的惯性力在形式上组成平衡力系约束和它的惯性力在形式上组成平衡力系. .因因 , 0,

3、00iiiiFMF有有 0000IieiIieiFMFMFF也称为质点系的达朗贝尔原理也称为质点系的达朗贝尔原理:作用在质点系上的外作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系.例例15-215-2如图所示如图所示, ,定滑轮的半径为定滑轮的半径为r, ,质量为质量为m均匀分布均匀分布在轮缘上在轮缘上, ,绕水平轴绕水平轴转动转动. .垮过滑轮的无重绳的两端挂有质垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量为量为m1 1和和m2 2的重物的重物( (m m2),),绳与轮间不打滑绳与轮间不打滑, ,轴承摩擦忽略轴承摩擦忽略不计不计, ,求

4、重物的加速度求重物的加速度. .解解:amFamFII2211,amrmFiitIi0, 02211armramgmamgmMiO由由mararmarmii解得解得gmmmmma2121rvmFinIi2例例15-315-3飞轮质量为飞轮质量为m, ,半径为半径为, ,以匀角速度以匀角速度 定轴转动，定轴转动，设轮辐质量不计设轮辐质量不计, ,质量均布在较薄的轮缘上质量均布在较薄的轮缘上, ,不考虑重力的影不考虑重力的影响响. .求求:轮缘横载面的张力轮缘横载面的张力.解解:22RRRmamFiniiIi0cos, 0AIixFFF0sin, 0BIiyFFF令令, 0i2mRR2mF2220

5、Adcos2mRR2mF2220Bdsin 15-315-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 CeiIRamFF 刚体平移刚体平移惯性力系向质心简化惯性力系向质心简化.只简化为一个力只简化为一个力CIRamF2 2 刚体定轴转动刚体定轴转动大小为大小为:iitiitIirmamF2iiniinIirmamF由由0ddCICLtMnIixiIixIixIxFMFMFMM)sin(cos2iiiiiiiizrmzrm由由iiiiiiryrxsin,cos有有iiiiiixIzymzxmM2记记iiizxiiizyzxmJzymJ,为为对于对于z z 轴的惯性积轴的惯性积. .2yzxzIxJ

6、JM同理同理2xzyzIyJJMniIztiIzIzFMFMMIOIxIyizMM iMjM k如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直, ,简化中简化中心取此平面与转轴的交点心取此平面与转轴的交点, ,则则0, 0iiiyziiixzzymJzxmJ有有zIzIOJMM刚体作平面运动刚体作平面运动（平行于质量对称面）（平行于质量对称面）IcCIRCMJFma 2tIzzIii iii izMMFm rrm rJ 因因0,nzIiMF有例例15-4 15-4 如图所示均质杆的质量为如图所示均质杆的质量为m, ,长为长为l, ,绕定轴绕定轴O转转动的角速度为动

7、的角速度为 , ,角加速度为角加速度为 . .求求:惯性力系向点惯性力系向点简化的结果简化的结果(方向在图上画出方向在图上画出).解解:2lmFtIO22lmFnIO231mlMIO例例15-515-5如图所示如图所示, ,电动机定子及其外壳总质量为电动机定子及其外壳总质量为m1, ,质心位质心位于于O O 处处. .转子的质量为转子的质量为m2 , ,质心位于质心位于 处处, ,偏心矩偏心矩e , ,图图示平面为转子的质量对称面示平面为转子的质量对称面. .电动机用地角螺钉固定于水平基电动机用地角螺钉固定于水平基础上础上, ,转转O O与水平基础间的距离为与水平基础间的距离为h h. .运动

8、开始时运动开始时, ,转子质心转子质心位位于最低位置于最低位置, ,转子以匀角速度转子以匀角速度 转动转动. .求求:基础与地角螺钉给电动机总的约束力基础与地角螺钉给电动机总的约束力.解解:2meFI0sin, 0IxxFFF0sinsin, 012hFgemMMA因因得, ttemFxsin22temgmmFycos2221themtgemMsinsin2220cos)(, 0121FgmmFFyy例例15-6 15-6 如图所示如图所示, ,电动绞车安装在梁上电动绞车安装在梁上, ,梁的两端搁在梁的两端搁在支座上支座上, ,绞车与梁共重为绞车与梁共重为P. .绞盘半径为绞盘半径为R, ,与

9、电机转子固结在一与电机转子固结在一起起, ,转动惯量为转动惯量为J , ,质心位于质心位于O 处处. .绞车以加速度绞车以加速度a a提升质量为提升质量为m m的重物的重物, ,其它尺寸如图其它尺寸如图. . 已知已知:.,maJRP求求:支座支座A,B受到的附加约束力受到的附加约束力.解解 :maFI解得解得:RJmlaPlmglllFA232211RaJJM0I0021322llFMPllFmglMAIOB00IBAyFPmgFFFRJmlalllPmglllFB13211211上式中前两项为静约束力上式中前两项为静约束力,附加约束力为附加约束力为RJmlllaFA221RJmlllaFB

10、121例例15-7 15-7 已知已知, ,均质圆盘均质圆盘,Rm1均质杆均质杆,2mR2l 纯滚动纯滚动.求求: :F 多大多大, ,能使杆能使杆B 端刚好离开地面端刚好离开地面? ?纯滚动的条件纯滚动的条件? ?解得解得gmmF32321得得RaRmMamFAA21I1I21,030cos30sin02IIIgRmRFMRFFRMCAAD解解:刚好离开地面时刚好离开地面时,地面约束力为零地面约束力为零.030cos30sin022gRmaRmMAga3得得 gmFs123解得解得21123mmmFFfNssgmmfFfFsNss21由由0021ammFFFsx00 xIxRxBxAxFFF

11、FF 15-4 15-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力00yIyRyByAyFFFFF00zRBzzFFF00 xIxyAyBxMMOAFOBFM00yIyBxAxyMMOBFOAFM解得解得OBMMOBFMABFIxIxRxyAx1 OBFMOBFMABFIyIxRyxAy1OAFMOAFMAB1FIxIxRxyBx OAFMOAFMABFIyIxRyxBy1RzBzFF0, 0IyIxIyIxMMFF即即:000022xzyzIyyzxzIxCyIyCxIxJJMJJMmaFmaF必有必有0Ca0yzxzJJ通过质心的惯性主轴称为通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴中心惯性主轴因此因此,避免出现轴承动约束力的条件是避免出现轴承动约束力的条件是:刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴.引起的轴承约束力称动约束力引起的轴承约束力称动约束力,由由IOIRMF,称满足称满足的轴的轴z z为为惯性主轴惯性主轴0yzxzJJ动约束力为零的条件为动约束力为零的条件为:例例15-8 15-8 如图所示如图所示, ,轮盘轮盘( (连同轴连同轴) )的质量的质量,kg20m转轴转轴ABAB与轮盘的质量对称面垂直与