现代测控技术 第6章

1、第6章 系统的数字化设计方法 第第6章章 系统的数字化设计系统的数字化设计 方法方法第6章 系统的数字化设计方法 离散化设计法则首先将系统中离散化设计法则首先将系统中被控对象加上保持器被控对象加上保持器一起构成的广义对象离散化，得到相应的以一起构成的广义对象离散化，得到相应的以Z传递函数，传递函数，差分方程或离散系统状态方程表示的离散系统模型。然差分方程或离散系统状态方程表示的离散系统模型。然后利用离散控制系统理论，直接设计数字控制器。由于后利用离散控制系统理论，直接设计数字控制器。由于离散化设计法直接在离散系统的范畴内进行，避免了由离散化设计法直接在离散系统的范畴内进行，避免了由模拟控制系统

2、向数字控制器转化的过程，模拟控制系统向数字控制器转化的过程，也绕过了采样也绕过了采样周期对系统动态性能产生严重影响的问题周期对系统动态性能产生严重影响的问题。是目前采用。是目前采用较为广泛的计算机控制系统设计方法。较为广泛的计算机控制系统设计方法。 第6章 系统的数字化设计方法 6.1 最少拍计算机控制系统的设计最少拍计算机控制系统的设计 最少拍设计，是指系统在典型输入信号最少拍设计，是指系统在典型输入信号(如阶跃信号，如阶跃信号，速度信号，加速度信号等速度信号，加速度信号等)作用下，经过最少拍（有限拍）作用下，经过最少拍（有限拍）使系统输出的使系统输出的稳态误差稳态误差为零。图为零。图6.6

3、.1 1所示是最少拍控制系所示是最少拍控制系统结构图。统结构图。 U(z)u*(t)E(z)R(z)e*(t)y(t)Tr(t)e(t)图6.1 最少拍系统结构图D(z)TZOHG0(s)Y(z)G(z)第6章 系统的数字化设计方法 6.1.1 最少拍系统设计的基本原则最少拍系统设计的基本原则 最少拍控制系统是最少拍控制系统是在最少的几个采样周期内达到在在最少的几个采样周期内达到在采样时刻输入输出无误差的系统采样时刻输入输出无误差的系统。显然，这种系统对闭。显然，这种系统对闭环环Z传递函数传递函数W(z)的性能要求是的性能要求是快速性和准确性快速性和准确性。 对系统提出性能指标要求是，在单位阶

4、跃函数或等对系统提出性能指标要求是，在单位阶跃函数或等速函数、等加速度函数等典型输入信号作用下，系统在速函数、等加速度函数等典型输入信号作用下，系统在采样点上无稳态误差，并且调整时间为最少拍。采样点上无稳态误差，并且调整时间为最少拍。 第6章 系统的数字化设计方法 利用直接数字设计法设计最少拍控制系统，要考虑以下利用直接数字设计法设计最少拍控制系统，要考虑以下几点。几点。(1)对于特定的参考输入信号，到达稳态后，系统在采样对于特定的参考输入信号，到达稳态后，系统在采样时刻精确实现对输入的跟踪。时刻精确实现对输入的跟踪。(2)系统以最快速度达到稳态。系统以最快速度达到稳态。(3)D(z)应是物理

5、可实现的。应是物理可实现的。(4)闭环系统应是稳定的。闭环系统应是稳定的。1假设条件假设条件为了使设计简明起见，提出如下三个假设条件。为了使设计简明起见，提出如下三个假设条件。(1)G(z)在单位圆上和圆外无极点，（在单位圆上和圆外无极点，（1，j0）点除外；点除外；(2)G(z)在单位圆上和圆外无零点；在单位圆上和圆外无零点；(3)G0(s)中不含纯滞后，中不含纯滞后，q是是T的整数倍。的整数倍。第6章 系统的数字化设计方法 2希望希望Z传递函数传递函数 为了选择适当的数字控制器为了选择适当的数字控制器D(z)，可以先将性能指标可以先将性能指标要求表达成希望闭环要求表达成希望闭环Z传递函数传

6、递函数W(z)或者闭环误差或者闭环误差Z传递传递函数函数We(z) 或者开环或者开环Z传递函数传递函数D(z)G(z)，然后再根据然后再根据G(z)反求出反求出D(z)。这样，求得的这样，求得的D(z)只要满足物理可实现的条只要满足物理可实现的条件，那么件，那么D(z)就是所要求的数字控制器。就是所要求的数字控制器。 闭环闭环Z传递函数为传递函数为 闭环误差闭环误差Z传递函数为传递函数为 其中，其中，G(z)是已知的，是已知的，D(z)是待求的，而是待求的，而W(z)、We(z)是是由性能指标确定的。由性能指标确定的。 )()(1)()()(zGzDzGzDzW)()(11)(zGzDzWe第

7、6章 系统的数字化设计方法 为了确定为了确定W(z)或或We(z)，讨论在单位阶跃、单位速度、讨论在单位阶跃、单位速度、单位加速度三种典型输入信号作用下无稳态误差最少拍单位加速度三种典型输入信号作用下无稳态误差最少拍系统的系统的W(z)或或We(z)应具有的形式。应具有的形式。 根据终值定理得根据终值定理得 )()()1 (lim)()1 (lim)(*1111zRzWzzEzeeZZ第6章 系统的数字化设计方法 对于以上三种典型输入信号对于以上三种典型输入信号R(z)分别为分别为 单位阶跃：单位阶跃：单位速度：单位速度：单位加速度：单位加速度：可统一表达可统一表达为：为：式式A(z)中为不含

8、中为不含 因子的因子的z-1的多项式。的多项式。 111)(zzR211)1 ()(zTzzR31112)1 (2)1 ()(zzzTzRmzzAzR)1 ()()(1)1 (1 z第6章 系统的数字化设计方法 对于对于 单位阶跃：单位阶跃： m=1， 单位速度：单位速度： m=2， 单位加速度：单位加速度： m=3，则有则有若要求稳态误差为零的条件是若要求稳态误差为零的条件是We(z)应具有如下形式应具有如下形式 则则 其中其中F(z)是待定的不含因子是待定的不含因子(1-z-1)的关于的关于z-1的有理分式或的有理分式或的有限项多项式，的有限项多项式，m是是R(z)的分母的分母( (1-

9、- z-1) )的阶数。的阶数。 1)(zA1)( TzzA2)1 ()(112zzTZAmeZzzAzWze)1 ()()()1 (lim)(*111)()1()(1zFzzWme11*()lim(1)( )( )0ZezA z F z 第6章 系统的数字化设计方法 为使稳态误差最快衰减到零，即为最少拍系统，就为使稳态误差最快衰减到零，即为最少拍系统，就应使应使We( (z) )最简单，即阶数最简单，即阶数n最小，即完全可以想象若取最小，即完全可以想象若取F(z)=1，则则We( (z) )最简单，则得到无稳态误差最少拍系统最简单，则得到无稳态误差最少拍系统的希望闭环误差的希望闭环误差Z传递

10、函数就应为传递函数就应为 希望闭环希望闭环Z传递函数应为传递函数应为 mezzW)1 ()(1mezzWzW)1 (1)(1)(1第6章 系统的数字化设计方法 对于不同输入对于不同输入We( (z) )、W(z)形式如下：形式如下：单位阶跃：单位阶跃： 单位速度：单位速度： 单位加速度：单位加速度：由上式可知，使误差衰减到零或输出完全跟踪输入所需由上式可知，使误差衰减到零或输出完全跟踪输入所需的调整时间，的调整时间，即为即为最少拍数对应于最少拍数对应于m=m=1 1，2 2，3 3分别为分别为1 1拍，拍，2 2拍，拍，3 3拍。拍。 3D(z)的确定的确定根据给定的根据给定的G(z)，可由满

11、足性能指标要求的希望开环可由满足性能指标要求的希望开环Z传传递函数直接求解出对应于递函数直接求解出对应于m=1，2，3时的数字控制器时的数字控制器D(z)。111 ,( )1,( )emW zzW zz 1 2122 ,( )(1),( )2emW zzW zzz1 31233 ,( )(1),( ) 33emW zzW zzzz第6章 系统的数字化设计方法 由于由于则则 11111,( ) ( ),( )1(1) ( )zzmD z G zD zzzG z11111 21 22(1 0.5)2(1 0.5)2,( ) ( ),( )(1)(1)( )zzzzmD z G zD zzzG z1

12、121121 31 3(3 3)(3 3)3,( ) ( ),( )(1)(1)( )zzzzzzmD z G zD zzzG z)(1)()()(1)()(zWzWzWzWzGzDee第6章 系统的数字化设计方法 6.最少拍系统分析最少拍系统分析(1)单位阶跃输入时单位阶跃输入时也就是说，系统经过也就是说，系统经过1拍，输出就可以无差地跟踪上输入拍，输出就可以无差地跟踪上输入的变化，即此时系统的调节时间的变化，即此时系统的调节时间ts=T，T为系统采样时间。为系统采样时间。误差及输出系列如图误差及输出系列如图6.2所示。所示。 1123111( )( )( )1(0)0,(1)(2)(3)1

13、1( )( )( )(1)11(0)1, (1)2(3)0ezY zW zR zzzzzyyyyE zWzR zzzeeee第6章 系统的数字化设计方法 0 T 2T1e(kT)kT0 T 2T 3T 4T 5T1y(kT)kT图6.2 单位阶跃输入时的误差及输出序列第6章 系统的数字化设计方法 (2)单位速度输入时单位速度输入时也就是说，系统经过也就是说，系统经过2拍，输出就可以无差地跟踪上输入拍，输出就可以无差地跟踪上输入的变化，即此时系统的调节时间的变化，即此时系统的调节时间ts=2T，T为系统采样时为系统采样时间。间。误差及输出系列如图误差及输出系列如图6.3所示。所示。1122341

14、 211 211 2( )( )( )(2)234(1)(0)0, (1)0, (2)2, (3)3,( )( )( )(1)(1)(0)0, (1), (2)(3)0eTzY zW zR zzzTzTzTzzyyyyTzE zW zR zzTzzeeT e第6章 系统的数字化设计方法 0 T 2T 3TTe(kT)kT0 T 2T 3T 4T4T3T2TTy(kT)kT图6.3 单位速度输入时的误差及输出序列第6章 系统的数字化设计方法 (3)单位加速度输入时单位加速度输入时也就是说，系统经过也就是说，系统经过3拍，输出就可以无差地跟踪上输入拍，输出就可以无差地跟踪上输入的变化，即此时系统的

15、调节时间的变化，即此时系统的调节时间ts=3T，T为系统采样时为系统采样时间。间。误差及输出系列如图误差及输出系列如图6.4所示。所示。21112313234222211132122132(1)( )( )( )(33)2(1)1.54.58(0)0, (1)0, (2)1.5, (3)4.5, (4)8,(1)11( )( )( )(1)2(1)221(0)0, (1),2eTzzY zW zR zzzzzTzTzTzyyyTyTyTTzzE zWzR zzT zT zzeeT21(2), (3)(4)02eTee第6章 系统的数字化设计方法 0 T 2T 3Te(kT)kT0 T 2T 3

16、T 4T8 T26 T24 T22T2y(kT)kT图6.4 单位加速度输入时的误差及输出序列22T第6章 系统的数字化设计方法 由上面讨论可以看出，最少拍控制器设计时，由上面讨论可以看出，最少拍控制器设计时，We(z)或或W(z)的选取与典型输入信号的形式密切相关，即对于不同的输的选取与典型输入信号的形式密切相关，即对于不同的输入入R(z)，要求使用不同的闭环要求使用不同的闭环Z传递函数。所以这样设计出传递函数。所以这样设计出的控制器对各种典型输入信号的适应能力较差。若运行时的控制器对各种典型输入信号的适应能力较差。若运行时的输入信号与设计时的输入信号形式不一致，将得不到期的输入信号与设计时

17、的输入信号形式不一致，将得不到期望的最佳性能。望的最佳性能。例例6.1 对于图对于图6.1所示的系统，设所示的系统，设 T=1s，输输入为单位速度函数，要求系统为无稳态误差和过渡过程时入为单位速度函数，要求系统为无稳态误差和过渡过程时间为最少拍，试确定数字控制器间为最少拍，试确定数字控制器D(z)。解：解：)1(10)(0sssG)368. 01)(1 ()718. 01 (68. 3) 1()1 (10)(11112zzzzssezGTs第6章 系统的数字化设计方法 为满足等速度输入时无稳态误差最少拍要求，则应选为满足等速度输入时无稳态误差最少拍要求，则应选则得到则得到验证所求验证所求D(z

18、)能否满足性能指标要求能否满足性能指标要求21)1 ()(zzWe)718. 01)(1 ()368. 01)(5 . 01 (543. 0)()()(1)(1111zzzzzGzWzWzDee11223451 211 211 2( )( ) ( )(2)2345(1)( )( ) ( )(1)(1)ezY zW z R zzzzzzzzzE zW z R zzzz第6章 系统的数字化设计方法 输出和误差变化的动态过程如图输出和误差变化的动态过程如图6.3所示。从图中可以看所示。从图中可以看出，系统在单位等速度信号输入作用下，系统经过了两出，系统在单位等速度信号输入作用下，系统经过了两个采样周

19、期以后，系统在采样点上的过渡过程结束（调个采样周期以后，系统在采样点上的过渡过程结束（调整时间为整时间为2拍），且在采样点上，系统的输出完全跟踪输拍），且在采样点上，系统的输出完全跟踪输入，稳态误差为零。因此，所求得数字控制入，稳态误差为零。因此，所求得数字控制D(z)完全满足完全满足设计指标要求。设计指标要求。上例是针对等速度信号输入下设计的无稳态最少拍系统上例是针对等速度信号输入下设计的无稳态最少拍系统的数字控制器的数字控制器D(z)，那么所设计的系统在单位阶跃或在单那么所设计的系统在单位阶跃或在单位加速度输入作用时，系统的输出情形如何。位加速度输入作用时，系统的输出情形如何。第6章 系统

20、的数字化设计方法 对于单位阶跃信号输入，则对于单位阶跃信号输入，则由此可知，也是经过由此可知，也是经过2拍后过渡过程结束，但在第一个采拍后过渡过程结束，但在第一个采样时刻时，有样时刻时，有100%的超调量。其输出变化的动态过程如的超调量。其输出变化的动态过程如图图6.6(a)所示。所示。4321121211)2()()()(zzzzzzzzRzWzY1121111)1 ()()()(zzzzRzWzEe第6章 系统的数字化设计方法 对于单位加速度信号输入，则对于单位加速度信号输入，则由此可知，过渡过程仍为由此可知，过渡过程仍为2拍，但有恒定的稳态误差。其拍，但有恒定的稳态误差。其输出变化的动输

21、出变化的动态过态过程如图程如图6.6(b)所示。所示。111223451 3111 212341 311111(1)( )( ) ( )(2)3.5711.52(1)(1)( )( ) ( )(1)0.52(1)(1)*( )lim(1) ( )lim12eZZzzY zW z R ZzzzzzzzzzE zW z R zzzzzzzzzezE z 第6章 系统的数字化设计方法 (a) 单位阶跃信号的输出序列 (b) 单位加速度信号的输出序列0 T 2T 3Ty(kT)kT0 T 2T 3T 4T8 6 4 2y(kT)kT图6.6其他输入设计时的输出序列2 1第6章 系统的数字化设计方法 6

22、.1.3 任意广义对象的最少拍控制器设计任意广义对象的最少拍控制器设计当三个假设条件不满足时，如何进行设计。当三个假设条件不满足时，如何进行设计。如图如图6.1所示的系统得到所示的系统得到 当当G(z)中含有中含有Z平面单位圆外或圆上的极点时，并且该极平面单位圆外或圆上的极点时，并且该极点没有与点没有与D(z)或或We(z)的零点完全对消的时，则它将成为的零点完全对消的时，则它将成为W(z)的极点，从而造成整个闭环系统不稳定。的极点，从而造成整个闭环系统不稳定。)()()()()(1)()()(zWzGzDzGzDzGzDzWe第6章 系统的数字化设计方法 又又得到得到 当当G G( (z z

23、) )中含有中含有Z Z平面单位圆外或圆上的零点时，并且平面单位圆外或圆上的零点时，并且该极点没有与该极点没有与D D( (z z) )或或WeWe( (z z) )的极点完全对消的时，则它将的极点完全对消的时，则它将成为不稳定的极点，从而使数字控制器的输出趋向于无成为不稳定的极点，从而使数字控制器的输出趋向于无穷大，造成整个闭环系统不稳定。穷大，造成整个闭环系统不稳定。 )()()()()(zUzGzRzWzY)()()()(zRzGzWzU第6章 系统的数字化设计方法 为保证闭环系统稳定，当为保证闭环系统稳定，当G(z)中含有中含有Z平面单位圆外平面单位圆外或圆上的零、极点时，它应被或圆上

24、的零、极点时，它应被D(z) 或或We(z)的极、零点相的极、零点相抵消。而用抵消。而用D(z)的零点或极点抵消的零点或极点抵消G(z)的极点或零点是不的极点或零点是不允许的，这是因为，简单地利用允许的，这是因为，简单地利用D(z)的零点或极点去对消的零点或极点去对消G(z)中的不稳定零点或极点，从理论上来说可以得到一个中的不稳定零点或极点，从理论上来说可以得到一个稳定的闭环系统，但这种稳定是建立在零极点完全对消稳定的闭环系统，但这种稳定是建立在零极点完全对消基础上的。当系统参数产生漂移，或者对象参数辨识有基础上的。当系统参数产生漂移，或者对象参数辨识有误差时，这种零极点对消就不可能准确实现，

25、从而引起误差时，这种零极点对消就不可能准确实现，从而引起闭环系统不稳定。闭环系统不稳定。所以建立在零极点对消基础上的稳定所以建立在零极点对消基础上的稳定系统实际上是不可能稳定工作的，没有实用价值系统实际上是不可能稳定工作的，没有实用价值。 第6章 系统的数字化设计方法 设最少拍系统广义设最少拍系统广义Z传递函数为传递函数为 其中，其中，b1，b2，bu是是G(z)的的u个不稳定零点，个不稳定零点，a1，a2，av是是G(z)的的v个不稳定极点，是个不稳定极点，是G(z)中不包含中不包含Z平平面单位圆外或圆上的极、零点时的部分，面单位圆外或圆上的极、零点时的部分，z-N为为G(z)中含中含有的纯

26、滞后环节。有的纯滞后环节。 )()1 ()1 ()()(1111110110zGzazbzzqzqqzpzppzzGvjjuiiNnnmmN第6章 系统的数字化设计方法 为避免发生为避免发生D(z)与与G(z)的的不稳定零极点对消不稳定零极点对消，应满足如下，应满足如下稳定性条件：稳定性条件： 1We(z)的零点应包含的零点应包含G(z)中全部不稳定的极点。中全部不稳定的极点。其中，其中，F1(z) 是关于是关于z-1的多项式且不包含的多项式且不包含G(z)中的不稳定中的不稳定极点极点aj（除（除（1，j0）外）。外）。 vjjezFzazW111)()1 ()(第6章 系统的数字化设计方法

27、2G(z)在单位圆上或圆的零点应全部包含在希望闭环在单位圆上或圆的零点应全部包含在希望闭环Z传传递函数递函数W(z)的零点中。的零点中。其中，其中， 是关于是关于z-1的多项式且不包含的多项式且不包含G G( (z z) )中的不稳定零中的不稳定零点点b bi i。uiizFzbzW121)()1 ()()(2zF 第6章 系统的数字化设计方法 3 3如果如果G G( (z z) )中含有纯滞后的环节即中含有纯滞后的环节即z-N（N N为整数），则为整数），则G G( (z z) )分子中的分子中的z-1因子应全部包含在因子应全部包含在W W( (z z) )分子中，这会使分子中，这会使系统过

28、渡过程时间延长。系统过渡过程时间延长。其中，其中，F F2 2( (z z) )是关于是关于z-1的多项式且不包含的多项式且不包含G G( (z z) )中的纯滞后中的纯滞后的环节和不稳定零点的环节和不稳定零点b bi i。 因此，满足了上述稳定性条件后的因此，满足了上述稳定性条件后的D D( (z z) )不再包含不再包含G G( (z z) )的的Z Z平面单位圆上或单位圆外零极点和纯滞后的环节。平面单位圆上或单位圆外零极点和纯滞后的环节。 uiiNzFzbzzW121)()1 ()()()()()()()()(12zGzFzFzGzWzWzDe第6章 系统的数字化设计方法 综上分析，为了

29、设计出响应时间尽可能短的计算机控制系统，综上分析，为了设计出响应时间尽可能短的计算机控制系统，在选择希望闭环在选择希望闭环Z传递函数传递函数W(z)或或We(z)时，应满足如下限制时，应满足如下限制条件：条件：(1)We(z)的零点中应含的零点中应含G(z)的全部不稳定极点（除（的全部不稳定极点（除（1，j0）外）。外）。(2)W(z)=1- -We(z)的零点中应含的零点中应含G(z)的全部单位圆上和圆外的的全部单位圆上和圆外的零点。零点。(3) W(z)=1- -We(z)与与G(z)的的z-1因子个数相同。因子个数相同。第6章 系统的数字化设计方法 由最少拍系统的设计原则可知，要满足上述

30、限制条件，由最少拍系统的设计原则可知，要满足上述限制条件，We(z)=(1-z-1)mF(z)中的中的F(z)不能简单地使不能简单地使F(z)=1，而应选而应选F(z)的零点中含的零点中含G(z)的全部不稳定极点，并使的全部不稳定极点，并使We(z)为最为最简单形式，使简单形式，使E(z)含因子的多项式的项数最少，使误差以含因子的多项式的项数最少，使误差以最快速度衰减到零。最快速度衰减到零。综上所述，得到满足上述限制条件的闭环综上所述，得到满足上述限制条件的闭环Z传递函数传递函数W(z)和闭环误差和闭环误差Z传递函数传递函数We(z)的一般形式为的一般形式为其中其中 k为常系数。为常系数。 u

31、iiNzFzbzzW121)()1 ()()1 ()()1(1112vmvmzczckzF第6章 系统的数字化设计方法 其中其中 例例6.3 对于图对于图6.1所示的系统，设：所示的系统，设：T=1s 试求数字控制器试求数字控制器D(z)使系统在单位阶跃输入作用下，无稳使系统在单位阶跃输入作用下，无稳态误差最少拍。态误差最少拍。 解：解： vjjmezFzazzW1111)()1 ()1 ()()1(11111)(uNuNzdzdzF) 105. 0)(11 . 0(10)(0ssssG第6章 系统的数字化设计方法 解：解：G(z)中含有一个单位圆外的零点中含有一个单位圆外的零点- -1.14

32、、一个、一个z-1因子，没因子，没有不稳定的极点。有不稳定的极点。m=1，u=1，v=0，N=1。根据上述条件，得根据上述条件，得110( )(0.11)(0.051)TseG zssss)0183. 01)(135. 01)(1 ()14. 11)(045. 01 (76. 0111111zzzzzz11111( )(1 1.14)( )(1)(1)eW zkzzW zzd z第6章 系统的数字化设计方法 1212111( )1( )(1)1.140.470.53eW zW zd zd zkzkzkd 由得11111111( )(1)(1 0.53)( )1( )0.47(1 1.14)1(

33、 )0.62(1 0.135)(1 0.0183)( )( )( )(1 0.045)(1 0.53)eeeeW zzzW zW zzzW zzzD zG z W zzz 第6章 系统的数字化设计方法 得得调整时间调整时间2拍，无超调。拍，无超调。如果输入为单位速度函数，则如果输入为单位速度函数，则11112340.47(1)( )( ) ( )10.47zzY zW z R zzzzzz11111 21112312311111( )(1 1.14)(1)( )(1) (1)( )1( )(1.14)1.14(2)(21)ee W zkzzc zW zzd zW zW z kzkc zkc z

34、 =d zdzd z 又110.6050.81651.184 cdk 得第6章 系统的数字化设计方法 1 21111111111( )(1) (1 0.8165)( )1.184(1 1.14)(1 0.605)1( )( )( )( )( )( ) 1( )1.558(1 0.605)(1 0.135)(1 0.0183)(1 0.045)(1 0.8165)(1)eeeW zzzW zzzzW zD zG z W zW z G zW zzzz zzz第6章 系统的数字化设计方法 6.2 无波纹最少拍计算机控制系统设计无波纹最少拍计算机控制系统设计 按最少拍控制系统设计出来的闭环系统，在有限

35、拍后即按最少拍控制系统设计出来的闭环系统，在有限拍后即进入稳态。这时闭环系统输出在采样时刻精确地跟踪输进入稳态。这时闭环系统输出在采样时刻精确地跟踪输入信号。入信号。然而，进一步研究可以发现虽然在采样时刻闭环系统输然而，进一步研究可以发现虽然在采样时刻闭环系统输出与所跟踪的参考输入一致，但是在两个采样时刻之间，出与所跟踪的参考输入一致，但是在两个采样时刻之间，系统的输出存在着纹波或振荡。这种纹波不但影响系统系统的输出存在着纹波或振荡。这种纹波不但影响系统的控制性能，产生过大的超调和持续振荡，而且还增加的控制性能，产生过大的超调和持续振荡，而且还增加了系统功率损耗和机械磨损。下面通过实例说明最少

36、拍了系统功率损耗和机械磨损。下面通过实例说明最少拍系统波纹的存在。系统波纹的存在。第6章 系统的数字化设计方法 例例6.4 对于图对于图6.7所示的系统，设所示的系统，设 T=1s，输入为单位阶跃信号，试确定最少拍系统的数字输入为单位阶跃信号，试确定最少拍系统的数字控制器控制器D(z)，并分析系统输出响应。并分析系统输出响应。 ) 1(10)(0sssGU(z)u*(t)E(z)R(z)e*(t)y(t)Tr(t)e(t)图6.7 例6.4最少拍系统框图D(z)TZOHG0(s)Y(z)G(z)第6章 系统的数字化设计方法 解：解：利用广义利用广义Z变换。可求出系统的输出响应。变换。可求出系统

37、的输出响应。 11111103.68(1 0.718)( )(1)(1)(1 0.368)TsezzG Zss szzZ Z1111( ),( )1( )0.272(1 0.368)( )( ) ( )1 0.718eeW zzW zzW zzD zW z G zz 211112111(1)( ,)10(1)(1)11zzezG zzzzez第6章 系统的数字化设计方法 设设=0.5，则则 其输出响应如图其输出响应如图6.8所示，可以看出系统输出存在波纹。所示，可以看出系统输出存在波纹。 21111111212123456106.065(1)( ,)511 0.368( ) ( ,)( ,)1

38、( ) ( )0.289(14.420.512)( ,)( ,) ( )1 0.2820.7180.2891.3590.7381.1840.8641.093zzzG zzzzD z G zW zD z G zzzzY zW zR zzzzzzzzz 第6章 系统的数字化设计方法 进一步分析可知，产生波纹的原因是数字控制器进一步分析可知，产生波纹的原因是数字控制器D(z)输输出序列出序列u*(t)在系统输出在系统输出y*(t)过渡过程结束后，还在围绕其过渡过程结束后，还在围绕其平均值不停地波动。平均值不停地波动。 图6.8 最少拍系统输出响应t0 1 2 3 4 5 6 1y(t)第6章 系统的

39、数字化设计方法 其输出如图其输出如图6.9所示。所示。 5432111078. 0109. 0152. 0212. 0295. 0272. 0718. 01)368. 01 (272. 0)()()()()()(zzzzzzzzRzWzDzEzDzUe图6.9 数字控制器输出序列tu*(t)012345第6章 系统的数字化设计方法 下面进一步从数学关系上分析产生波纹的原因和消除波下面进一步从数学关系上分析产生波纹的原因和消除波纹的方法。纹的方法。由图由图6.1可得到可得到( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )Y zW z R zY zG z U zU zW zR zG

40、 z( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )eeeU zD z E zD z W z R zU zD z W zR zW zD z W zG z又第6章 系统的数字化设计方法 从对前面最少拍系统的分析可知，若要求系统的输出从对前面最少拍系统的分析可知，若要求系统的输出y*(t)在有限拍内结束过渡过程，就要求选择的希望闭环在有限拍内结束过渡过程，就要求选择的希望闭环Z传递传递函数函数W(z)为关于为关于z-1的有限多项式。的有限多项式。 如果要求如果要求u*(t)在有限拍内结束过渡过程，就要求在有限拍内结束过渡过程，就要求 为关于为关于z-1的有限

41、多项式。的有限多项式。 产生波纹的原因是因为产生波纹的原因是因为 不是关不是关于于z-1的有限多项式，这样使的有限多项式，这样使u*(t)的过渡过程不结束，从的过渡过程不结束，从而使输出而使输出y*(t)产生波动。产生波动。 要想消除波纹，就要求要想消除波纹，就要求u*(t)和和y*(t)同时结束过渡过程，同时结束过渡过程，否则，就会产生波动现象，要求否则，就会产生波动现象，要求D(z)We(z)为为z-1的有限多的有限多项式，即项式，即W(z)能能G(z)被整除即可。被整除即可。 )()()()(zWzDzRzUe)()()()(ZwZDZRZUe第6章 系统的数字化设计方法 设最少拍系统广

42、义设最少拍系统广义Z传递函数为传递函数为 其中，其中，b1，b2，bu是是G(z)的的u个零点，个零点，a1，a2，av是是G(z)的的v个不稳定极点，个不稳定极点，f1，f2，fw是是G(z)的的w个稳定个稳定极点，极点，k1为常系数，为为常系数，为G(z)中含有的纯滞后环节。中含有的纯滞后环节。 vjwppjuiiNzfzazbkzzG1111111)1 ()1 ()1 ()(第6章 系统的数字化设计方法 则可得则可得 其中其中 k为常系数。为常系数。 其中其中由此得到数字控制器由此得到数字控制器 uiiNzFzbzzW121)()1 ()()1 ()()1(1112vmvmzczckzF

43、vjjmezFzazzW1111)()1 ()1 ()()1(11111)(uNuNzdzdzF)()()()(zGzWzWzDe第6章 系统的数字化设计方法 例例6.5 对于图对于图6.7所示的系统，设所示的系统，设 ，T=T=1s1s，试按输入为单位阶跃信号，确定无波纹最少拍系统的数试按输入为单位阶跃信号，确定无波纹最少拍系统的数字控制器字控制器D D( (z z) )。 解：解： ) 1(10)(0sssG1111111111103.68(1 0.718)( )(1)(1)(1 0.368)( )(1 0.718)( )(1)(1)TseezzG Zss szzW zkzzW zzd z

44、Z Z1112111( )1( )(1 0.718)(1)0.5820.418e W zW z kzzd zd zkd 由得第6章 系统的数字化设计方法 数字控制器的输出为：数字控制器的输出为：系统在采样点的输出为：系统在采样点的输出为： 可见可见D(z)We(z)为关于的有限多项式，并且为关于的有限多项式，并且u*(t)经过经过2拍后过渡过程结束。同时，经过两拍后拍后过渡过程结束。同时，经过两拍后y*(t)的过渡过程也的过渡过程也结束了，也就是结束了，也就是u*(t)与与y*(t)同时结束过渡过程。同时结束过渡过程。 1111( )0.582(1 0.718)( )(1)(1 0.418)e

45、W zzzW zzz1112( )0.1582(1 0.368)( )( )( )1 0.418( )( )0.1582(1 1.3680.368)eeW zzD zG z W zzD z W zzz1058. 01582. 0)()()()(zzRzWzDzUe123( )( ) ( )0.582Y zW z R zzzz第6章 系统的数字化设计方法 利用广义利用广义Z变换。可求出系统的输出响应。变换。可求出系统的输出响应。 由此可见，此时系统经过由此可见，此时系统经过2拍以后就消除了波纹，如图拍以后就消除了波纹，如图6.10所示。所示。 21111 211111211(1)( , ) 10

46、(1)(1)11( , )( ) ( ) ( , ) ( )1.582 1(2.368 1.3682)(0.3680.736)11.582(1)1.582(1.368 0.368)ezze zG zzzze zY zW z Dz G zR zzeezezzezez 234zz第6章 系统的数字化设计方法 如果所求得的系统在单位速度信号输入下，则输出如果所求得的系统在单位速度信号输入下，则输出的广义的广义Z变换为变换为 其输出响应如图其输出响应如图6.11所示，可以看出，系统经过所示，可以看出，系统经过2拍后过拍后过渡过程结束，但始终存在稳态误差渡过程结束，但始终存在稳态误差1.418。 543

47、2)582. 2()582. 1()582. 0()1(582. 1)(),()()(),(zzzzezRzGzDzWzYey(t)y(t)图6.10 输入为单位阶跃时的输出响应t0 1 2 3 4 1图6.11输入为单位速度时的输出响应t0 1 2 3 4 1第6章 系统的数字化设计方法 在上例中，如果按输入为单位速度信号，来确定无在上例中，如果按输入为单位速度信号，来确定无波纹最少拍系统的数字控制器波纹最少拍系统的数字控制器D(z)，则有：则有： 11111 211111111( )(1 0.718)(1)( )(1) (1)( )1( )1.4070.3750.593( )0.383(1

48、 0.368)(1 0.586)( )( )( )(1)(1 0.593)eeeW zkzzc zW zzd z W zW zk cdW zzz D zG z W zzz 由得第6章 系统的数字化设计方法 输出的广义输出的广义Z变换为变换为 由此可知，此系统在单位速度信号作用下，过渡过由此可知，此系统在单位速度信号作用下，过渡过程为程为3拍，并且无波纹，其输出响应如图拍，并且无波纹，其输出响应如图6.12所示。所示。 如果所求得的系统在单位阶跃信号输入下，则输出如果所求得的系统在单位阶跃信号输入下，则输出的广义的广义Z Z变换为变换为 其输出响应如图其输出响应如图6.13所示，可以看出，系统经

49、过所示，可以看出，系统经过3拍后过拍后过渡过程结束，但有渡过程结束，但有100%的超调量，并且无波纹。的超调量，并且无波纹。 5432)4()3()24. 2175. 065. 3()1(83. 3),(zzzezezY54321)24. 265. 0825. 0()07. 665. 348. 7()1(83. 3)(),()()(),(zzzezezezRzGzDzWzYe第6章 系统的数字化设计方法 图6.12输入为单位速度时的输出响应t0 1 2 3 4 1y(t)图6.13输入为单位阶跃时的输出响应t0 1 2 3 4 1y(t)2第6章 系统的数字化设计方法 6.4 纯滞后对象的控制

50、算法纯滞后对象的控制算法 在工业生产中，大多数过程对象含有较大的纯滞后特性。被控对象的纯滞后时间使系统的稳定性降低，动态性能变坏，如容易引起超调和持续的振荡。对象的纯滞后特性给控制器的设计带来困难。q 纯滞后补偿控制史密斯(Smith)预估器q 大林(Dahlin)算法第6章 系统的数字化设计方法 1.史密斯史密斯(Smith)预估器预估器设被控对象传递函数为纯滞后时间常数为采样周期T的整数倍：=NT，G0(s)不包含纯滞后特性。带零阶保持器的广义对象脉冲传递函数为待设计控制器为D(z)，如图6.11所示。p0( )( )esGsGs)()(0zGzzGN纯滞后对象控制系统第6章 系统的数字化

51、设计方法 史密斯史密斯(Smith)预估器预估器闭环脉冲传递函数为 可见，闭环传递函数分母中包含有纯时间滞后环节，它会使系统的稳定性降低，如果足够大，系统甚至可能变为不稳定。为此，引入史密斯预估器将对象进行改造。q 史密斯预估器的设计步骤 00( )( )( )1( )( )NND z zGzzD z zGz第6章 系统的数字化设计方法 史密斯预估器的设计步骤史密斯预估器的设计步骤1.不考虑纯滞后，根据对闭环系统理想特性要求0(z)，先构造一个无时间滞后的闭环系统(见图6.12)。因纯滞后特性无法消除，因此理想闭环系统特性为 此时的数字控制器 0( )( )Nzzz0000( )( ) 1(

52、)( )zDzz Gz理想闭环系统第6章 系统的数字化设计方法 史密斯预估器的设计步骤史密斯预估器的设计步骤待设计的系统如图6.11所示，D(z)即为待设计的数字控制器。该系统应与图6.12系统具有相同的闭环脉冲传递函数，则求得 上式即为史密斯预估器的z传递函数，其结构如图6.13(a)所示。 NNNzzGzDzGzDzGzzDzGzzD)()(1)()()()(1)()(000000)()()1 (1)()(000zGzDzzDzDN史密斯补偿控制系统第6章 系统的数字化设计方法 史密斯预估器的设计步骤史密斯预估器的设计步骤2.将图6.13(a)所示系统作如图6.13(b)所示的等效变换，可

53、以看出，史密斯预估器实际上是引入了一个与被控对象并联的补偿器(1-z-N)G0(z)，使得补偿以后的等效对象不包含纯滞后特性，为G0(z)。因此Smith预估器也称作Smith补偿器。经过补偿后，闭环系统特征方程为上式已不包含z-N，因此纯滞后的特性不影响系统稳定性。0)()(100zGzD图6.14 纯滞后被补偿控制系统单位阶跃响应第6章 系统的数字化设计方法 2. 大林大林(Dahlin)算法算法 如果对系统的要求是无超调量或超调量很小，并且允许有较长的调节时间，则大林算法的控制效果往往比PID等控制算法具有更好的效果。假设有滞后特性的被控对象可以用带有纯滞后环节e-s的一阶或二阶惯性环节

54、来近似，即 或pp1e( ),1sKGsN TT spp12e( ),(1)(1)sKGsN TT sT s第6章 系统的数字化设计方法 大林大林(Dahlin)算法算法带零阶保持器的一阶对象的脉冲传递函数为带零阶保持器的二阶对象的z传递函数为 式中 11/p(1)p/11e1 e1 e( )11 esT TTsNT TKG zK zsTszZ121p(1)12p/1112e()1 e( )(1)(1)(1 e)(1 e)sTsNT TT TKcc zG zK zsTsT szzZ121221/11221(1/1/)/2122111( ee)1e( ee)TTTTTTTTTTTcTTTTcTT

55、TT第6章 系统的数字化设计方法 数字控制器数字控制器D(z)的形式的形式 不论是对一阶惯性对象还是对二阶惯性对象，大林算法的设计目标都是使闭环传递函数(s)相当于一个纯滞后环节和一个惯性环节的串联，其中纯滞后环节的滞后时间与被控对象的纯滞后时间完全相同。这样就能保证使系统不产生超调，同时保证其稳定性。因此 式中，Tc为理想闭环系统的一阶惯性时间常数。 c1( )e1ssT s第6章 系统的数字化设计方法 数字控制器数字控制器D(z)的形式的形式对上式用零阶保持器法离散化，得到 由于 所以，只要确定了被控对象，就可以由上式确定控制器。 cc/(1)/1c1 ee1 e( )11 eT TTss

56、NT TzzsT szZccc/(1)/1(1)( )1(1 e)1( )1( )( )1 e(1 e)( )T TNT TT TNzzD zz G zzzG z第6章 系统的数字化设计方法 大林算法的主要步骤大林算法的主要步骤 选取期望的闭环脉冲传递函数 根据被控装置的传递函数计算广义脉冲传递函数 计算数字控制器脉冲传递函数例6.4第6章 系统的数字化设计方法 振铃现象及其消除振铃现象及其消除 所谓振铃(Ringing)现象，是指数字控制器的输出以二分之一采样频率大幅度衰减的振荡。振铃现象中的振荡是衰减的。由于被控对象中惯性环节的低通特性，使得这种振荡对系统的输出几乎无任何影响。但是振铃现象

57、却会增加执行机构的磨损，在有交互作用的多参数控制系统中，振铃现象还有可能影响到系统的稳定性。 第6章 系统的数字化设计方法 振铃现象的分析振铃现象的分析系统的输出Y(z)和数字控制器的输出U(z)间有下列关系系统的输出Y(z)和输入函数R(z)之间有下列关系由上面两式得到数字控制器的输出U(z)与输入函数的R(z)之间的关系为 )()()(zUzGzY( )( ) ( )Y zz R z( )( )( )( )U zzR zG z第6章 系统的数字化设计方法 振铃现象的分析振铃现象的分析定义显然 Ku(z)表达了数字控制器的输出与输入函数在闭环时的关系，是分析振铃现象的基础 。u( )( )(

58、 )zKzG zu( )( ) ( )U zKz R z第6章 系统的数字化设计方法 振铃现象的分析振铃现象的分析 对于单位阶跃输入函数R(z)=1/(1-z-1)，含有极点z=1，如果Ku(z)的极点在z平面的负实轴上，且与z=1点相近，那么数字控制器的输出序列u(k)中将含有这两种幅值相近的瞬态项，而且瞬态项的符号在不同时刻是不同的。当两瞬态项符号相同时，数字控制器的输出控制作用加强，符号相反时，控制作用减弱，从而造成数字控制器的输出序列大幅度波动。分析Ku(z)在z平面负实轴上的极点分布情况，就可得出振铃现象的有关结论。 第6章 系统的数字化设计方法 振铃幅度振铃幅度RA 振铃幅度RA用

59、来衡量振铃强烈的程度。为描述振铃强烈的程度，应找出数字控制器输出量的最大值umax。由于这一最大值与系统参数的关系难于用解析的式子描述出来，所以常用单位阶跃作用下数字控制器第0次输出量与第1次输出量的差值来衡量振铃现象强烈的程度。 第6章 系统的数字化设计方法 振铃现象的消除振铃现象的消除有两种方法可用来消除振铃现象1.找出D(z)中引起振铃现象的因子(z=-1附近的极点)，然后令其中的z=1，根据终值定理，这样处理不影响输出量的稳态值。 2.选择合适的采样周期T及系统闭环时间常数Tc，使得数字控制器的输出避免产生强烈的振铃现象。 第6章 系统的数字化设计方法 振铃现象示例振铃现象示例已知被控

60、装置的传递函数为 被控装置广义脉冲传递函数 用大林算法确定的数字控制器为1( )e(51)(21)sG sss11111 ee0.0398(1 0.7919)( )(51)(21)(1 0.8187)(1 0.6065)TsszzG zssszzZ1111121111111( )16. 2061( 10. 8187)( 10. 6065)( )( )1( )( 10. 7919)( 10. 3680. 632)16. 2061( 10. 8187)( 10. 6065)( 1)( 10. 6321)( 10. 7919)zzzzD zG zzzzzzzzzzz第6章 系统的数字化设计方法 振铃